导数的基本概念及性质应用

1 导数的基本概念及性质应用 考点 1 掌握导数的基本概念及运算公式 并能灵活应用公式求解 2 能运用导数求解单调区间及极值 最值 3 理解并掌握极值及单调性的实质 并能灵活应用其性质解题 能力 数形结合 方法 讲练结合 新授课 一 知识点总结 导数的基本概念与运算公式 导数的概念 函数 y 的导数 就是当 0 时 函数的增量 y 与自变量的增量 的比 xf f x x 的极限 即 x 0 x lim y li f f 说明 分子和分母中间的变量必须保持一致 导函数 函数 y 在区间 a b 内每一点的导数都存在 就说在区 间 a b 内可导 其导数也是 xf xf a b 内的函数 叫做 的导函数 记作 或 xf xf y 函数 的导函数 在 时的函数值 就是 在 处的导数 xf 0 0f xf0 导数的几何意义 设函数 y 在点 处可导 那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 xf0 处的切线斜率 0 xM 求导数的方法 基本求导公式 0 c 1Qmxm xos sinsinc xe axl x1 l xaln1lg 2 导数的四则运算 vu vu 02 vvu 复合函数的导数 设 在点 x 处可导 y 在点 处可导 则复合函数 在点 x 处可导 g xf gf uffx 导数性质 1 函数的单调性 设函数 y 在某个区间内可导 若 0 则 为增函数 若 0 则 xf xf xf xf 为减函数 求可导函数单调区间的一般步聚和方法 确定函数 的定义区间 xf 求 令 0 解此方程 求出它在定义区间内的一切实根 f f 把函数 的间断点 即 的无定义点 的横坐标和上面的各个实根按由小到 xf xf 大的顺序排列起来 然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间 xf 确定 在各小开区间内的符号 根据 的符号判定函数 在各个相应小 xf f xf 开区间内的增减性 说明 原函数单调性与导函数单调性无关 只与导函数正负号有关 2 可导函数的极值 极值的概念 设函数 在点 附近有定义 且对 附近的所有点都有 或 xf00 x xf 0f 则称 为函数的一个极大 小 值点 称 为极大 小 值点 f 0 xf 求可导函数极值的步骤 求导数 xf 3 求方程 0 的根 xf 检验 在方程 0 的根左右的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近f f 为负 那么函数 y 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负 右侧xf 为正 那么函数 y 在这个根处取得极小值 f 说明 极值点的导数为 0 导数为 0 的点不一定是极值点 隐含条件 说明某点是极 值点 相当于给出了一个 0 的方程 xf 3 函数的最大值与最小值 设 y 是定义在区间 a b 上的函数 y 在 a b 内有导数 求函数 y xf xf 在 a b 上的最大值与最小值 可分两步进行 求 y 在 a b 内的极值 xf 将 y 在各极值点的极值与 比较 其中最大的一个为最大值 最f afbf 小的一个为最小值 若函数 y 在 a b 上单调增加 则 为函数的最小值 为函数的最大值 xf af bf 若函数 y 在 a b 上单调减少 则 为函数的最大值 为函数的最小值 f f f 说明 极大值小于等于最大值 极小值大于等于最小值 二 例题讲解 题型一导数的概念 例 1 设 f x 在点 x0处可导 a 为常数 则 等xafafx lim00 于 A f x0 B 2af x0 C af x0 D 0 变式 设 在 处可导 xf lim 0 xffx 4 题型二导数的几何意义 物理意义 例 2 1 求曲线 在点 1 1 处的切线方程 2 xy 2 运动曲线方程为 求 t 3 时的速度 2ttS 分析 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知 函数 y f x 在 处的导数就是曲0 x 线 y f x 在点 处的切线的斜率 瞬时速度是位移函数 S t 对时间的 0yxp 导数 题型三利用导数求单调区间 例 3 求下列函数单调区间 1 521 3 xxfy 2 xy1 2 3 xky 2 0 4 ln2 xy 5 题型四 利用导数求函数的最 极 值 例 4 求函数 在闭区间 3 0 上的极值 最大值 最小值13 xf 题型五 原函数图像与导函数图像 例 5 1 设 f x 是函数 f x 的导函数 y f x 的图象 如右图所示 则 y f x 的图象最有可能的是 A B C D 2 函数 的定义域为开区间 导函数 在 内的图象如图所 xf ba xf ba 示 则函数 在开区间 内有极小值点 A 1 个 B 2 个 x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 abxy xf O 6 C 3 个 D 4 个 题型六 利用极值的本质及单调性求解析式 例 6 已知函数 在 处取得极值 xbaxf3 23 1 I 讨论 和 是函数 的极大值还是极小值 1 f II 过点 作曲线 的切线 求此切线方程 6 0 Axy 例 7 已知函数 在点 处取得极大值 5 其导函数 的图象 32fxabcx 0 yfx 经过点 1 0 2 0 如图所示 求 1 的值 2 a b c 的值 x 例 8 已知函数 f x x 3 ax2 bx c 当 x 1 时 取得极大值 7 当 x 3 时 取得极小 值 求这个极小值及 a b c 的值 7 例 9 已知 的图象经过点 且在 处的切线方程是cbxaxf 24 0 1 x 1 求 的解析式 2 求 的单调递增区间y fy fy 题型七 含参数的讨论 例 10 1 如果函数 f x x3 ax 的图象上各点处的切线斜率都为正数 则实数 a 的取值 范围是 A 0 B 0 C 3 D 3 2 如果函数 f x x3 ax 的图象上有平行于 x 轴的切线 则实数 a 的取值范围是 例 11 已知函数 在区间 上都是增函 32fxabx 0acR 且 0 数 在 0 4 上是减函数 1 求 b 的值 2 求 a 的取值范围 题型八 综合应用 8 例 12 平面向量 若存在不同时为 的实数 和 使13 3 2ab 0kt 且 试确定函数 的单调区间2 xtykat xy ft 例题答案 例 1 解 2 lim lim li0 00000 xaf xaffaxafxfxafaxx 故选 C 变式 1 例 2 1 22 2 1 1 xxy 即曲线在点 1 1 处的切线斜率 k 004 1 x 因此曲线 在 1 1 处的切线方程为 y 12 y 2 2ttS ttt 4214 34 276191 3 t 例 3 1 时2 xy 3 x 32 1 0 y 9 1 32 x0 y 32 1 1 32 2 2y 3 21xk k 0 y 0 kx y k k 4 定义域为xy14 2 0 0 x y 21 x0 y 例 4 略 注意强调学生的步骤完整性 例 5 1 C 2 A 例 6 分析 1 分析 x 1 处的极值情况 关键是分析 x 1 左右 x 的符号 f 2 要分清点 A 0 16 是否在曲线上 解 1 x 3ax 2 2bx 3 依题意 1 1 0 即f f f 032 ba 解得 a 1 b 0 f x x 3 3x x 3x 2 3 3 x 1 x 1 f 令 x 0 得 x 1 x 1 f 若 x 1 1 则 x 0 f 故 f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上是增函数 若 x 1 1 则 x 0 故 f x 在 1 1 上是减函数 所以 f 1 2 是极大值 f 1 2 是极小值 2 曲线 y x3 3x 点 A 0 16 不在曲线上 设切点 M x 0 y 0 则 y0 x03 3x x 0 3x 02 3 f 10 切线方程为 y y 0 3 x 02 1 x x 0 代入 A 0 16 得 16 x 03 3x0 3 x 02 1 0 x 0 解得 x0 2 M 2 2 切线方程为 9x y 16 0 评述 过已知点求切线 当点不在曲线上时 求切点的坐标成了解题的关键 例 7 解 函数 的增减变化如下表 f x 1 1 22 f 0 0 x 极 大 极 小 1 在 x 1 处由增变减 故 为极大值 即 1 f 1f0 x 2 由于 23abxc 001495512fc 例 8 解 f x 3x 2 2ax b 据题意 1 3 是方程 3x2 2ax b 0 的两个根 由韦达 定理得 a 3 b 9 f x x 3 3x 2 9x c f 1 7 c 2 极小值 f 3 3 3 3 3 2 9 3 2 25 极小值为 25 a 3 b 9 c 2 例 9 解 1 的图象经过点 则 xxf 24 0 1 c 3 1 fkfab 切点为 则 的图象经过点 cxx24 得 59 abc 得4259 1fxx 1 11 2 310310 109 fxxx 或 单调递增区间为 例 10 1 A 2 0 例 11 解 由条件知 是函数 的极值点 x yfx 令 得 23fab 0 b 已求 令 得 由条件知0b 2fxx f 20 3xa 0 x 为极大值点 则 应为极小值点 又知曲线在区间 0 4 上是减函数 3a 得243a 61 1 6 例 12 解 由 得3 2b 0 2 1ab A2 2 2 3 0 3 3 0atkatktktabt AA3114 44kf 2 fttt 得 或 20 1t 得 所以增区间为 减区间为 1 三 课堂演练 1 若曲线 y f x 在点 x 0 f x 0 处的切线方程为 2x y 1 0 则 A f x 0 0 B f x 0 0 B a 0 C a 1 D a 3 7 与直线 2x 6y 1 0 垂直 且与曲线 y x3 3x2 1 相切的直线方程是 8 已知 a 为实数 4 2xf 求导数 若 求 在 2 2 上的最大值和最小值 0 1 f xf 若 在 2 和 2 上都是递增的 求 a 的取值范围x 1 6AAADAA 7 3x y 2 0 8 解 由原式得 4 23axxf 423 axxf 由 得 此时有 01 1a 3 1 22 xff 由 得 或 x 1 f3x 又 0 2 29 7534 fff 所以 f x 在 2 2 上的最大值为 最小值为 75 解法一 的图象为开口向上且过点 0 4 的抛物线 由条件4 2 axxf 得 0 即 2 a 2 48 13 所以 a 的取值范围为 2 2 解法二 令 即 由求根公式得 0 xf 0423 ax21 212 所以 在 和 上非负 43 2 axxf 1 x 2 由题意可知 当 x 2或 x 2时 0 f 从而 x1 2 x2 2 即 解不等式组得 2 a 2 6 a a 的取值范围是 2 2 四 课堂小结 导数是高中数学中重要的内容 是解决实际问题的强有力的数学工具 运用导数的有 关知识 研究函数的性质 单调性 极值和最值是高考的热点问题 在高考中考察形式多 种多样 以选择题 填空题等主观题目的形式考察基本概念 运算及导数的应用 也经常 以解答题形式和其它数学知识结合起来 综合考察利用导数研究函数的单调性 极值 最 值 知识点需要熟悉 但是更重要的是掌握其本质 并能灵活应用于各种题型 五 课下作业 1 函数 的递增区间是 3yx A B 0 1 C D 2 若 则 的值等于 32 fxa 4f a A B C D 191631310 3 函数 在区间 上的最小值为 34 xy 2 A B C D 72610 14 4 曲线 在点 处的切线倾斜角为 xy43 1 3 5 函数 的单调递增区间是 52 答案 1 C 2 D 3 D 4 5 1 3