小学奥数重点全覆盖知识点-例题-练习题

目 录1和差倍问题 32年龄问题的三个基本特征 73归一问题的基本特点 204植树问题 245鸡兔同笼问题 296盈亏问题 337牛吃草问题 638周期循环与数表规律 709平均数 7710抽屉原理 8711定义新运算 9312数列求和 10213二进制及其应用 11014加法乘法原理和几何计数 12815质数与合数 13716、约数与倍数 16417数的整除 17418余数及其应用 18619余数、同余与周期 20520分数与百分数的应用 21421分数大小的比较 23822分数拆分 25023完全平方数 26224比和比例 26825综合行程 28926工程问题 30127逻辑推理 32428几何面积 35029立体图形 38430时钟问题快慢表问题 3961和差倍问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系 公式 (和差)2=较小数 较小数差=较大数 和较小数=较大数 (和差)2=较大数 较大数差=较小数 和较大数=较小数 和(倍数1)=小数 小数倍数=大数 和小数=大数 差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 小数差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数 和差倍问题应用题1、一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多少千克？2、山坡上有一群羊，其中有绵羊和山羊。已知绵羊比山羊的3倍多55只，已知绵羊比山羊多345只，两种羊各有多少只？3、育才小学参加科技小组的同学比参加合唱队的4倍少45人，参加科技小组的同学比合唱队的人数多105人，求参加科技小组同学和参加合唱队的人数各有多少人？4、小芳课外书的本数是小强课外书本数的3倍。如果小芳借给小强10本书，小强书的本数等于小芳的3倍。小芳和小强各有课外书多少本？5、甲仓库存大米500袋，乙仓库存大米200袋，现从两个仓库里运走同样袋数的大米，结果甲仓库剩下大米正好是乙仓库剩下大米的3倍。问从两个仓库里各运走多少袋大米？6、一个车间，女工比男工少35人，男女工各调出17人后，男工人数是女工人数的2倍。原有男工、女工各多少人？7、甲、乙两数的差及商都等于6，那么甲、乙两数的和等于多少？8、某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走18个男工，那么女工人数是男工人数的两倍，这个车间有女工多少人？9、有两缸金鱼，如果从甲缸中取出5条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。已知原来甲缸的金鱼数是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金鱼多少条？10、两筐重量相等的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克以后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍，两筐苹果各有多少千克？11、一天，A、B、C三个钓鱼协会的会员去郊外钓鱼，已知A比B多钓6条，C钓的鱼是A的2倍，比B多钓22条，他们一共钓了多少条鱼？12、某小队队员提一篮苹果和梨子到敬老院去慰问，每次从篮里取出2个梨子、5个苹果送给老人，最后剩下11个苹果，梨子正好分完。这时他们才想起原来苹果数是梨子的3倍。问篮内原有苹果、梨子各多少个？13、已知大小两个数的差是5.49，将较大数的小数点向左移动一位，就等于较小数。较大的数是多少？较小的数是多少？ 14、已知两个数的商是4，这两个数的差是39，那么这两个数中较小的一个数是多少？ 15、甲、乙两数的差是9，甲数的1/6和乙数的1/4相等，甲数是多少？乙数是多少？ 16、 育红小学原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内、室外活动的共有多少人？ 17、四个数依次相差1/80，它们的比是1：3：5：7，求这四个数的和。 18、 小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明的2倍？ 19、有两筐苹果，如果从第一筐拿出9个放到第二筐，两筐苹果个数相等；如果从第二筐拿出12个放到第一筐，则第一筐苹果的个数等于第二筐的2倍。原来每筐各有几个苹果？ 20、某车间男工人数是女工人数的两倍，若调走18个男工，那么女工数是男工人数的两倍。这个车间的女工有多少人？ 21、 大、小两个水池都未注满水，如果从小池抽水将大池注满，则小池还剩水10吨；如果从大池抽水将小池注满，则大池还剩水20吨，已知大池容积是小池的1.2倍，两池水共有多少吨？ 2年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的； 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； 两个人的年龄的倍数是发生变化的； 年 龄 问 题教学目标：本讲主要学习三种类型的年龄问题：1、理解掌握可以转化为和差问题的年龄问题；2、理解掌握可以转化为和倍问题的年龄问题；3、理解掌握可以转化为差倍问题的年龄问题4、理解特殊形式的年龄问题，解决实际问题。本章内容主要围绕年龄问题进行展开分析，通过本章知识的学习，要求同学们能熟练运用和差、和倍、差倍的知识以及图示法计算有关年龄问题知识点讲解：根据以上题目，我们得出年龄问题的三大规律：1、 两人的年龄差是不变的；2、 两人年龄的倍数关系是变化的量；3、 随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄=大小年龄差倍数差-小年龄，几年前年龄=小年龄-大小年龄差倍数差.【例1】 姐姐、妹妹二人的年龄和是33岁，四年后姐姐比妹妹大5岁那么今年姐姐和妹妹各是多少岁?分析：四年后姐姐比妹妹大5岁，意味着今年姐姐比妹妹大5岁，由于今年二人的年龄和是33岁，所以用和差问题的方法：姐姐的年龄：(335)219(岁)， 妹妹的年龄：(335)214(岁)前铺：小傲爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？分析: 五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题。所以爸爸年龄：（72+6）2=39（岁），妈妈的年龄：39-6=33（岁）【例2】 甲、乙、丙三人平均年龄为42岁，若将甲的岁数增加7，乙的岁数扩大2倍，丙的岁数缩小2倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？ 分析：甲增加7岁后，三人总年龄是423+7133岁，并且这时丙是甲的2倍，甲是乙的2倍，丙是乙的4倍，所以这时乙的年龄是(423+7)(1+2+4)=(423+7) 7=19 (岁)，所以丙的年龄是194=76(岁)巩固 今年甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁，甲21岁时，乙17岁；今年甲18岁，丙的年龄是丁的3倍问丁今年的年龄?分析：由“甲21岁时，乙17岁”可以推知甲比乙大4岁，因此当甲18岁时，乙就是14岁由于甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁，甲，18岁，乙14岁，故丙和丁的年龄和就是64141832(岁)因为丙的年龄是丁的3倍，剩下的问题是个和倍问题以丁的年龄作为1倍量，丙的年龄就是3倍量，从而两个人的年龄和32岁，就是4倍量，因此1倍量的大小即丁的年龄是：3248(岁)【例3】 姐姐与妹妹3年后的年龄和是33岁，妹妹今年的年龄等于两人的年龄差，姐姐今年多少岁？分析：今年姐姐和妹妹的年龄和是：33-（32）=27（岁），妹妹今年的年龄等于两人的年龄差，实际上姐姐是妹妹年龄的2倍，也就是姐妹二人的年龄和是妹妹今年年龄的3倍，所以，妹妹的年龄是：273=9（岁），姐姐今年是：27-9=18（岁）.拓展哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁问：哥哥现在多少岁？分析：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是325份，一份就是3056，哥哥现在是6318岁【例4】 兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大”这时他们俩各几岁？分析：通过“弟弟说：不对，再过3年我和你一样大”知道哥哥比弟弟大3岁，再通过“哥哥对弟弟说：再过3年我的年龄就是你的2倍”哥哥现在比弟弟大6岁，这样得出弟弟是6岁，哥哥是639岁拓展 甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7”问：甲、乙二人现在各多少岁？分析: 从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前这几年就是甲乙的年龄差因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半即，乙今年龄差甲今的一半 （1）乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7即 甲今年龄差2乙今7 （2）把甲乙的对话用下图表示为：由（1）得甲今2乙今2年龄差 （3）由（2）得 甲今2乙今7年龄差 （4）由（3）（4）年龄差7（岁）从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁乙现在年龄： 7321（岁），甲现在年龄： 7428（岁）【例5】 三名男青年王强、张胜、李明和三名女青年芳芳、丽丽、蓉蓉这六个人是三对兄妹，哥哥比妹妹都大5岁，王强比芳芳大1岁，王强与丽丽的年龄和为48岁，张胜与丽丽的年龄和为52，他们六人中各对兄弟妹分别是谁和谁？(只写出答案，不列式)分析：由于哥哥比妹妹大5岁，两人年龄之和一定是奇数，所以王强与丽丽又不是兄妹，张胜与丽丽也不是兄妹又因为王强只比芳芳大一岁，因而也不是兄妹，所以王强与蓉蓉是兄妹，从而张胜与芳芳是兄妹，剩下李明与丽丽是兄妹用图表法解释如下：【例6】 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁问：现在各人的年龄是多少？分析：73581544，我们知道四个人四年应该增长了4416岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15123，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是325岁，父母今年的年龄和是733565岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（653）234岁，母亲是653431岁【例7】 今年小华9岁，爸爸33岁，那么再过多少年小华的岁数是爸爸岁数的一半?分析：今年小华比爸爸小33924岁，那么小华永远比爸爸小24岁几年后小华是爸爸岁数的一半时，即爸爸年龄是小华的2倍时，爸爸仍比小华大24岁这是个差倍问题以小华的年龄作为1倍量，爸爸年龄是2倍量，所以爸爸比小华大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁所以小华24岁时年龄是爸爸年龄的一半，因此再过24915(年)小华的岁数是爸爸的一半拓展妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍，多少年后，妈妈的年龄恰好是女儿的3倍？分析：女儿今年的年龄357=5（岁），母女年龄差是：35-5=30（岁），当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄是：30（3-1）=15（岁），所以要经过：15-5=10（年）【例8】 今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。4年后，父亲的年龄是弟弟的4倍，母亲的年龄是哥哥的3倍。那么，当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是公元多少年？分析：4年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，4倍弟弟年龄+3倍哥哥的年龄=86=3倍兄弟年龄和+弟弟年龄=253+弟弟年龄，所以弟弟年龄是86-253=11岁，那么哥哥25-11=14岁，父亲114=44岁，母亲143=42岁。以上计算都是4年后的情况，所以，今年父亲40岁，母亲38岁，哥哥10岁，弟弟7岁。当父亲年龄是哥哥年龄的3倍的时候，父亲，哥哥，年龄差是哥哥年龄的2倍，那时哥哥是（40-10）2=15岁，那么，5年以后1996+5=2001年【例9】 2001年父亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的4倍，2007年，父亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的2倍，问：父亲出生在哪一年？分析：父亲在2007年的年龄应该是4线段再加6岁，而兄弟二人在2007年的年龄之和是1线段再加上26=12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2线段再加3岁，由：1段+12岁=2段+3岁，可以推知1段是9岁，所以父亲2001年的年龄是：94=36（岁），他出生于：2001-36=1965（年）【例10】 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁经过多少年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和?分析：观察每过一年，爷爷的年龄与三个孙子年龄和的差的变化相等时的图示所示：三个孙子的年龄和是27231666(岁)，跟爷爷的差距是786612 (岁)由于每过一年，三个孙子的年龄和增大3岁，而爷爷年龄增大1岁因此每过一年，爷爷和三个孙子年龄和的差就缩小2岁这样由于他们的差距一共是12岁，所以1226(年)【例11】 女儿今年12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经60了！”问：妈妈12岁时，时哪一年？分析：母女年龄差是（60-12）2=24 2009-24=1985 答：妈妈12岁是1985年。【例12】 “重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？ 分析：两年之后，这25位老人的平均年龄为200025=80(岁)，其中年龄最大的老人为80+12=92(岁)，年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁)课后练习：1 小明今年（1995）的年龄是他出生那年的年份的数字之和，问：他今年多少岁？分析：19ab年，11a+2b=85.1+9+7+4=21（岁）2 父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是多少岁？分析：此题关键要抓住年龄差不变，当父亲的年龄是儿子的8倍时，儿子的年龄是一份，父亲的年龄是8份，他们的年龄差是817份，因为他们的年龄差始终保持不变，年龄差是441628岁，所以一份是2874，即儿子的年龄是4岁，父亲的年龄是4832时，父亲的年龄是儿子的8倍，此时他们的年龄和是43236岁3. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了”求老师与学生的年龄分析：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄3老师年龄学生年龄39老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：（393）312，所以学生年龄是31215岁，老师年龄是151227岁4 小红、小橙、小黄、小绿四人今年分别是16，12，11，9岁问：多少年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍？分析：现在小红、小橙的年龄和是161228岁，小黄、小绿的年龄和是11920岁，他们和的年龄差是28208岁，当小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍时，他们的年龄差是1份，即8岁，此时小红、小橙的年龄和是2816岁，小黄、小绿的年龄和是8岁，又因为每一组是两个人，所以往前推（2816）26年，即6年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍5 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁问：母亲今年多少岁?分析：6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是786266 (岁)6年前母子年龄和是666254(岁)又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄 母子今年年龄和： 786266(岁)， 母子6年前年龄和： 666254(岁)， 母亲6年前的年龄： 54 (51)545(岁)， 母亲今年的年龄： 45651(岁)6. 爸爸今年30岁，儿子小明和小强分别是5岁和6岁，再过几年小明和小强的年龄和与爸爸的年龄相等？ 分析：两个儿子的年龄和是5611岁，爸爸比他们的年龄和大30119岁，每过一年两个儿子的年龄和比爸爸的年龄增加211岁，所以要过9年，小明和小强的年龄和才能与爸爸的年龄相等7.三个人年龄之和是80岁，最小的一个20岁，他与最大的人年龄之和比其它两人年龄之和小8岁，那么这三个人的年龄各是多少? 分析：最小的一个与最大的人年龄之和比第二大的与最大的年龄之和小8岁，也就是说最小的人比年龄在中间的人小8岁，所以，年龄在中间的人的年龄是：20+8=28（岁），最大的人的年龄就是：80-20-28=32（岁）8. 今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半?60了！”问：妈妈12岁时，时哪一年？分析：母女年龄差是（60-12）2=24 2009-24=1985 答：妈妈12岁是1985年。10.甲，乙，丙，丁四人现在的年龄和是64岁，甲21岁时，乙是17岁；甲是18岁时，丙的年龄是丁的3倍。丁现在的年龄是多少岁？分析：（64-18-14）（3+1） =328 =8（岁）11.小明与爸爸的年龄和是52岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄小2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？分析：把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份多2，根据和倍关系：小明的年龄是：（522）（41）10（岁），爸爸的年龄是：521042（岁），小明与爸爸的年龄差是：421032（岁）.12. “重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？ 分析：两年之后，这25位老人的平均年龄为200025=80(岁)，其中年龄最大的老人为80+12=92(岁)，年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁)13.今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后，祖父的年龄是小明的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的四倍。祖父今年是多少岁？分析：祖父的年龄是小明的6，5，4倍的时候，年龄差为5，4，3倍小明的年龄，由于年龄差不变。5，4，3的最小公倍数（最小公倍数）为60，所以年龄差为60的倍数，而实际情况中年龄差只能是60.今年，年龄差是小明年龄的5倍，所以小明的年龄是605=12岁，爷爷的年龄是126=72岁。14.叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华的3倍，今年小华多少岁？分析：因为明年叔叔毕小华仍然大20岁，于是明年小华是20（3-1）=10（岁）所以小华今年是10-1=9（岁）15.四个人年龄和是77岁，最小的是10岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄和大7岁，那么最大的岁数是多少？分析：（77+7）2=42所以最大的岁数是42-10=32（岁）。3归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；小学数学应用题分类解题归一应用题在解答某一类应用题时，先求出一份是多少（归一），然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题，这类应用题叫做归一应用题。归一，指的是解题思路。归一应用题的特点是先求出一份是多少。归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。在求出一份是多少的基础上，再求出几份是多产，这类应用题叫做正归一应用题；在求出一份是多少的基础上，再求出有这样的几份，这类应用题叫做反归一应用题。根据“求一份是多少”的步骤的多少，归一应用题也可分为一次归一应用题，用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题；两次归一应用题，用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题。解答这类应用题的关键是求出一份的数量，它的计算方法：总数份数一份的数例1、 24辆卡车一次能运货物192吨，现在增加同样的卡车6辆，一次能运货物多少吨？先求1辆卡车一次能运货物多少吨，再求增加6辆后，能运货物多少吨。这是一道正归一应用题。19224(24+6)=240吨例2、 张师傅计划加工552个零件。前5天加工零件345个，照这样计算，这批零件还要几天加工完？这是一道反归一应用题。例3、 3台磨粉机4小时可以加工小麦2184千克。照这样计算，5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克？这是一道两次正归一应用题。例4、 一个机械厂和4台机床4.5小时可以生产零件720个。照这样计算，再增加4台同样的机床生产1600个零件，需要多少小时？这是两次反归一应用题。要先求一台机床一小时可以生产零件多少个，再求需要多少小时。160072044.5(4+4)=5小时例5、 一个修路队计划修路126米，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务，并要求在6天完工。如果每个工人每天工作量一定，需要增加多少工人才如期完工？先求每人每天的工作量，再求现在要修路多少米，然后求要5天完工需要工人多少人，最后求要增加多少人。(126+54)(126765)7=5人例6、 用两台水泵抽水。先用小水泵抽6小时，后用大水泵抽8小时，共抽水624立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。求大小水泵每小时各抽水多少立方米？解法一：根据“小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”，可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量。把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率。1、 大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量？52=2.5小时2、 大水泵8小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量2.58=20小时3、 小水泵1小时能抽水多少立方米？642(6+20)=24立方米4、 大水泵1小时能抽水多少立方米？242.5=60立方米解法二：1、 小水泵1小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量25=0.4小时2、 小水泵6小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量046=2.4小时3、 大水泵1小时能抽水多少立方米？624(8+2.4)=60立方米4、 小水泵1小时能抽水多少立方米？600.4=24立方米例7、 东方小学买了一批粉笔，原计划29个班可用40天，实际用了10天后，有10个班外出，剩下的粉笔，够有校的班级用多少天？先求这批粉笔够一个班用多少天，剩下的粉笔够一个班用多少天，然后求够在校班用多少天。1、 这批粉笔够一个班用多少天4020=800天2、 剩下的粉笔够一个班用多少天8001020=600天3、 剩下几个班2010=10个4、 剩下的粉笔够10个班用多少天60010=60天(40201020) (2010) =60天例8、 甲乙两个工人加工一批零件，甲4.5小时可加工18个，乙1.6小时可加工8个，两个人同时工作了27小时，只完成任务的一半，这批零件有多少个？先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间，再求出工作了27小时，甲乙两工人各加工了零件多少个，然后求出一半任务的零件个数，最后求出这批零件的个数。27(4.518)+27(1.68)2=486个 4植树问题 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数 棵距段数=总长 关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 【例4】 间隔和分段问题【例5】 小军家住在5楼，每上1层楼梯要1分钟。他从1楼走到5楼要用几分钟呢？【例6】 如果你的答案是5分钟就错了，正确的答案应该是3分钟，为什么？【例7】 这就是我们这一讲所要解决的问题间隔、分段问题，具体来说包括有楼梯问题、植树问题等等。典型例题例1 把1根木头锯断，要2分钟。把这根木头锯成4段，要几分钟？分析 这样想：把1根木头锯断，也就是锯1次要用2分钟。而把这根木头锯成4段，需要锯几次？只要锯3次，也就是需要3个2分钟。解 2（41）=6（分）答：锯成4段，需要6分钟。例2 某人到一座高层楼的8楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从1楼走到4楼用了48秒。用同样的速度走到8楼，还要多长时间？1234567848秒分析 可以先求出上1层楼梯要多少秒，从图中知道，48秒上了3层楼梯，上1层楼梯用的时间是48（41）=16（秒）。再求出从4楼到8楼用的时间，从图中也可以知道，要上4层楼梯，也就是4个16秒。解 48（41）=16（秒）16（84）=64（秒）答：还要64秒。例3 时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么6电钟敲6下，几秒钟敲完？第1下第下第下第下第下第下秒分析 时钟敲下，经过了个时间间隔，每个时间间隔是（）（秒）。解（）（秒） （）（秒）答：秒敲完。例同学们上体育课，有个男生排成一排，相临两个男生相隔米。问这排男生排列的长度有多少米？分析个男生排成一排，有几个间隔？和前面一样，应有个间隔，也就是个米。解（）（米）答：这排男生排列的长度排有米。米米例有一条路长米。在路的一侧从头到尾每隔米栽一棵树。共栽多少棵树？分析以米为一段，米可以分成段。由于头尾都栽，所以栽的棵树比分成的段数多。解（棵）答：共栽棵树。例一个圆形的花坛，周长是米。每隔米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？分析 1. 花坛的一周以6米为一段，可以分成1806=30（段）。由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数=棵树，也就是种30棵芍药花。2每两棵芍药花之间种两棵月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵。解 芍药花的棵树：1806=30（棵）月季花的棵树：230=60（棵）答：可以栽30棵芍药花、60棵月季花。小结 解上楼梯问题就是考虑有几个间隔（或几次），解植树问题就是考虑有几段。一、 锯木头的时间、排队伍的长度、时钟敲的时间等，实际上都是上楼梯问题，就是台阶总数=每层楼梯的台阶数（所达到的层数起点的层数）。二、 解植树问题就要弄清有几段。如：100米的长度，每10米载一棵树，就分成10段。如果排成一排，栽的棵树=段数1，即100101=11（棵）。如果围城圆形，栽的棵树=段数，即10010=10（棵）。5鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： 假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： 假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； 每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； 再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： 把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数） 把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 鸡兔同笼问题的几种解法鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。通过学习解鸡兔同笼问题，可以提高我们的分析问题、解决问题的能力。下面我来介绍几种解鸡兔同笼问题的方法：例 题大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算经中记载了一道数学趣题，这就是著名的“鸡兔同笼”问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思就是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问鸡和兔各有多少只？解法一：列表枚举法列表枚举法就是让我们列出表格，采用依次列举，逐步尝试的方法来解决这个问题。详细过程见下表：鸡3534333226252423兔01239101112脚7072747688909294用这种方法解题简单，容易理解，但过程太过笨拙、繁琐，相信它也不符合你的口味儿吧！解法二：抬 腿 法这是古人解题的方法，也就是孙子算经中采用的方法。1、抬腿，即鸡“金鸡独立”，兔两个后腿着地，前腿抬起，腿的数量就为原来数量的一半。942=47只脚。2、现在鸡有一只脚，兔有两只脚。笼子里只要有一只兔子，脚数就比头数多1。3、那么脚数与头数的差4735=12就是兔子的只数。4、最后用头数减去兔的只数3512=23就得出鸡的只数。所以，我们可以总结出这样的公式：兔子的只数=总腿数2总只数。解法三：假 设 法假设法是鸡兔同笼类问题最常用的方法之一。假设这35个头都是兔子，那么腿数就应该是354=140，就比94还多，那么是哪里多的呢？当然是我们把两条腿的鸡看成了四条腿的兔子了。我们都知道一只兔子比一只鸡多2条腿，多2条腿就有1只鸡，那么多的腿数当中有多少个2就有多少只鸡。我们可以列式为：鸡的只数=（35494）（42）。总结公式为：鸡的只数=（兔的脚数总只数总腿数）（兔的腿数鸡的腿数）。当然我们也可以把这35个头都看成鸡的，那么腿数应该是352=70，就比94还少，相信不说你也明白为什么少了？对，因为我们把4条腿的兔子看成了2条腿的鸡，那么每少两条腿就有1只兔子。所以我们可以这样列式：兔的只数=（94352）（42）。总结公式为：兔的只数=（总脚数鸡的脚数总只数）（兔的脚数鸡的脚数）。解法四：方 程 法解法五：砍 腿 法砍腿法是假设法的深入拓展，它更适合我们小学生的理解方式，下面我就用这种方法来解一下这道题。我们首先砍去每只鸡、每只兔的两条腿，这样每只鸡就没有腿了，每只兔子就剩下了两条腿，腿的总数也就变成了94352=24（条），那么这24条腿都是砍掉两条腿后的兔子的腿，所以兔子的只数就是242=12（只），鸡的只数就是3512=23（只）。我们仔细观察会发现它的计算过程和假设法中先把所有的都看成鸡的做法是一样的。只不过这种说法，我们理解起来更容易而已。看完了上面的5种解法，不知你有何感想？你一定会觉得学习数学真是一件很有趣的事情，数学中充满了无穷的奥妙。我要告诉你：在我们的数学学习中经常会遇到一些看起来无从下手的题，我们不能马上解决它，那么我们就要积极动脑，认真思考，尝试各种方法去解决，这样你一定能找到解决方法。所以我们面对困难不能知难而退，反而要迎难而上，只有这样我们才能从数学中获得更多的学习乐趣。6盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量 知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题” 可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈亏)两次分得之差人数或单位数(盈盈)两次分得之差人数或单位数(亏亏)两次分得之差人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意1.条件转换 2.关系互换基本题型： 一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差 当两次都有余数； 基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差 当两次都不足； 基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 板块一、直接计算型盈亏问题【例 1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块这两次搬砖，每人相差（块）第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员（人）共有砖：（块）【巩固】 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【解析】 “多8元”与“多4元”两者相差（元），每个人要多出（元），因此就知道，共有（人），蛋糕价钱是（元）【巩固】 老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【解析】 老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是（个），两次分配之差是（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：（只），老猴子有（个）桃子.【巩固】 有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？【解析】 由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：（本），相差60本的学生有：（人）练习本有：（本）（或）【例 2】 （年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃下午收工后，猴王开始分配若大猴分个，小猴分个，猴王可留个若大、小猴都分个，猴王能留下个在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只【详解】 当大猴分个，小猴分个时，猴王可留个若大、小猴都分个，猴王能留下个也就是说在大猴分个，小猴分个后，每只大猴都拿出个，分给每只小猴个后，还剩下个，所以大猴比小猴多只【巩固】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？【解析】 “差9本”和“差2本”两者相差（本），每个人要多发（本），因此就知道，共有老师（人），书有（本）【巩固】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？【解析】 由题意知：两次的分配结果相差：（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：（块），多少人相差12块呢？（人），糖果数是：（块）（或）【巩固】 王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【解析】 本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7把变成买5把，少买了（把），而钱的差额为：（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了（元）.【巩固】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】 本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费（元）这样比实际多得（元） 就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶根据以上分析，可得损坏了（个）【例 3】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【解析】 由已知条件 每间5人 少14个床位 每间7人 多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住人，一共要多出个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数 解：(间) (人)，或(人)【巩固】 学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住（人），而实际上住了168人大宿舍比小宿舍每间多住（人），所以大宿舍有（间）（这是一个鸡兔同笼，放在这里做对比）【巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【解析】 由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是151=15（位），糖果的粒数为：415+9=69（粒）.【巩固】 秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？【解析】 题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48856（个）从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了吃的天数：（488）（64）56228（天），萝卜数：6288160（个）或 42848160（个）板块二、条件关系转换型盈亏问题【例 4】 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是（条），由盈亏问题公式得，有小猫：（只），猫妈妈有（条）鱼【巩固】 学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【解析】 第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：（人），有小玩具（个）【巩固】 学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？【解析】 第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：（个）班，买来足球（个）.【巩固】 一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【解析】 第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：（人），有糖果（粒）【巩固】 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【解析】 没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）5=805=16（辆）.学生人数为：60（16-1）+15=6015+15=900+15=915（人）.【例 5】 甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸这是盈亏问题，盈亏总额为(2030)张信纸， 两次分配的差为(32)张信纸，所以有信封(2030)(32)50(个)，有信纸25020120(张)【例 6】 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？【解析】 先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又收回个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为：人，苹果总数是个。【巩固】 幼儿园把一袋糖果分给小朋友如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒如果分给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒已知大班比小班少2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？【解析】 如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒” 的盈亏问题小班有(164)(54)20(人)这袋糖果有420484(粒)【例 7】 有一些糖，每人分块则多块，如果现有人数增加到原有人数的倍，那么每人块就少两块，这些糖共有多少块？【解析】 第一次每人分块，第二次每人分块，可以认为原有的人每人拿出块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到块糖果，这些人每人还差块，一共差了块，所以新增加了人，原有人糖果数为：(块)【巩固】 卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？【解析】 使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”先要转化这一条件，假设还有 10棵竹子，就可以多有 5个大熊猫，把“少5只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给(棵)竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差(棵)，所以原有大熊猫数(只)，竹子总数是(棵)【巩固】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？【解析】 考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给236（个），每人给5