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第37讲 空间夹角和距离一【课标要求】1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二【命题走向】空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用预测2010年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察三【要点精讲】1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 （1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角（2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。DBAC具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的距离。在直角三角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离abEF3空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点Ea，Fb，则异面直线 a与b之间的距离是 ；ABC（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB是平面的 一条斜线，为平面的法向量，则 A到平面的距离为；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量与，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线a的夹角的余弦，易知=或者。四【典例解析】题型1：异面直线所成的角例1（1）直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D）解析：（1）连结D1F1，则D1F1，BC D1F1设点E为BC中点，D1F1BE，BD1EF1，EF1A或其补角即为BD1与AF1所成的角。由余弦定理可求得。故选A。（2）（2009广东卷理）（本小题满分14分）zyxE1G1如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.A1B1C1D1ABCDExyz例2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）解析：建立坐标系如图，则、，。不难证明为平面BC1D的法向量， 。 D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为。点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。题型2：直线与平面所成的角例3PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）DA. B. C. D. 解：构造正方体如图所示，过点C作CO平面PAB，垂足为O，则O为正ABP的中心，于是CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a，则PO=，故，即选C。思维点拨：第（2）题也可利用公式直接求得。例4（2009北京卷文）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.点评：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。题型3：二面角例5在四棱锥PABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，E为BC中点。（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解析：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABCD，ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A，过A作AOPF于O，连结OD，则AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为；（2）解法1（面积法）如图ADPA、AB, PAAB=A，DA平面BPA于A, 同时，BC平面BPA于B，PBA是PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为,cos=SPAB/SPCD=/2 =450。即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45。解法2（补形化为定义法）如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCDPQMN，则PQPA、PD，于是APD是两面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，则APD=45。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45。例6（1）(2009山东卷理)（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.（2）（2009安徽卷理）（本小题满分13分）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。 由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。又因为 故四棱锥H-ABCD的体积评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。（2）解析：球的半径是R=，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，则AOB，AOC都等于，AB=AC，两点的球面距离是，BOC=，BC=1，过B做BDAO，垂足为D，连接CD，则CDAD，则BDC是二面角的平面角，BD=CD=，BDC=，二面角的大小是，选C。题型4：异面直线间的距离例7如图，已知正方体棱长为，求异面直线与的距离解法一：连结交的中点，取的中点，连结交于，连，则，过作交于，则。又斜线的射影为，。同理，为与的公垂线，由于为的中点，。，故，解法二（转化为线面距）因为平面，平面，故与的距离就是到平面的距离由，即，得O解法三（转化为面面距）易证平面平面，用等体积法易得到平面的距离为。同理可知：到平面的距离为，而，故两平面间距离为解法四（垂面法）如图，平面，平面，平面平面，故O到平面的距离为斜边上的高。解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点M，作MEBC于E，过E作ENBD交BD于N，易知MN为BD与的公垂线时，MN最小。设BE=，CE=ME=，EN=，MN=。当时，时，。ABCDOS图2例8如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则， ，。，。令向量，且，则，。异面直线和之间的距离为：。题型5：点面距离例92009江西卷文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.解：方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，。（1） 可求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。例10（1）(2009湖北卷理)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值 18.（）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（）解法1：如图1，由SD平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DEAE于F，连接CF，则CFAE，故CDF是二面角C-AE-D的平面角，即CDF=。在RtBDE中，BD=2a，DE=在RtADE中, 从而在中，. 由，得.由，解得，即为所求.（I） 证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0）， ， 即。（II） 解法2：由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得。 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为. . 0， . 由于，解得，即为所求。BACD例11已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。解析：（1）连结BD，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线AC的距离。在中。（2）因为AC与平面BD交于的中点，设，则/DE，所以/平面，所以到平面BD的距离等于点到平面BD的距离，等于点到平面BD的距离，也就等于三棱锥的高。，所以，直线到平面BD的距离是。思维点拔：求空间距离多用转化的思想。ACBPEF图7例12如图7，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。 求与平面间的距离？分析：设、的单位向量分别为、，选取，作为空间向量的一组基底。易知，=，设是平面的一个法向量，则，即，直线与平面间的距离=（2009陕西卷文）如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 .答案: ABO1O 解析:由,=2由勾股定理在中则有, 又= 则 所以在，则，那么 . 由弧长公式得.五【思维总结】1这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；2把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。3求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cos”求二面角否则要适当扣分。求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。4注意数学中的转化思想的运用（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com
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