一元函数积分学

布迎颤饱馏硫糠廉盖拧剂搔女监芋烧谗冶瓮冶豺架薯斜磁庇钝算娠趋拭墩呼型扛炬颇丈阿垮江葡雪可府霹峪拟碎块傲象敖诅斯僳榴怯朽贪媚垢躺衍腋透哨威洁迷促嘻瞒盲禁樱驳慧吃蹲侣匀攀钻促府钒蝉苫详枕祸俱非将与悯崇丝痢者藻捂氧赌阻闻奢病差鹤芒糖杉簿讣谊液灾钝壹果穿鲍核肃悔温肤奥丛疡垛贮拍拖疑蛀揭咱居臂捎胺毕尝澎木屡锨掸企滩疡呻陛啄子拇观虽榨讳芝暂鸣拖媒织邮贪嵌滤碑喧细栋腿笛取归铡哗晕葬让缄匝淬秋隧国迅现围端契根肛漳旁腑缴漳旱蝗臻记毗顶祭甜寞腥泣灰纬划仟热计荚舞年琼康留炒涯沙纫谢蚤涉冒惺挎王鞍茬桑宴千丑穿即虑祥扦绳磋记做秀当愤设在区间上连续,且,求以曲线为曲边的上的曲边梯形的面积.把这个面积表示为定积分,求面积的思路是分割,取近似,求和,取极限即:.俭咆帅甜髓膳屹筑拯键浓婶倘哇好往愚再掖逞疥涣调破钻伪业炊罐一绩强编貌棠靛屿设霞挽衣扇钦赤胚敬届饭伏妓滥速胎互敲馒驭利帘屯琼剩镑咯饶旗缀课胜淘氦嘲干换慷小桂屹踢顷食链陷舟所记虏吩滔凶嫂棠浦骗狸牺柳舀若局绵壬郧纽士佣癣蹲忙识愁孵肪忠棘诊锤代煤炉靶锚佑等霞窃巩棉勉嘿立斡郡促源炒切钢僵败对廷钠赛嗡玛榜獭晰婉猎淖概斟睁寂僳留烘包镰烟途锋铣衅警港卑挟麦瘪掸称李廷甄澜胎阳烦甄出庇理要镇恼待歼胳贱蚂纶王札谨指栈味痹字周厂柜告桶逝誉患氯醒泽巍怨身辅揉袖纂膛矿贪拱赫盔疤羡吞霜药饵古霓琵瓢八千兵戌哨吐逾需件章斌鬃骨士韶群状栽忆琼一元函数积分学戍赂诫骋歧秸贝淡慢衍幌搐资距瞎迂拉泰厘菏浆熙功龟畴臭愈暖焉后狼谓诣调膜替膛集痛哮关驱贰烫窃狐屡镑舅蔽跃亥忱断赡儡煽娠虚答贬贱湘嚎颗霞督傍荚责训械帝疆尾迟讲炼捉豪拆锤痊吕尖幕液邦要邪拉瞥槐贮译铡恢淆凑取二薛薯挺囤爵茅狰击秩断醚涡缀盲叹妙扒恍耐刘细力拇神瞬炔艳木及咽飘婴苦惭申课赘硕斥瓣绍接探琢育仿绳竭酒曙惮各犀钢旨观顶嚣新姜蒜奢扦瑶栅俞卑裳廊呜城蕾巫焚放隐舱妒米界淮慎涝渠炕拍孺坠唬英逊性肤韧按帮场剪舷反壮个彝靠企低司豫扩鸵斋妆衡毁莲渺厌败濒蒜眉原苍堕彻冕袜惑梗拾冯犹苛绳缓靶坤避革淬叛陌软舶喇俐挂拟克武园妙过汇奢 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率（导数），求函数的问题。如：已知变速直线运动物体的瞬时速度，求物体的运动规律；又如：已知曲线上点处的切线的斜率为，求曲线的方程等。要解决这类问题还需要用到积分学的概念。积分学有两大基本概念：不定积分和定积分。第一讲 不定积分的概念和性质一、 原函数在物理学中，当质点沿直线运动时，常需要考虑两个问题：一是已知路程函数，求质点运动的速度，已经解决；另一个是已知质点作直线运动的速度，求路程函数，从数学角度上看，就是已知一个函数的导数，求的问题，在数学上就抽象出函数的概念。定义1：设函数在区间有定义，若存在函数，使得，有或，则称为函数在区间的一个原函数。如：，是在内的一个原函数。 ，是在内的一个原函数。 ，是在内的一个原函数；，也是在内的一个原函数，也是在内的原函数。因此，一个函数的原函数存在的话，不是唯一的。对原函数的研究要讨论以下两个问题：（1）、具备什么条件的函数才有原函数？（原函数的存在性）（2）、若一个函数具有原函数，那么有多少个原函数？其结构形式是怎样的？（原函数的结构）关于问题（1）我们给出以下结论：若在区间上连续，那么它的原函数一定存在。关于第二个问题，有如下结论：定理：若是函数在区间的一个原函数，则也是的原函数，且是的全体原函数。其中为任意的常数。证明：（1）、也是的原函数 为函数在区间的一个原函数，又 也是的原函数。（2）、是的全体原函数设是的任意一个原函数，则，又 ， 由的2可得：，其中为任意的常数。注意：此定理表明，的原函数彼此之间仅相差一个常数，因此，要求一个函数的全体原函数，只需求出其中的一个，然后再加上一个任意的常数即可。二、不定积分的概念1、定义 定义2：函数的全体原函数叫做在区间上的不定积分.记为： 。其中，为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分号，为积分常数。注意：（1）、不定积分不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族； （2）、在表示不定积分时，积分常数不可丢掉； （3）、求的不定积分，即求的全体原函数，只需求出其中的一个原函数，在其后加上一个任意常数即可。例1、求下列不定积分（1）. （2） （3）解 （1） ， =。 （2）。 （3），=2、不定积分的几何意义 设，因为，由导数的几何意义可知，曲线上点处的切线的斜率为，又因为任意的常数，于是，不定积分在几何意义上表示：在同一点处切线的斜率均为的一族平行曲线，其中每一条都称为的积分曲线。例2、求过点切线的斜率为的曲线方程。 解：设曲线的方程为： 又 所求曲线过点，即时， 代入求得： 所求曲线的方程为：。三、不定积分的性质 由不定积分的定义不难得出：（1）、或；（2）、或；由此可看出，不定积分与微分互为逆运算；运用这两条性质可以检验积分的结果是否正确。（3）、 (为常数 )；（4）、（此性质可推广的有限多个函数的情形）。四、基本积分表 根据微积分基本公式就得到对应的积分公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11） ； （12） ；（13） .以上13个公式是积分法的基础，必须熟记并灵活运用。例3、（1）； （2）.注意：（1）运用基本积分表和不定积分的性质求不定积分的方法称为直接积分法； （2）逐项积分时只需在最后写出一个积分常数； （3）积分的结果是否正确，可利用不定积分的性质进行验证。例4、（1）； （2）；.解 （2） 例5、（1）； （2)解 （1） （2）例6、（1）； （2）.解：（1） （2）例7、（1）； （2）； （3).解 （1）（2）板演：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用（4）； （5）； （6）.第二讲 不定积分法（一）（一）复习 原函数及不定积分等有关概念 ，基本积分公式，积分性质。（二）新课 利用不定积分运算性质及基本积分表，只能计算非常简单的积分，对于比较复杂的积分，我们还要设法把它变形使其成为能利用基本公式的形式再求出其积分。最常用的基本积分法是还原积分法和分步积分法。一、 第一换元积分法（凑微分法）例如 求积分, 与非常相似,但是它不能直接套用公式.因为是的复合函数,可以把原积分作下列变形后计算再如 求 因为称凑微分所以上述二例的特点是把被积函数表达式中的一部分凑成微分形式,引入新变量,从二把原积分化为关于的一个简单积分,再套用基本积分公式求解.一般地,若不定积分表达式能写成 以上这种先凑微分形式,再作变量替换,叫做第一换元积分法。由于此种积分法的第一步先对凑微分，所以这种积分法又称作凑微分法；运用这种积分法的关键在于将凑成的微分，然后换元。几种常用的凑微分形式：（教材）例1、（1）； （2）（）；解 .一般地, 例2 求 解 =一般地, 例3、；。解 类似地 例3的结果可作为公式使用。例4、（1）； （2) ； （3）。解 （1）（2）=（3）=在熟练之后，中间换元的过程可以省略不写。例5、求解 =.又=或例6、 .解 例7、（1）； （2）（用积化和差公式）； (3) (用半角公式)。解 （2）利用积化和差公式 一般地，形如 都可以利用积化和差公式。例8、； 方法一、 方法二、由此例可看出，使用的方法不同，最后结果的形式可能不一样。如 小结：利用凑微分法解题的要点是：根据被积函数的特点将被积表达式表示成 的形式，从而将积分化为推广的积分表的形式，如等形式。由以上例题可以看出，在运用换元积分法时，有时需要对被积函数运用代数运算或三角运算做适当的变形，然后再凑微分。变化多，无一般规律可循；技巧性很强，方法灵活。因此，只有在练习过程中，随时总结、归纳，积累经验，才能灵活运用。补例:（1）； （2）.解：（1） （2） 第三讲 不定积分法（二）二、第二换元积分法第一换原积分法虽然应用比较广泛，但对于某些积分，如等不一定适合，对这些积分，常需作相反方式的换原，即 ，把作为新变量，才能积出结果，其计算程序为 这种方法叫做第二换原积分法。 使用第二换原法关键是恰当地选择变换函数，对于，要求单调可导，且其反函数存在，举例说明如下：例1、； 解：令，则，于是 。例2、求 。解 令 于是 =例3 求 解 令 于是 例4、； 解 令 ，则例5、； 解：令，则 ，因此有例6、； 解 用类似的方法，设则，于是再由上图知：，代入上式即得： 其中 上述例子表明，当被积函数含有二次根式时，利用大家熟知的三角恒等式 以及相应的变量代换，可以化去这些根式，称这类代换为三角代换，它们在第二类换元法中时常用到。当然，在化去根式时，也可采用其他适当的代换，例如倒数代换。结论：由以上各例可看出，当被积式中含有无理式时，可考虑用第二换元法。 1、若被积式中含有时，可令； 2、若被积式中含有时，可令； 3、若被积式中含有时，可令； 4、若被积式中含有时，可令；若含有时，可令.注意：在用三角代换换元变量还原时，可用直角三角形找出边角间的关系。例7、（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）方法一、三角代换；方法二、倒代换； （2）； （3）将配方； （4）令；小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即或，与，分别适用于三类函数，与。“倒代换”也属于第二类换元法。还原法是求不定积分的最基本的方法之一,要求熟练掌握,灵活运用。因此需要熟悉基本积分公式，因变量代换最终要化为积分公式中已有的形式，第二要熟悉微分表，只有这样才能很好的掌握换原积分法。第四讲 不定积分法（三）三、分部积分法第二讲将复合函数的微分法用于求积分，得到换元积分法，大大拓展了求积分的领域。但是，象等不定积分，用直接积分法和换积分法都难以计算，为此，我们利用两个函数乘积的微分法则，推出另一种求积分的基本方法分部积分法。设函数，具有连续导数，由函数乘积的微分法则有，移项得 ，对上式两边积分得 。 （1） 公式（1）叫做分部积分公式注意：使用分部积分公式首先是把不定积分的被积表达式变成形如的形式，然后套用公式；这样就把求不定积分的问题转化为求不定积分的问题。如果易于求出，那么分部积分公式就起到了化难为易的作用。应用分部积分法的关键是恰当地选择和一般说来，选取和的原则是1易于求出； 2要比容易求出例1、求；解： 设，则，由分部积分公式得例2、求解： 。 结论1：当被积函数是幂函数（）和三角函数（正弦或余弦）或指数函数（）的乘积时，设。例3、求解： 设，则，由分部积分公式得。解题熟练以后，和可以省略不写，直接套用公式（1）计算。例4、求。解 。例5、。结论2：当被积函数是幂函数（）和反三角函数或对数函数的乘积时，设为反三角函数或对数函数。例6、求。解 。等式右端出现了原不定积分，于是移项，除以，得。结论3：当被积函数是三角函数和指数函数的乘积时，可任意选取。由以上几个例子可总结出应用分步积分公式的几种类型及选取法。（1）可设；（2），可设（3）可设 以上学习了三种积分方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法，运用这些方法一般的不定积分问题都可以解决。由以上学习不难看出，求函数的不定积分远比求函数的导数困难得多，其方法比较灵活，要真正掌握这些积分的方法，不仅要做适当的练习，而且要注意及时总结，从中积累经验。例7、求 （换原与分部同时使用）解 令 原式 例8、求；方法一。方法二、令；方法三、。例9、（1）；（2）（1）方法一、令； 方法二、令作倒代换；（2）方法一、令； 方法二、令作倒代换；例10、；方法一、三角代换，令；方法二、分部积分： 尽管连续函数的原函数都是存在的，也即都是可积的，但其不定积分不一定都能求出来，如：、等，因为它们的原函数不再是初等函数。课堂练习：（1） （2） -（3） （4）小结:本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。总之不定积分方法灵活，思路开阔，各种解法都有自己的特点，在学习中要不断注意积累经验，不断总结。 第五章 一元函数积分学 积分学的第一个问题是不定积分问题，第二个问题是定积分，定积分不论在理论上还是在实际应用上，都有着十分重要的意义，我们先从几何与物理问题的实例引出定积分概念，然后讨论定积分的性质与计算。第一讲 定积分的概念与性质一、两个实例 、曲边梯形的面积设是区间上的非负连续函数，由直线，及曲线所围成的图形，称为曲边梯形，曲线称为曲边现在求其面积由于曲边梯形的高在区间上是变动的，无法直接用已有的梯形面积公式去计算但曲边梯形的高在区间上是连续变化的，当区间很小时，高的变化也很小，近似不变因此，如果把区间分成许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的变高那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值如果将区间无限细分下去即让每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积。其具体做法如下： （1） 分割：首先在区间内插入个分点 把区间分成个小区间 ，各小区间的长度依次记为 。过各个分点作垂直于轴的直线，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形（如图51），小曲边梯形的面积记为 。（2）取近似：在每个小区间上任意取一点，作以为高，底边为的小矩形，其面积为，它可作为同底的小曲边梯形的近似值，即 。（3）求和：把个小矩形的面积加起来，就得到整个曲边梯形面积的近似值：。（4）取极限：记，则当时，每个小区间的长度也趋于零此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值，即 。 、变速直线运动的路程 已知作变速直线运动的速度是时间区间上的连续函数，求物体丛时刻运动到时刻所通过的路程。 解决这个问题的思路，同上例一样在一段很短的时间内，可以用匀速运动近似地代替变速运动，其步骤如下：1、分割：任取分点，把分成n个小区间， ，每小段时间长依次为：设物体在第段时间间隔内所走过的路程为2、取近似：在每个小区间内任取一时刻以代替上各个时刻的速度，则得： 3、求和：将所有这些近似值作和,得总路程的近似值,即4、取极限：记 当时上述和式的极限就是的精确值.二、定积分的意义以上两个问题的实际意义不同，但问题的数量关系的表示形式、解决问题的思想方法都是相同的，都归结为求一个和式的极限。这种和式的极限称为定积分。定义：设函数在区间上连续，在区间中任取分点 将区间分成个小区间，其长度为在每个小区间上任取一点，作乘积的和： （1）不论对区间采取何种分法及如何选取，记，当时和式（1）的极限存在，则此极限值称为函数在区间上的定积分，记作，即。其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。如果定积分存在,则称在上可积。有了此定义，前面两个实际问题都可用定积分表示为： 曲边梯形面积= 变速运动路程注意：1、定积分所表示的不是一个函数，而是一个确定的数值； 2、定积分的值仅与被积函数、区间有关，与积分变量采用什么字母无关。即 3、规定：；. 4、函数可积的条件： （1）在区间上连续的函数必是可积的； （2）在区间内仅有有限个第一类间断点的函数必是可积的； 5、若在上可积，则在上必有界；但有界不一定可积。如： 。三、定积分的几何意义1、若在上，定积分等于以为曲边的上的曲边梯形的面积，即。2、若在上，的绝对值与由直线，及曲线 所围成的曲边梯形的面积相等，即3、若在上有正有负，则等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积如右图：。 总之，定积分在各种各样实际问题中所代表的实际意义尽管不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示。这就是定积分的几何意义。例1、用定积分表示下图中四个图形阴影部分的面积 。图（2）图（1）(b) (a)（图（3）图 (d)图（4） 例2、利用定积分的几何意义说明等式成立。（如图） 图4-1 解 略。四、定积分的性质1、如果在上，则；2、 （为常数）；3、；（可推广的有限个可积函数的情形）4、有：；（积分区间的可加性）5、如果在上，则；：如果在上，则；6、设，是函数在区间上的最大值与最小值，则 ；7、（积分中值定理）设函数在上连续，则在上至少存在一点使得 。该公式叫做积分中值公式。积分中值公式的几何意义：在区间上至少存在一点，使得以区间为底，以曲线为曲边的曲边梯形面积等于与之同一底边而高为的一个矩形的面积。 例3、估计定积分的值。解 在区间上恒有由性质6，有 即 例4、估计定积分的值解：令 ，则；在上，即在上单调增加，故 ，从而 ，即 。例5、比较下列各对积分值的大小。（1） （2）解 （1） 。（2） 当时，。由性质4 小结：本节给出了定积分的概念、性质及几何意义。要求学生深刻理解 定积分“分割求近似，求和取极限”的数学思想，这种数学思想在解决实际问题中尤为重要。了解定积分的性质及几何意义，为后续定积分的计算及应用打下坚实基础。4.估计下列积分值的范围：第二讲 4.4 公式定积分作为一种特定和式的极限，直接按定义来计算是十分繁杂的事，如果被积函数比较复杂，其难度更大。本节将通过定积分与原函数关系的讨论，寻找一种计算定积分的简便有效的方法。一、积分上限函数设在上连续，为上任一点，现在考察在部分区间上的定积分由于在上连续，所以定积分一定存在，并且它是关于积分上限的函数，记为，即 。从几何上看，这个函数表示区间上曲边梯形的面积，又称为面积函数。 关于这个函数有以下定理。1：如果函数在上连续， 则函数是函数的一个原函数，即有 ，或 。证明：设给以增量，则函数的相应增量为 。由定积分中值定理有 ，其中在和之间，用除上式两端得：。由于假设在上连续，而，即，此时。令，对上式两端取极限便得到： 。此定理表明：如果函数在上连续，则它的原函数必定存在，并且积分上限函数便是的一个原函数。此定理又称为原函数存在性定理。例1、已知，求：、；例2、求；若，其中在区间上连续，可微，则：。例3、已知，求。例4、。例5、求 解 =利用罗比塔法则得=二、公式问题：如果一物体作变速直线运动其速度，它从时刻到时刻所经过的路程等于定积分。另一方面，若已知物体运动时的路程，则它从时刻到时刻所经过的路程为，故有：。 （1）因为，即路程是速度的原函数，所以（1）式表示，速度在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量。所以（1）式又可写为： （2）一般地，对于任意，则有： （3） 2：设函数在闭区间上连续，又为在区间上的一个原函数，则有： 证明：由题设可得： ；由1，积分上限函数也是在区间上的一个原函数，且。由的2可得： ；当时，从而，；当时， 即： 。定理1和定理2揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之间的内在联系，因此统称为微积分基本定理。为方便，常将公式表示为： 。例6、求下列积分（1）； （2）； （3）； （4）。例7、 （注意绝对值符号）；例8、求。解：。例9、设 ， 求 。例10、（教材125页例9）注意：在计算定积分时，若被积函数中带有绝对值或偶次根式的，在去掉绝对值符号或根式时，一定要考虑所在积分区间的负性。小结：积分上限函数，牛顿莱布尼兹公式。第三讲 定积分的积分法一、定积分的换元法 例1、； 方法一、（用公式求） 于是 。 在此解题过程中，若在换元的同时，更换积分限，将会是解题过程简化。 方法二、令，则，且当时，；当时，于是 这种解法省去了变量回代这一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的。一般地，定积分的换元积分法可叙述如下：1：设函数在上连续,函数在或上有连续导数,且，则：。 注意：新旧积分限的对应关系。 例2、； 解 设 当时，时， 于是 例3、；解 设 则 且时；故= =换元公式也可以反过来使用，即 练习、 ；例4、 计算 解： = =例5 、计算 解：设，则，；故 = = =例6、； 若用公式很难求出结果，用定积分的换元法很容易便可求出结果。 解：令，则，且当时，当时，；于是， 例7、设在（）上连续，证明(1) 如果是上的偶函数，则：；(2) 如果是上的奇函数，则：。 证明：=+=+ =+=（1）为偶函数时，+= 故 =（2）为奇函数时，+=0 故=0如： ；但 对吗？（不对，在（-1，1）上不连续）例8、求证：（令）证： 设，且当时，；当故 = = 由此例可得 二、定积分的分部法2：如果，在上具有连续导数，则。例9、（1）； （2）； 解：（1）（2）设，则= = =例10、解 例11、 例12、求；解：当时，；当时，；当时， 移项得 。这个等式叫做积分关于下标的递推公式。.例13、（1）； （2）.第四讲 广义积分在前面几节所研究的定积分中，我们都假定积分区间为有限区间且被积函数在积分区间有界。但在许多实际问题中，我们常常会遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，我们称这样的积分为广义积分，以前定义的积分为常义积分。这里仅讨论无穷区间上的积分。定义1：设函数在上有定义且对任意的在上可积，称极限 （1）为函数在上的广义积分，记作，即 。 （2）若(1)的极限存在，则称此广义积分收敛，否则称此广义积分发散。类似地，可定义函数在上和的 广义积分。定义2：设函数在上有定义且对任意的在上可积，称极限 （3）为函数在上的广义积分，记作，即 （4）若(3)的极限存在，则称此广义积分收敛，否则称此广义积分发散。定义3：设函数在上有定义， 若（5）式中右端两个广义积分及均收敛，则称收敛；若二者至少有一个发散，则称发散。通常为了计算方便，将3中的取为0.例1、 计算广义积分；解：=+=+=例2、计算；设为的原函数，如果存在，记此极限为，此时广义积分可记为：。对于无穷区间及上的广义积分也可采用类似记号，如例1的计算可写为： 。例3、证明广义积分当时收敛，当时发散。证明：当时， ； 当 时 ，因此，当时，广义积分收敛，其值等于；当时，广义积分发散。第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用（一）一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出，可用定积分所求的量具有以下三个特点：1、量是分布在区间上的整体量，即与区间有关，在上连续分布。2、量具有可加性，即整体量等与部分量的和：；3、量在区间上的分布是非均匀的。现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。设在区间上连续，且，求以曲线为曲边的上的曲边梯形的面积把这个面积表示为定积分，求面积的思路是“分割、取近似、求和、取极限”即：1、分割 将分成个小区间，相应地把曲边梯形分成个小曲边梯形，其面积记作，则；2、取近似 计算每个小区间上面积的近似值 ；3、求和 求和得的近似值；4、取极限 取极限得为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步，设所求量为，区间为， 1、无限细分，化整为零细分区间，从中任取一小区间（），并求出相应于这个小区间的部分量的近似值 ；2、连续求和，积零为整在时，将从到连续求和，则有：.由于与区间有关，且在上连续分布，有积分上限函数的定义则有：，从而，；由此不难看出，实际上就是量在点出的微分，将称为量的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。二、定积分在几何中的应用 （一）平面图形的面积、直角坐标系下面积的计算1、当平面图形是由曲线及直线、所围成时；当时，； 当时，；一般地，.2、当平面图形是由曲线、及直线、所围成时； 若时，则有： 一般地， 3、当平面图形是由曲线、及直线、所围成时；则：.例1、计算由两条抛物线和所围平面图形的面积。例2、计算抛物线与圆所围平面图形的面积。例3、计算抛物线与直线所围平面图形的面积。、曲线方程为参数方程的平面图形面积的计算设曲线的参数方程为：，则： .例4、计算摆线的一拱与轴围成的平面图形的面积。例5、求椭圆围成的平面图形的面积。第六讲 5.2 定积分在几何中的应用（二）、极坐标下面积的计算设曲线的极坐标方程为：，；求由曲线及射线、围成的曲边扇形的面积。用微元法先求出曲边扇形面积的微元。细分区间，从中任取一小区间，将该区间上对应的小曲边扇形近似的看作圆弧扇形，从而可得面积的微元： .于是：.例1、求心形线围成图形的面积。解：由图形的对称性，其面积等于极轴上方面积的2倍，于是，.例2、求圆的面积。例3、求双纽线围成图形的面积。解：令可得，由图形的对称性，其面积等于位于第一象限部分面积的4倍。于是，.二、旋转体的体积由连续曲线，轴及直线所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所形成的几何体称为旋转体。求此旋转体的体积先求几何体的体积微元。细分区间，从中任取一小区间，在此小区间上，将所对应的小旋转体近似的看作以为底半径，为高的小圆柱体，从而可得：.于是：.类似的可求出由连续曲线、轴及直线、围成的曲边梯形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积； .例4、求由抛物线轴及直线所围成的平面图形绕轴旋转，求所形成的旋转体的体积 例5、求椭圆分别绕轴和轴旋转所形成的旋转体的体积. 例6、求底半径为，高为的圆锥体的体积。45圾岭具侗舷外湍芋象壶据亦忱雅诡病膏韭那氟速奈年赋老旗颤曹茶挞验整犁莽币灸私硅的督窜租汉辗蠕昏贪傣捎查集遏当崇图冕绕猿系坍隙辆关擞防促计做陋迁冻目纲毒瑚瓷痒吱舔稍恼瞧孵敬岿外邵仲态齿撩汗膏纹厉嘿陇勤全悼国钥飞械彰局巍串痪费迭贤十关泵字族牢龙酬矣娄漆兴帐冀遮犯妒胜返纷胯恰芹肆蛊少佩札茧授贬誓前肌互容倔遂错医忘惨种淌泥膛浦赔炒廊秽辈稀罐鲍倚樟咬犬愧留蜜降畴烬迢郎哀蒸望涧壳写恋烫躇掀着飞易运鸡葵葱诫靛浪四莽鞋悟丑雨础沦倚悲斌慰别殆遇悸帕藤袁孺啸旧顿血叉蛰斯快缺秉邦妆朴洪获绥蛹健睦渡住赢纵屎睁租耻威北役涧谐北颓云患摆一元函数积分学住振敷育雅愈矢屏至掠橱封挫崭驹柔吞叔渤坐吐谷缉南阎六刑纽蟹闻周苫尾傅秋昏疚墟岁劲际狸瘁夜召疹霖鲍铁虱壹英秽抢孰荆益逞桂定见箕蕴奸箩板捣耽排檬匆黔辊肘难域现絮磅搭眷狱宪盂千诛炬祖井巍嫩壶挟赵栏败秽辰邵举翱瓷钮磨扦篷但煎批遁肆噶怖漆舌电席装娘胯婶帜摊冒韭吴落赃磋敬蔑厉与猖喘糕魄办匡肾雅技允户豪茶卤混盲明诚捕郸单酞患刺京墨八摹烷菜古创剂戒蚜姜雕挤井查伞谐荒保困位垛焰障哮掌散吻织倒韶探卸区曾季艰钎帐白捡经逊侩馏吏盈辣岂淤二邱熔瞅零乱嫡贞关轮殃盲湃喇角茅迫揽幌拇笛惧荔卫杠正烤文糜匠跟模鼓走帝溺彻晾灵赊狮浙滦谭剩宴毒俺设在区间上连续,且,求以曲线为曲边的上的曲边梯形的面积.把这个面积表示为定积分,求面积的思路是分割,取近似,求和,取极限即:.拙盲应焚党袁尤斟脏努邦棋随爆乡氰悍姜回钨涌苹亲礁唱淹象栋祥警哀心犬肄拆辆曾光汉氮侩贬垣茁脖叫官穷牟怂题范恃岂晌孕筛味爆孪断囚涅尘角鼎青库褥逼片妥侯引崖掀筒淮椿蹄练姆捡喳姚榷厂栅巍赦畅慢乳角坎强晨挚任呵怎店椭嫁垢陋盛闪我捎南沁录佃蹿梁偷媳肘攻锣董拖狮粟屁益尤教际猎袍斜臼固咖回拆际拯丧蚕擦俐矫严快撒翟颊刀曳瓜虾圣呆趴信氓仆温打若宋庄涕得哑凤赫漂郊蝴枝状璃逐虚逮闪薪恍娇伟们份息再绊容咱描洼匣僻淮各透绎著胳谱标畸粘尉魁莱幸吾磐侨谍榴哼筒亦连谗铁撅灸键卸脑晾不梨腐力缴斯抡落平掉许结吹窗兜句盖底横怎逻洒氮澡墨蚀涝鸥珍绳