二次函数培优100题突破

五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 1 初三数学培优卷 二次函数考点分析培优 二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点 开口方向 对称轴 顶点 与 x 轴的交点 与 y 轴的交 点 二次函数 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 一般式 y ax 2 bx c 三个点 顶点式 y a x h 2 k 顶点坐标对称轴 顶点坐标 ba 4c 顶点坐标 h k a b c 作用分析 a 的大小决定了开口的宽窄 a 越大 开口越小 a 越小 开口越大 a b 的符号共同决定了对称轴的位置 当 b 0 时 对称 轴 x 0 即对称轴为 y 轴 当 a b 同号时 对称轴 x 2 0 即对称轴在 y 轴右侧 左同右异 y 轴为 0 c 的符号决定了抛物线与 y 轴交点的位置 c 0 时 抛物 线经过原点 c 0 时 与 y 轴交于正半轴 c1 时 y 随着 x 的增 大而增大 当 x0 0 B a 0 0 C a 0 0 D a 0 0 22 已知二次函数 的图象 1 3 1 2 axay 过原点则 a 的值为 23 二次函数 关于 Y 轴的对称图象的解析432 xy 式为 关于 X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转 度的图象的解析式为 24 二次函数 y 2 x 3 x 1 的 x 轴的交点的个数有 个 交点坐标为 25 已知二次函数 的图象与 X 轴有两个22 xay 交点 则 a 的取值范围是 26 二次函数 y x 1 x 2 的顶点为 对称轴为 27 抛物线 y k 1 x2 2 2k x 1 那么此抛物线的对称轴 是直线 它必定经过 和 28 若二次函数 当 X 取两个不同的值 X1362 xy 和 X2 时 函数值相等 则 X1 X2 29 若抛物线 2yxa 的顶点在 x轴的下方 则a 的取值范围是 1 1 30 抛物线 y k2 2 x2 m 4kx 的对称轴是直线 x 2 且它 的最低点在直线 y 2 上 求函数解析式 1 31 已知二次函数图象与 x 轴交点 2 0 1 0 与 y 轴交 点是 0 1 求解析式及顶点坐标 32 y ax2 bx c 图象与 x 轴交于 A B 与 y 轴交于 C OA 2 OB 1 OC 1 求函数解析式 32 抛物线 与 x 轴交点为562 xy A B A 在 B 左侧 顶点为 C 与 Y 轴交于点 D 五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 3 0 23 x y 1 求 ABC 的面积 33 2 若在抛物线上有一点 M 使 ABM 的面积是 ABC 的 面积的 倍 求 M 点坐标 得分点的把握 34 3 在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使得 QAC 的周长最小 若存在 求出 Q 点的坐标 若不存在 请说明理由 35 4 在抛物线上是否存在一点 P 使四边形 PBAC 是等腰 梯形 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 二次函数图象与系数关系 增减性 36 二次函数 cbxay 2 图象如下 则 a b c 取值范围是 37 已知 y ax2 bx c 的图象如下 则 a 0 b 0 c 0 a b c 0 a b c 0 2a b 0 b2 4ac 0 4a 2b c 0 38 二次函数 的图象如图所示 cbxay 2 有下列结论 240bc 0ab c 4 当 2y时 x等于 0 有两个不相等的实数根ba 有两个不相等的实数根c 有两个不相等的实数根12 有两个不相等的实数根4x 其中正确的是 39 天津市 已知二次函数 的图象如cbxay 2 图所示 下列结论 0 c a 024 cba 3 m 1 的实数 其中正确的结论 有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 40 小明从右边的二次函数 图象中 观cbxa 2 察得出了下面的五条信息 0 函数的 最小值为 3 当 x时 当 12 时 12y 你认为其中正确的个数为 2 3 4 5 41 已知二次函数 其中 abc大满足cbxay 20abc 和 930 则该二次函数图象的对称 轴是直线 42 直已知 y ax2 bx c 中 a0 c 0 0 函数的 图象过 象限 43 若 为二次函数 41 5 413 32yCByA 2yx 的图象上的三点 则 2 3的大小 关系是 A 123 B 21 C 3yD 32y 44 在同一平面直角坐标系中 一次函数 和二axb 次函数 的图象可能为 2axb OxOxy 五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 4 O x y C A y xO 45 二次函数 的图象如图所示 则直线cbxay 2ybxc 的图象不经过 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 46 抛物线 y ax2 bx c 的图象如图 OA OC 则 A ac 1 b B ab 1 c C bc 1 a D 以上都不是 47 已知二次函数 y a 2x bx c 且 a 0 a b c 0 则一定 有 4bc 0 24bc 2a 48 若二次函数 y ax2 bx c 的顶点在第一象限 且经过点 0 1 1 0 则 S a b c 的变化范围是 A 0 S1 C 1 S 2 D 1 S 1 49 10 包头 已知二次函数 2yaxbc 的图象与x 轴交于点 20 1 x 且 1 与 y轴的正 半轴的交点在 的下方 下列结论 4abc b 0 1 其中正确结论的个数是 个 50 10 四川自贡 y x2 1 a x 1 是 关 于 x 的 二 次 函 数 当 x 的 取 值 范 围 是 1 x 3 时 y 在 x 1 时取得最大值 则实数 a 的取值范围是 A a 5 B a 5 C a 3 D a 3 二次函数与方程不等式 51 y ax2 bx c 中 a0 的解是 ax2 bx c 0 的解是 52 已知二次函数 y x2 mx m 5 求证 不论 m 取何值时 抛物线总与 x 轴有两个交点 当 m 取何值时 抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短 53 如果抛物线 y x2 mx 5m2与 x 轴有交点 则 m 1 54 大连 右图是二次函数 y1 ax2 bx c 和一次函数 y2 mx n 的 图像 观察图像 写出 y2 y 1时 x 的取值范围 55 10 山东潍坊 已知函数 y1 x2与函数 y2 x 3 的图象大致如图 若 y1 y2 则自变量 x 的1 取值范围是 A x 2 B x 2 或 x 3 C 2 x D x 2 或 x 3 56 10 江苏 镇江 实数 X Y 满足 则 X Y 的最大值为 032 yx 57 10 山东日照 如图 是二次函数 y ax2 bx c 图象的 一部分 其对称轴为直线 x 1 若其与 x 轴一交点为 A 3 0 则由图象可知 不等式 ax2 bx c 0 的解集 是 形积专题 58 中考变式 如图 抛物线 cbxy 2与 x 轴交 与 A 1 0 B 3 0 两点 顶点为 D 交 Y 轴于 C 1 求该抛物线的解析式与 ABC 的面积 五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 5 59 2 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M 使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若没有 请说明理由 60 3 若 E 为抛物线 B C 两点间图象上的一个动点 不与 A B 重合 过 E 作 EF 与 X 轴垂直 交 BC 于 F 设 E 点横坐标为 x EF 的长度为 L 求 L 关于 X 的函数关系式 关写出 X 的取值范围 当 E 点运动到什么位置时 线段 EF 的值最大 并求此时 E 点的坐标 61 4 在 5 的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H 当 E 点运动到什么位置时 以点 E F H D 为顶点 的四边形为平行四边形 62 5 在 5 的情况下点 E 运动到什么位置时 使三角形 BCE 的面积最大 63 6 若圆 P 过点 ABD 求圆心 P 的坐标 64 09 武汉 如图 抛物线 24yaxb 经过 10 A 4 C 两点 与 x轴交于另一点 B 1 求抛物线的解析式 2 已知点 1Dm 在第一象限的抛物线上 求点 关于直线 B对称的点的坐标 65 已知二次函数 y x2 m2 8 x 2 m2 6 设抛物线顶点 为 A 与 x 轴交于 B C 两点 问是否存在实数 m 使 ABC 为等腰直角三角形 如果存在求 m 若不存在说明理由 66 08 湛江 如图所示 已知抛物线 与 轴交21yx 于 A B 两点 与 轴交于点 C y 求 A B C 三点的坐标 过 A 作 AP CB 交抛物线于点 P 求四边形 ACBP 的面 积 67 在 轴上方的抛物线上是否存在一点 M 过 M 作 MGx 轴点 G 使以 A M G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 若存在 请求出 M 点的坐标 否则 请说 明理由 二次函数极值问题 68 二次函数 2yaxbc 中 2ac 且 0 x时4y 则 A 大B 4 大C 3y大D y 大 69 已知二次函数 22 1 x 当 x 时 函数达到最小值 图 11 C P B y A ox 五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 6 图 4 DC B A 25m x 元50 1200 800 y 亩 O x 元100 3000 2700 z 元 O 70 2008 年潍坊市 若一次函数 的图像 过第一 三 四象限 则函数 A 最大值 B 最大值 C 最小值 D 有最小值 71 若二次函数 2 yaxhk 的值恒为正值 则 A 0 k B 0 C D 72 函数 当 2 X 4 时函数的最大值为 92xy 73 若函数 当 函数值有最3 24 x 值为 二次函数应用利润问题 74 2007 年贵阳市 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果 物价部门规定每箱售价不得高于 55 元 市场 调查发现 若每箱以 50 元的价格调查 平均每天销售 90 箱 价格每提高 1 元 平均每天少销售 3 箱 1 求平均每天销售量 y 箱 与销售价 x 元 箱 之 间的函数关系式 3 分 2 求该批发商平均每天的销售利润 w 元 与销售价x 元 箱 之间的函数关系式 3 分 3 当每箱苹果的销售价为多少元时 可以获得最大利 润 最大利润是多少 4 分 75 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展 对花木的 需求量逐年提高 某园林专业户计划投资种植花卉及树木 根据市场调查与预测 种植树木的利润 与投资量 成1yx 正比例关系 如图 12 所示 种植花卉的利润 与投资2 量 成二次函数关系 如图 12 所示 注 利润与投资x 量的 单位 万元 1 分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式 1y2x 2 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木 他至少获得多少利润 他能获取的最大利润是多少 76 09 洛江 我区某工艺厂为迎接建国 60 周年 设计 了一款成本为 20 元 件的工艺品投放市场进行试 销 经过调查 其中工艺品的销售单价 x 元 件 与每天销售量 y 件 之间满足如图 3 4 14 所示关系 1 请根据图象直接写出当销售单价定为 30 元和 40 元 时相应的日销售量 2 试求出 与 x之间的函数关系式 若物价部门规定 该工艺品销售单价最高不能超过 45 元 件 那么销售单价定为多少时 工艺厂试销该工艺品 每天获得的利润最大 最大利润是多少 利润 销售总 价 成本总价 77 泰安 某市种植某种绿色蔬菜 全部用来出口 为了 扩大出口规模 该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴 规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元 经调查 种植亩数 亩 与补贴数额 元 之间大致满足如图x 3 4 13 所示的一次函数关系 随着补贴数额 的不断增x 大 出口量也不断增加 但每亩蔬菜的收益 元 会相 应降低 且 与 之间也大致满足如图 3 4 13 所示的一zx 次函数关系 1 在政府未出台补贴措施前 该市种植这种蔬菜的总 收益额为多少 2 分别求出政府补贴政策实施后 种植亩数 和每亩y 蔬菜的收益 与政府补贴数额 之间的函数关系式 zx 3 要使全市这种蔬菜的总收益 元 最大 政府应w 将每亩补贴数额 定为多少 并求出总收益 的最大值 x 二次函数应用几何面积问题与最大最小问题 78 韶关市 为了改善小区环境 某小区决定要在一块 一边靠墙 墙长 25m 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD 绿化带一边靠墙 另三边用总长为 40m 的栅栏围住 若设绿化带的 BC 边长为 xm 绿化带的面积为 ym 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 当 x 为何值时 满足条件的绿化带的面积最大 五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 7 79 若要在围成我矩形绿化带要在中间加一道栅栏 写出 此时 Y 与 X 之间的函数关系式 并写出自变量 X 的取值范 围 当 X 为何值时 绿化带的面积最大 二次函数与四边形及动点问题 80 如图 等腰梯形 ABCD 中 AB 4 CD 9 C 60 动 点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动 动点 Q 同时以相 同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动 其中一个动 点到达端点时 另一个动点也随之停止运动 1 求 AD 的长 2 设 CP x 问当 x 为何值时 PDQ 的面积达到最大 并求出最大值 81 3 探究 在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形 若存在 请找出点 M 并求出 BM 的长 不存在 请说明理由 82 如图 在一块底边 BC 长为 80 BC 边上高为 60 的 三角形 ABC 铁板上截出一块矩形铁板 EFGH 使矩形的一 边 FG 在 BC 边上 设 EF 的长为 矩形 EFGH 的面积为x 1 试写出 与 之间的函数关系式y2cmy 2 当 取何值时 有最大值 是多少 x 83 09 泰安 如图 3 4 29 所示 矩形 ABCD 中 AB 8 BC 6 P 是线段 BC 上一点 P 不与 B 重合 M 是 DB 上一点 且 BP DM 设 BP x MBP 的面积为 y 则 y 与 x 之间的函数关系式为 84 如图 在等边三角形 ABC 中 AB 2 点 D E 分别在线 段 BC AC 上 点 D 与点 B C 不重合 且 ADE 60 0 设 BD x CE y 1 求 y 与 x 的函数表达式 2 当 x 为何值时 y 有最大值 最大值是多少 C E DB A 85 已知 如图 直角梯形 中 ABDBC DM CD 4 5 90A 10 4sin5 1 求梯形 的面积 C 2 点 分别是 上的动点 点 从点 出EF E 发向点 运动 点 从点 出发向点 运动 若两点均 以每秒 1 个单位的速度同时出发 连接 求F 面积的最大值 并说明此时 的位置 86 08 兰州 如图 是一张放在平面直角坐标系 中的矩形纸片 为原点 点 在 轴的正半轴上 点 在 轴的正半轴上 1 在 边上取一点 将纸片沿 翻折 使点 落在 边上的点 处 求 两点的坐标 ABCDEFNM 五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 8 第 21 题 87 2 如图 19 2 若 上有一动点 不与 重合 自 点沿 方向向 点匀速运动 运动的 速度为每秒 1 个单位长度 设运动的时间为 秒 过 点作 的平行线交 于点 过 点 作 的平行线交 于点 求四边形 的面积 与时间 之间的函数关系式 当 取何值 时 有最大值 最大值是多少 88 3 在 2 的条件下 当 为何值时 以 为顶点的三角形为等腰三角形 并求出相应的 时刻点 的坐标 89 2010 湖南长沙 如图 在平面直角坐标系中 矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上 82 8OAcmC 现有两动点 P Q 分别从 O C 同时出发 P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2cm 的速度 匀速运动 Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1cm 的速度匀 速运动 设运动时间为 t 秒 1 用 t 的式子表示 OPQ 的面积 S 90 2 求证 四边形 OPBQ 的面积是一个定值 并求出 这个定值 91 3 当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时 抛物线214yxbc 经过 B P 两点 过线段 BP 上一动点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于 N 当线段 MN 的长取最大值 时 求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比 92 如图在 ABC 中 AB 与 BC 垂直 AB 12 BC 24 动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向 B 点以 2 S 的速度运动 动点 Q 从 B 点开始沿 BC 向 C 点以 4 S 的速度运动 如果 P Q 分 别同时从 AB 出发 1 如果 PBQ 的面积为 S 写出 S 与运动时间 t 的关系 式及 t 的取值范围 当 t 为何值时面积 S 最大 最大是多 少 2 在 P Q 运动过程中当 t 为何值时 PQB 与 ABC 相 似 93 2010 福建福州 如图 在 ABC 中 C 45 BC 10 高 AD 8 矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上 E F 两点分别在 AB AC 上 AD 交 EF 于点 H 1 求证 2 设 EF x 当 x 为何值时 矩形 EFPQ 的面 AHAD EFBC 积最大 并求其最大值 94 3 当矩形 EFPQ 的面积最大时 该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动 当点 Q 与点 C 重合时 停止运动 设运动时间为 t 秒 矩形 EFFQ 与 ABC 重叠 部分的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 五大板块 1 重点 2 难点 3 考试易错点 4 提高能力点 5 思想方法拓展点 9