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迈恩教育数列一、数列的概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数称为该数列的项，记作an。排在第一位的项叫第一项（或首项），排在第二位的项叫第二项.，排在第n位的项叫第n项。数列的一般形式：a1，a2，a3，.，an，.简记为。注意：数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。在数列中同一个数可以重复出现。项an与项数n是两个根本不同的概念。数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a，-3，-1, 1，b，5,7,9 （2）2010年各省参加高考的考生人数。2. 通项公式：如果数列的第项与序号n之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 例：（1）1,2,3,4,5，. （2）1，,.注意：（1）an表示数列，an表示数列中的第n项，表示数列的通项公式。 （2）同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如： （3）不是每一个数列都有通项公式。例如：1, 1.4, 1.41, 1.414,.3. 递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，其中是数列的递推公式.例：a1=1，an=2an-1+1(n1) a2=2a1+1=3 a3=2a2+1=74.数列的前项和Sn与通项an的公式； .例：已知数列an的前n项和Sn=2n2+3，求数列an的通项公式。例：已知数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为 15 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法。6. 数列的分类：（1）按数列项数是有限还是无限分：有穷数列，无穷数列； （2）按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列，递减数列），摆动数列，常数数列。 例：（1）1,2,3,4,5,6，. (2)10,9,8,7,6，. (3)1,0,1,0,1,0，. (4)a，a，a，a，a，.练习：1、已知an=3n2-28n，则在数列的最小项为第5项2、数列中，且是递增数列，实数的取值范围（-3，+）3、数列的前n项和Sn=n2-4n+1，则通项公式为 .二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差（用字母d表示）。即.(或)。 例：等差数列an=2n-1，an-an-1= 2 2、 等差数列的通项公式：或。公式变形为:. 其中a=d, b= d.变式：a1=an(n1)d d= d= 特征：an=dn+(a1-d)，即an=kn+m(k，m为常数)，是数列成等差数列的充要条件。例：等差数列中，则通项.例：等差数列中，a3+a8=22，a6=7，则a5= 15 .例：是首项=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则n= 669 . 3、 等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且，a，A，b成等差数列是2A=a+b的充要条件，即，例：是公差为正数的等差数列，若，则 105 例：等差数列 中，则的值为 16 例：等差数列 中，则前 10或11 项的和最大。4、 等差数列的前项和：，。 公式变形为： 即，其中，B=. 例:如果等差数列 中，那么 28 例：数列 中，前n项和，则 -3 ， 10 . 例：设是等差数列的前n项和，已知，则 49 . 注意：（1）等差数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）5、等差数列的性质：（1）在等差数列 中，从第二项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列 中，；（4）在等差数列 中，当时，则有，特别地，当时，则有. 例：在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= 88 例：已知等差数列an的前n项和为，若7 （5）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前项和是关于的二次函数且常数项为0. （6）单调性：设d为等差数列的公差，则 d0是递增数列；d0是递减数列；d=0是常数数列。 （7）项数成等差，则相应的项也成等差数列，即成等差，（公差为）也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 例：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 225 例：已知等差吃的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 -110 （8）在等差数列中， 当项数为偶数时， ；. 当项数为奇数时， ；（）；。 例：在等差数列中，S1122，则 2 。例：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数 5；31 （9）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数。 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.6、等差数列的判断方法：定义法：为等差数列。中项法： 为等差数列。通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。例：设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。例：已知数列中，前n项和，求证：数列是等差数列；数列的通项公式。 7、已知成等差数列，求的最值问题：（1）若,d0且满足,则最小。 “首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。最值得求法：由不等式组确定出正、负分界项；：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 例：设（nN*）是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论错误的是（ c ） A. B. C.D.与均为的最大值例：等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。前13项和最大，最大值为169。例：设等差数列的前n项和为，已知， 求出公差d的范围； 指出中哪一个值最大，并说明理由。三、等比数列1、等比数列的定义：如果数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，记为，（）。即 （或）2、递推关系与通项公式： 递推关系： 通项公式：或 例：在等比数列， -1458 例：在等比数列， 192 3、 等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=。注意：是成等比数列的必要不充分条件。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为AB。例：的等比中项为 1 4、 等比数列的前项和： 当时，； 当时，。例：设等比数列的前n项和为Sn，已知。例： 等比数列中，2，S99=77，求（答：44）例：设等比数列的前n项和为Sn，若求数列的公比q。注意：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。提醒：（1）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2； （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。例：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5、等比数列的性质：（1）当时，则，特别地，当时，则有， 为等比数列，下标成等差数列的对应项成等比数列， 即： 。 既是等差数列又是等比数列，则是各项不为零的常数列。例：在等比数列中， 公比q是整数，则=_（答：512）；例：各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。 例：设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）(2) 等比数列的转换： 若 a是公比为q的等比数列，则| a|、a、ka、也是等比数列，其公比分别为| q |、q、q、。若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 若是等比数列，且各项均为正数，则（c0，c1）成等差数列。例：已知是等比数列，且 70 例：设等比数列的前n项和为Sn，若= (3) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。例：若是等比数列，且，则 （答：1）(5) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.6、等比数列的判断方法： （1）定义法：，其中 或为等比数列； （2）中项法：为等比数列； （3）通项公式法：为等比数列； （4）前n项和法：（k,q为常数）为等比数列； 四、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的2等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项3数列的表示方法应注意的两个问题： a与a是不同的，前者表示数列a，a，a，而后者仅表示这个数列的第n项； 数列a，a，a，与集合 a，a，a，不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即： 对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， a，aq，aq，； 对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， aq，aq，5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a0，因为当a= 0时，虽有a= a a成立，但a不是等比数列，即“b= a c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清6由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错练习：1、 在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）2、 一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_（答：）3、 已知且，设数列满足，且，则. （答：）五、求数列前n项和的常用方法（1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 135(2n-1)=n2 例：求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前n项的和。 解：本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=个奇数，最后一个奇数为：1+n(n+1)-12=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为（2）、拆项分组法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。 例：求和S=1（n2-1）+ 2（n2-22）+3（n2-32）+n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。相加例：求和： 解 Sn=3n2n-1（4）、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和 即：为等差数列，为等比数列，求数列前n项和，可由，求，其中为的的公比。注意：当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论； 当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。 例、求数列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n项的和 解:设Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0时，Sn=1 (3)当x0且x1时，式两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn -，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn例： 时， 时， 时，。(5)裂项法把通项公式整理成两项(或多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例：是公差为的等差数列，求解：由注意：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。（六）奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。例5. 已知数列求该数列的前n项和。解：对n分奇数、偶数讨论求和。当时，当时，（七）综合法这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。例7. 已知求分析：注意观察到：其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。解：当n为奇数时，由以上的分析可知：当n为偶数时，可知：由可得
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