第十七章--多元函数微分学

数学分析教案第十七章 多元函数微分学 1 可微性 一 可微性与全微分： 1 可微性： 由一元函数引入. 亦可写为 , 时 . 2 全微分: 例1 考查函数 在点 处的可微性 . P107例1二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: P109 图案171. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109110例2 , 3 , 4 .例5 . 求偏导数.例6 . 求偏导数.例7 . 求偏导数, 并求 .例8 . 求 和 .解 = , = .例9 证明函数 在点 连续 , 并求 和 .证 . 在点 连续 . , 不存在 . 三. 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和 存在 , 且 . ( 证 )由于 , 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10 考查函数 在原点的可微性 . 1P110 例5 . 2. 充分条件: Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续 . 则函数 在点 可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数在点 可微 . 例11 证 因此 , 即 ,在点 可微 , . 但 时, 有 ,沿方向 不存在, 沿方向 极限不存在 ; 又 时, ,因此, 不存在 , 在点 处不连续. 由 关于 和 对称,也在点 处不连续 .四. 中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 若 属于该邻域 , 则存在 和 , , 使得 . ( 证 )例12 设在区域D内 . 证明在D内 .五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六. 可微性的几何意义与应用： 1 可微性的几何意义： 切平面的定义. P113. Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面的充要条件是函数 在点 可微 . ( 证略 ) 2. 切平面的求法: 设函数 在点 可微 ，则曲面 在点 处的切平面方程为 （ 其中 ） ，法线方向数为 ，法线方程为 .例13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程 . P115例6 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 . 例14 求 的近似值. P115例7 例15 应用公式 计算某三角形面积 . 现测得 ,. 若测量 的误差为 的误差为 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116. 2 复合函数微分法 ; , ; .一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数 在点 D可微 , 函数 在点 可微 , 则复合函数 在点 可微, 且 , . ( 证 ) P118 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”或“并联加 ，串联乘” ）来概括 . 对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等复合情况，用“并联加 ，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式. 链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 对外 元 , 内 元 , 有 ， .外 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1 . 求 和 . P12例2 , . 求 和 .例3 , 求 和 .例4 设函数可微 .求、 和 . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ; . P121例4例6 设函数 可微. 在极坐标变换 下 , 证明 . P120例2例7 设函数 可微 , . 求证 . 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例8 . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出 和.P122 例5 3 方向导数和梯度 一 方向导数： 1 方向导数的定义： 定义 设三元函数 在点 的某邻域 内有定义 . 为从点 出发的射线 . 为 上且含于 内的任一点 , 以表示 与 两点间的距离 . 若极限 存在 , 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数 , 记为 或 、 .对二元函数 在点 , 可仿此定义方向导数 . 易见 , 、 和 是三元函数 在点 分别沿 轴正向、 轴正向和 轴正向的方向导数 .例1 = . 求 在点 处沿 方向的方向导数,其中 为方向 ; 为从点 到点 的方向.解 为方向的射线为 . 即 . , .因此 , 从点 到点 的方向 的方向数为 方向的射线为 . , ;.因此 , 2. 方向导数的计算: Th 若函数 在点 可微 , 则 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在 , 且 + + ,其中 、 和 为 的方向余弦. ( 证 ) P125对二元函数 , + , 其中 和 是 的方向角.註 由 + + = = , , , , ,可见 , 为向量 , , 在方向 上的投影. 例2 ( 上述例1 )解 的方向余弦为 = , = , = . =1 , = , = .因此 , = + + = . 的方向余弦为 = , = , = .因此 , = .可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 例3 P126 .二. 梯度 ( 陡度 ): 1. 梯度的定义: , , . | = . 易见 , 对可微函数 , 方向导数是梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 | . 其中 是 与 夹角. 可见 时 取最大值 , 在 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算: . ( + ) = + . ( ) = + . . ( ) = .证 , . . 4 Taylor公式和极值问题 一、高阶偏导数: 1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 求二阶偏导数和 . P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例22. 关于混合偏导数: P129131.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , P131-132 例11 . 求 和 . P132例3 4. 验证或化简偏微分方程: 例12 . 证明 + . ( Laplace 方程 )例13 将方程 变为极坐标形式.解 . , , , . , ;因此, .方程化简为 .例14 试确定 和 , 利用线性变换 将方程 化为 .解 , . = + + + = = +2 + . = + + + = = + + . = + + .因此 , + ( + .令 , 或 或 , 此时方程 化简为 .二 中值定理和泰肋公式： 凸区域 .Th 1 设二元函数 在凸区域D 上连续 , 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在 , 使 .证 令 .系 若函数 在区域D上存在偏导数 , 且 , 则 是D上的常值函数. 二. Taylor公式: Th 2 (Taylor公式) 若函数 在点 的某邻域 内有直到 阶连续偏导数 , 则对 内任一点 ,存在相应的 , 使 证 P134 例1 求函数 在点 的Taylor公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 P135136例4 . 三. 极值问题: 1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值. 例2 P136例5 2 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设 为函数 的极值点 . 则当 和存在时 , 有= . ( 证 )函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 . 3. 极值的充分条件: 代数准备: 给出二元( 实 )二次型 . 其矩阵为 . 是正定的, 顺序主子式全 , 是半正定的, 顺序主子式全 ; 是负定的, , 其中 为 阶顺序主子式. 是半负定的, . , 为 ( 严格 ) 极小值点 ; , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 时, 不是极值点; 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上 , 有以下定理 . Th 4 设函数 在点 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则 时 , 为极小值点; 时 , 为极大值点; 时 , 不是极值点; 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 例37 P138140 例610 . 四 函数的最值： 例8 求函数 在域D = 上的最值 .解 令 解得驻点为 . . 在边界 上 , , 驻点为 , ; 在边界 上 , , 没有驻点; 在边界 上 , ,驻点为 , .又 .于是 , . .- 17 -