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第三章 离散傅里叶变换1. 如图P3-1所示，序列是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。图 P3-1解：由 计算求得 , , , , 2. 设， ，试求，并作图表示，。解：由计算求得 , , , , ，如图P3-2所示。图 P3-23. 设，令，试求与的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值 N 123450 001111014 100111112 210011110 31100118411100165111100104. 已知如图P3-4(a)所示，为1，1，3，2，试画出，等各序列。解：各序列如图P3-4（b）所示。图 P3-3图 P3-4（a）图 P3-4（b）5. 试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）：(1)(2) (3) (4) (5) 解：（1）因为，所以 （2）因为，所以（3）因为，所以 （4）因为，所以 所以 （5）由，则 根据第（4）小题的结论 则 所以 6. 如图P3-6(a)画出了几个周期序列，这些序列可以表示成傅里叶级数 问：（1） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的成为实数？（2） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的）（除外）成为虚数？（3） 哪些序列能做到0，k=2，4，6，图 P3-6（a）解：（1）要使为实数，即要求 根据DFT的性质，应满足实部偶对称，虚部奇对称（以n=0为轴）。又由图知，为实序列，虚部为零，故应满足偶对称 即是以n=0为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。如图P3-6(b)所示。图 P3-6（b）（2）要使为虚数，即要求 根据DFT的性质，应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0为轴）。又已知为实序列，故 即在一个周期内，在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。（3）由于是8点周期序列，对于第一个序列有当 对于第二个序列有当对于第三个序列有 根据序列移位性质可知 当 综上所得，第一，第三个序列满足7. 在图P3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。图 P3-7（a）解： 结果如图P3-7(b)所示。图 P3-7（b）8. 图P3-8(a)表示一个5点序列。（1）试画出；（2）试画出；（4） 试画出；图 P3-8（a）解：个小题的结果分别如图P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。图 P3-8（b）图 P3-8（c）图 P3-8（d）9. 设有两个序列 各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为，问的哪些点（用序号n表示）对应于应该得到的点。解：序列的点数为N1=6，y(n)的点数为N2=15，故的点数应为 又为与的15点的圆周卷积，即L=15。所以，混叠点数为N-L=20-15=5。即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列时，一个周期内在n=0到n=4(=N-L-1)这5点出发生混叠，即中只有n=5到n=14的点对应于应该得到的点。10. 已知两个有限长序列为试作图表示，以及。解：结果如图P3-10所示。图 P3-1011. 已知是N点有限长序列，。现将长度变成rN点的有限长序列试求rN点DFTy(n)与Xk的关系。解：由 可得 所以在一个周期内，的抽样点数是的r倍（的周期为Nr），相当于在的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，与相等。12. 已知是N点的有限长序列，现将的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列 试求rN点DFTy(n)与Xk的关系。解：由 可得 而 所以是将(周期为N)延拓r次形成的，即周期为rN。13. 频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512各抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。证明：由 得 其中是以角频率为变量的频谱的周期，是频谱抽样之间的频谱间隔。又 则 对于本题有 14. 设由一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一定记录中的最好点数。解：（1）因为，而，所以而最小记录长度为0.1s。（2）因为，而 所以 即允许处理的信号的最高频率为5kHz。（3），又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为。15. 序列的共轭对称和共轭反对称分量分别为，长度为N的有限长序列（0nN-1）的圆周共轭对称和圆周共轭反对称分量分别定义如下： （1） 证明（2） 把看作长度为N的序列，一般说，不能从恢复，也不能从恢复。试证明若把看作长度为N的序列，且nN/2时，则从可恢复，从可恢复。证明（1）方法一由于只在的范围内有值，则有n=0时 （a）时所以 （b）n=0时 ，则有 综上所述 同理可证 方法二（a）因为 所以 +得 （b）由于(4)+(5)得 (3)与(6)比较可知 同理可证 （2）利用（1）的结果 按照题意,当时，。此时，所以当时，故 所以当时， 。 当时，按共轭对称有 且由（1）的结论知 当时 所以 综上、可得同理可证 16. 令表示N点序列的N点离散傅里叶变换，（1） 证明如果满足关系式，则。（2） 证明当N为偶数时，如果，则。证明（1） 因为当时 可以求得 当k=0时 即 （2） 依照（1），当时，可得 当(N为偶数)时由N为偶数，则有 所以即
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