2018新课标全国3卷(文数)

第 1 页 2018 年全国统一高考数学试卷 文科 新课标 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知集合 A x x 1 0 B 0 1 2 则 A B A 0 B 1 C 1 2 D 0 1 2 2 1 i 2 i A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i 3 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头 凹进部分叫卯眼 图中木构件右边的小 长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 则咬合时带卯眼的木构件的 俯视图可以是 A B C D 4 若 sin 则 cos2 A B C D 5 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0 45 既用现金支付也用非现金支付的概率为 0 15 则不用现金支付的概率为 A 0 3 B 0 4 C 0 6 D 0 7 6 函数 f x 的最小正周期为 A B C D 2 7 下列函数中 其图象与函数 y lnx 的图象关于直线 x 1 对称的是 A y ln 1 x B y ln 2 x C y ln 1 x D y ln 2 x 8 直线 x y 2 0 分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 点 P 在圆 x 2 2 y2 2 上 则 ABP 面积的取值范围是 A 2 6 B 4 8 C 3 D 2 3 9 函数 y x4 x2 2 的图象大致为 第 2 页 A B C D 10 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的离心率为 则点 4 0 到 C 的渐近线的距离为 A B 2 C D 2 11 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 ABC 的面积为 则 C A B C D 12 设 A B C D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点 ABC 为等边三角形且面积为 9 则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A 12 B 18 C 24 D 54 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知向量 1 2 2 2 1 若 2 则 14 某公司有大量客户 且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 为了解客户的评价 该公司准备进行 抽样调查 可供选择的抽样方法有简单随机抽样 分层抽样和系统抽样 则最合适的抽样方法是 15 若变量 x y 满足约束条件 则 z x y 的最大值是 16 已知函数 f x ln x 1 f a 4 则 f a 三 解答题 共 70 分 17 等比数列 a n 中 a 1 1 a 5 4a3 1 求 a n 的通项公式 2 记 Sn 为 an 的前 n 项和 若 Sm 63 求 m 第 3 页 18 某工厂为提高生产效率 开展技术创新活动 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 为比较两种 生产方式的效率 选取 40 名工人 将他们随机分成两组 每组 20 人 第一组工人用第一种生产方式 第 二 组工人用第二种生产方式 根据工人完成生产任务的工作时间 单位 min 绘制了如下茎叶图 1 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高 并说明理由 2 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m 并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人 数填入下面的列联表 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 3 根据 2 中的列联表 能否有 99 的把握认为两种生产方式的效率有差异 附 K 2 P K2 k 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 19 如图 矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直 M 是 上异于 C D 的点 1 证明 平面 AMD 平面 BMC 2 在线段 AM 上是否存在点 P 使得 MC 平面 PBD 说明理由 第 4 页 20 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 A B 两点 线段 AB 的中点为 M 1 m m 0 1 证明 k 2 设 F 为 C 的右焦点 P 为 C 上一点 且 证明 2 21 已知函数 f x 1 求曲线 y f x 在点 0 1 处的切线方程 2 证明 当 a 1 时 f x e 0 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 22 在平面直角坐标系 xOy 中 O 的参数方程为 为参数 过点 0 且 倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B 两点 1 求 的取值范围 2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 第 5 页 选修 4 5 不等式选讲 10 分 23 设函数 f x 2x 1 x 1 1 画出 y f x 的图象 2 当 x 0 时 f x ax b 求 a b 的最小值 第 6 页 2018 年全国统一高考数学试卷 文科 新课标 参考答案与试题解析 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 C 2 D 3 A 4 B 5 B 6 C 7 B 8 A 9 D 10 D 11 C 12 B 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 14 分层抽样 15 3 16 2 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 5 分 2018 新课标 已知集合 A x x 1 0 B 0 1 2 则 A B A 0 B 1 C 1 2 D 0 1 2 分析 求解不等式化简集合 A 再由交集的运算性质得答案 解答 解 A x x 1 0 x x 1 B 0 1 2 A B x x 1 0 1 2 1 2 故选 C 2 5 分 2018 新课标 1 i 2 i A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i 分析 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解答 解 1 i 2 i 3 i 故选 D 3 5 分 2018 新课标 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头 凹进部分叫卯 眼 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 则咬合时 带卯眼的木构件的俯视图可以是 第 7 页 A B C D 分析 直接利用空间几何体的三视图的画法 判断选项的正误即可 解答 解 由题意可知 如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 小的长方体 是榫头 从 图形看出 轮廓是长方形 内含一个长方形 并且一条边重合 另外 3 边是虚线 所以木构件的俯视图是 A 故选 A 4 5 分 2018 新课标 若 sin 则 cos2 A B C D 分析 cos2 1 2sin 2 由此能求出结果 解答 解 sin cos2 1 2sin2 1 2 故选 B 5 5 分 2018 新课标 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0 45 既用现金支付也用非现金支付的 概率为 0 15 则不用现金支付的概率为 A 0 3 B 0 4 C 0 6 D 0 7 分析 直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可 解答 解 某群体中的成员只用现金支付 既用现金支付也用非现金支付 不用现金支付 是互斥事件 所以不用现金支付的概率为 1 0 45 0 15 0 4 故选 B 6 5 分 2018 新课标 函数 f x 的最小正周期为 A B C D 2 分析 利用同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦公式化简函数的解析式 再利用正弦函数的周期性 得 出结论 解答 解 函数 f x sin2x 的最小正周期为 故选 C 7 5 分 2018 新课标 下列函数中 其图象与函数 y lnx 的图象关于直线 x 1 对称的是 第 8 页 A y ln 1 x B y ln 2 x C y ln 1 x D y ln 2 x 分析 直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果 解答 解 首先根据函数 y lnx 的图象 则 函数 y lnx 的图象与 y ln x 的图象关于 y 轴对称 由于函数 y lnx 的图象关于直线 x 1 对称 则 把函数 y ln x 的图象向右平移 2 个单位即可得到 y ln 2 x 即所求得解析式为 y ln 2 x 故选 B 8 5 分 2018 新课标 直线 x y 2 0 分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 点 P 在圆 x 2 2 y2 2 上 则 ABP 面积的取值范围是 A 2 6 B 4 8 C 3 D 2 3 分析 求出 A 2 0 B 0 2 AB 2 设 P 2 点 P 到直线 x y 2 0 的距 离 d 由此能求出 ABP 面积的取值范 围 解答 解 直线 x y 2 0 分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 令 x 0 得 y 2 令 y 0 得 x 2 A 2 0 B 0 2 AB 2 点 P 在圆 x 2 2 y2 2 上 设 P 2 点 P 到直线 x y 2 0 的距离 d sin 1 1 d ABP 面积的取值范围是 2 6 故选 A 9 5 分 2018 新课标 函数 y x4 x2 2 的图象大致为 第 9 页 A B C D 分析 根据函数图象的特点 求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可 解答 解 函数过定点 0 2 排除 A B 函数的导数 f x 4x3 2x 2x 2x 2 1 由 f x 0 得 2x 2x 2 1 0 得 x 或 0 x 此时函数单调递增 排除 C 故选 D 10 5 分 2018 新课标 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的离心率为 则点 4 0 到 C 的 渐近线的距离为 A B 2 C D 2 分析 利用双曲线的离心率求出 a b 的关系 求出双曲线的渐近线方程 利用点到直线的距离求解即可 解答 解 双曲线 C 1 a 0 b 0 的离心率为 可得 即 解得 a b 双曲线 C 1 a b 0 的渐近线方程玩 y x 点 4 0 到 C 的渐近线的距离为 2 故选 D 11 5 分 2018 新课标 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 ABC 的面积为 则 C 第 10 页 A B C D 分析 推导出 S ABC 从而 sinC cosC 由此能求出结果 解答 解 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c ABC 的面积为 S ABC sinC cosC 0 C C 故选 C 12 5 分 2018 新课标 设 A B C D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点 ABC 为等边三角形且面 积为 9 则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A 12 B 18 C 24 D 54 分析 求出 ABC 为等边三角形的边长 画出图形 判断 D 的位置 然后求解即可 解答 解 ABC 为等边三角形且面积为 9 可得 解得 AB 6 球心为 O 三角形 ABC 的外心为 O 显然 D 在 O O 的延长线与球的交点如图 O C OO 2 则三棱锥 D ABC 高的最大值为 6 则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 18 故选 B 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 5 分 2018 新课标 已知向量 1 2 2 2 1 若 2 则 分析 利用向量坐标运算法则求出 4 2 再由向量平行的性质能求出 的值 解答 解 向量 1 2 2 2 4 2 第 11 页 1 2 解得 故答案为 14 5 分 2018 新课标 某公司有大量客户 且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 为了解客户 的评价 该公司准备进行抽样调查 可供选择的抽样方法有简单随机抽样 分层抽样和系统抽样 则最合适的 抽样方法是 分层抽样 分析 利用简单随机抽样 分层抽样和系统抽样的定义 性质直接求解 解答 解 某公司有大量客户 且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 为了解客户的评价 该公司准备进行抽样调查 可供选择的抽样方法有简单随机抽样 分层抽样和系统抽样 则最合适的抽样方法是分层抽样 故答案为 分层抽样 15 5 分 2018 新课标 若变量 x y 满足约束条件 则 z x y 的最大值是 3 分析 作出不等式组表示的平面区域 作出目标函数对应的直线 结合图象知当直线过 2 3 时 z 最 大 解答 解 画出变量 x y 满足约束条件 表示的平面区域如图 由 解得 A 2 3 z x y 变形为 y 3x 3z 作出目标函数对应的直线 当直线过 A 2 3 时 直线的纵截距最小 z 最大 最大值为 2 3 3 故答案为 3 第 12 页 16 5 分 2018 新课标 已知函数 f x ln x 1 f a 4 则 f a 2 分析 利用函数的奇偶性的性质以及函数值 转化求解即可 解答 解 函数 g x ln x 满足 g x ln x ln x g x 所以 g x 是奇函数 函数 f x ln x 1 f a 4 可得 f a 4 ln a 1 可得 ln a 3 则 f a ln a 1 3 1 2 故答案为 2 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都 必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 2018 新课标 等比数列 a n 中 a 1 1 a 5 4a3 1 求 a n 的通项公式 2 记 Sn 为 an 的前 n 项和 若 Sm 63 求 m 分析 1 利用等比数列通项公式列出方程 求出公比 q 2 由此能求出 a n 的通项公式 2 当 a1 1 q 2 时 S n 由 Sm 63 得 Sm 63 m N 无解 当 a1 1 q 2 时 Sn 2n 1 由此能求出 m 解答 解 1 等比数列 an 中 a 1 1 a 5 4a3 1 q4 4 1 q 2 解得 q 2 当 q 2 时 a n 2n 1 当 q 2 时 a n 2 n 1 第 13 页 a n 的通项公式为 a n 2n 1 或 an 2 n 1 2 记 Sn 为 an 的前 n 项和 当 a1 1 q 2 时 Sn 由 Sm 63 得 Sm 63 m N 无解 当 a1 1 q 2 时 S n 2n 1 由 Sm 63 得 Sm 2m 1 63 m N 解得 m 6 18 12 分 2018 新课标 某工厂为提高生产效率 开展技术创新活动 提出了完成某项生产任务的两种 新的生产方式 为比较两种生产方式的效率 选取 40 名工人 将他们随机分成两组 每组 20 人 第一组工人 用第一种生产方式 第二组工人用第二种生产方式 根据工人完成生产任务的工作时间 单位 min 绘制了如 下茎叶图 1 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高 并说明理由 2 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m 并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人 数填入下面的列联表 超 过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 3 根据 2 中的列联表 能否有 99 的把握认为两种生产方式的效率有差异 附 K 2 P K2 k 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 分析 1 根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些 效率更高 2 根据茎叶图中的数据计算它们的中位数 再填写列联表 3 列联表中的数据计算观测值 对照临界值得出结论 解答 解 1 根据茎叶图中的数据知 第一种生产方式的工作时间主要集中在 70 92 之间 第二种生产方式的工作时间主要集中在 65 90 之间 第 14 页 所以第二种生产方式的工作时间较少些 效率更高 2 这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后 排在中间的两个数据是 79 和 81 计算它们的中位数为 m 80 由此填写列联表如下 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 3 根据 2 中的列联表 计算 K2 10 6 635 能有 99 的把握认为两种生产方式的效率有差异 19 12 分 2018 新课标 如图 矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直 M 是 上异于 C D 的 点 1 证明 平面 AMD 平面 BMC 2 在线段 AM 上是否存在点 P 使得 MC 平面 PBD 说明理由 分析 1 通过证明 CD AD CD DM 证明 CD 平面 AMD 然后证明平面 AMD 平面 BMC 2 存在 P 是 AM 的中点 利用直线与平面培训的判断定理说明即可 解答 1 证明 矩形 ABCD 所在平面与半圆弦 所在平面垂直 所以 AD 半圆弦 所在平面 CM 半圆 弦 所在平面 CM AD M 是 上异于 C D 的点 CM DM DM AD D CD 平面 AMD CD 平面 CMB 平面 AMD 平面 BMC 2 解 存在 P 是 AM 的中点 理由 连接 BD 交 AC 于 O 取 AM 的中点 P 连接 OP 可得 MC OP MC 平面 BDP OP 平面 BDP 所以 MC 平面 PBD 第 15 页 20 12 分 2018 新课标 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 A B 两点 线段 AB 的中点为 M 1 m m 0 1 证明 k 2 设 F 为 C 的右焦点 P 为 C 上一点 且 证明 2 分析 1 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 利用点差法得 6 x 1 x2 8m y 1 y2 0 k 又点 M 1 m 在椭圆内 即 解得 m 的取值范围 即可得 k 2 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 P x 3 y 3 可得 x1 x2 2 由 可得 x3 1 0 由椭圆的焦半径公式得则 FA a ex1 2 x1 FB 2 x2 FP 2 x3 即可 证明 FA FB 2 FP 解答 解 1 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 线段 AB 的中点为 M 1 m x 1 x2 2 y 1 y2 2m 将 A B 代入椭圆 C 1 中 可得 两式相减可得 3 x 1 x2 x 1 x2 4 y 1 y2 y 1 y2 0 即 6 x 1 x2 8m y 1 y2 0 k 点 M 1 m 在椭圆内 即 解得 0 m 2 证明 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 P x 3 y 3 可得 x1 x2 2 F 1 0 x 1 1 x2 1 x3 1 0 x 3 1 由椭圆的焦半径公式得则 FA a ex 1 2 x1 FB 2 x2 FP 2 x3 则 FA FB 4 第 16 页 FA FB 2 FP 21 12 分 2018 新课标 已知函数 f x 1 求曲线 y f x 在点 0 1 处的切线方程 2 证明 当 a 1 时 f x e 0 分析 1 由 f 0 2 可得切线斜率 k 2 即可得到切线方程 2 可得 可得 f x 在 2 递 减 在 2 递增 注意到 a 1 时 函数 g x ax 2 x 1 在 2 单调递增 且 g 2 4a 1 0 只需 x e 即可 解答 解 1 f 0 2 即曲线 y f x 在点 0 1 处的切线斜率 k 2 曲线 y f x 在点 0 1 处的切线方程方程为 y 1 2x 即 2x y 1 0 为所求 2 证明 函数 f x 的定义域为 R 可得 令 f x 0 可得 当 x 时 f x 0 x 时 f x 0 x 2 时 f x 0 f x 在 2 递减 在 2 递增 注意到 a 1 时 函数 g x ax2 x 1 在 2 单调递增 且 g 4a 1 0 函数 g x 的图象如下 第 17 页 a 1 则 e f x e 当 a 1 时 f x e 0 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 22 10 分 2018 新课标 在平面直角坐标系 xOy 中 O 的参数方程为 为参数 过点 0 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B 两点 1 求 的取值范围 2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 分析 1 O 的普通方程为 x2 y2 1 圆心为 O 0 0 半径 r 1 当 时 直线 l 的方程为 x 0 成立 当 时 过点 0 且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y tan x 从而圆心 O 0 0 到直线 l 的 距离 d 1 进而求出 或 由此能求出 的取值范围 2 设直线 l 的方程为 x m y 联立 得 m 2 1 x 2 2 2m2 1 0 由此利用韦达 定理 中点坐标公式能求出 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解答 解 1 O 的参数方程为 为参数 O 的普通方程为 x2 y2 1 圆心为 O 0 0 半径 r 1 当 时 过点 0 且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x 0 成立 当 时 过点 0 且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y tan x 倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B 两点 圆心 O 0 0 到直线 l 的距离 d 1 tan 2 1 tan 1 或 tan 1 或 综上 的取值范围是 2 由 1 知直线 l 的斜率不为 0 设直线 l 的方程为 x m y 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 P x 3 y 3 第 18 页 联立 得 m 2 1 x 2 2 2m2 1 0 2 AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 m 为参数 1 m 1 选修 4 5 不等式选讲 10 分 23 2018 新课标 设函数 f x 2x 1 x 1 1 画出 y f x 的图象 2 当 x 0 时 f x ax b 求 a b 的最小值 分析 1 利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可 2 将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可 解答 解 1 当 x 时 f x 2x 1 x 1 3x 当 x 1 f x 2x 1 x 1 x 2 当 x 1 时 f x 2x 1 x 1 3x 第 19 页 则 f x 对应的图象为 画出 y f x 的图象 2 当 x 0 时 f x ax b 当 x 0 时 f 0 2 0 a b b 2 当 x 0 时 要使 f x ax b 恒成立 则函数 f x 的图象都在直线 y ax b 的下方或在直线上 f x 的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2 且各部分直线的斜率的最大值为 3 故当且仅当 a 3 且 b 2 时 不等式 f x ax b 在 0 上成立 即 a b 的最小值为 5