2017年上海市松江区高考数学一模试卷(解析版).doc

2017年上海市松江区高考数学一模试卷一填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，否则一律得零分1设集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，则MN2已知a，bR，i是虚数单位若a+i=2bi，则（a+bi）2=3已知函数f（x）=ax1的图象经过（1，1）点，则f1（3）4不等式x|x1|0的解集为5已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=的最小正周期为6里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为7按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是8设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，若=，则n=9已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm210设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=11已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）kx在其定义域内有3个零点，则实数k12已知数列an满足a1=1，a2=3，若|an+1an|=2n（nN*），且a2n1是递增数列、a2n是递减数列，则=二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13已知a，bR，则“ab0“是“+2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件14如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）ABCD15若矩阵满足：a11，a12，a21，a220，1，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（）A2个B6个C8个D10个16解不等式（）xx+0时，可构造函数f（x）=（）xx，由f（x）在xR是减函数，及f（x）f（1），可得x1用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x30的解集为（）A（0，1B（1，1）C（1，1D（1，0）三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17如图，在正四棱锥PABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点（1）求证：PCBD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值18已知函数F（x）=，（a为实数）（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的x1，都有1f（x）3，求a的取值范围19上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角kHAP=45，过O点与OA成120的地面上选B点，使仰角HPB=45（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得OAB=27，A与B之间距离为33.6米试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1）20已知双曲线C：=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60，直线l交双曲线于A、B两点（1）求双曲线C的方程；（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPAkPB为定值；（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由21如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”（1）若数列an为“H型数列”，且a1=3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列an为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Snn2+n（nN*）？若存在，请求出an的通项公式；若不存在，请说明理由（3）已知等比数列an的每一项均为正整数，且an为“H型数列”，bn=an，cn=，当数列bn不是“H型数列”时，试判断数列cn是否为“H型数列”，并说明理由2017年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，否则一律得零分1设集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，则MN1【考点】交集及其运算【分析】先求出集合M和N，由此能求出MN【解答】解：集合M=x|x2=x=0，1，N=x|lgx0x|0x1，MN=1故答案为：12已知a，bR，i是虚数单位若a+i=2bi，则（a+bi）2=34i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案【解答】解：由a，bR，且a+i=2bi，得，即a=2，b=1a+bi=2i（a+bi）2=（2i）2=34i故答案为：34i3已知函数f（x）=ax1的图象经过（1，1）点，则f1（3）2【考点】反函数【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案【解答】解：函数f（x）=ax1的图象经过（1，1）点，可得：1=a1，解得：a=2f（x）=2x1那么：f1（3）的值即为2x1=3时，x的值由2x1=3，解得：x=2f1（3）=2故答案为24不等式x|x1|0的解集为（0，1）（1，+）【考点】绝对值不等式的解法【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可【解答】解：x|x1|0，x0，|x1|0，故x10或x10，解得：x1或0x1，故不等式的解集是（0，1）（1，+），故答案为：（0，1）（1，+）5已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=的最小正周期为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由平面向量的坐标运算可得f（x），再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期【解答】解：=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），f（x）=sin2xsinxcosx=T=故答案为：6里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数n=，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，基本事件总数n=，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p=故答案为：7按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是143【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=143时满足条件x115，退出循环，输出x的值为143，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x115，执行循环体，x=71，k=2不满足条件x115，执行循环体，x=143，k=3满足条件x115，退出循环，输出x的值为143故答案为：1438设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，若=，则n=11【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式定理展开可得：（1+x）n=+x3+=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，比较系数即可得出【解答】解：（1+x）n=+x3+=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，又=，=，=，n2=9，则n=11故答案为：119已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案【解答】解：由题意可知球的体积为：13=cm3，圆锥的体积为：12h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以 =h，所以h=4cm，圆锥的母线：l=cm故圆锥的侧面积S=rl=cm2，故答案为：10设P（x，y）是曲线C： +=1上的点，F1（4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=10【考点】曲线与方程【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10【解答】解：曲线C可化为： =1，它表示顶点分别为（5，0），（0，3）的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（0，3）时取最大值，故答案为1011已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）kx在其定义域内有3个零点，则实数k（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】问题转化为f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，求出临界值，从而求出k的范围即可【解答】解：若F（x）=f（x）kx在其定义域内有3个零点，即f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，如图示：，点（2，0）到直线y=kx的距离d=1，解得：k=，故：0k；故答案为：（0，）12已知数列an满足a1=1，a2=3，若|an+1an|=2n（nN*），且a2n1是递增数列、a2n是递减数列，则=【考点】数列的极限【分析】依题意，可求得a3a2=22，a4a3=23，a2na2n1=22n1，累加求和，可得a2n=22n，a2n1=a2n+22n1=+22n；从而可求得的值【解答】解：a1=1，a2=3，|an+1an|=2n（nN*），a3a2=22，又a2n1是递增数列、a2n是递减数列，a3a2=4=22；同理可得，a4a3=23，a5a4=24，a6a5=25，a2n1a2n2=22n2，a2na2n1=22n1，a2n=（a2na2n1）+（a2n1a2n2）+（a3a2）+（a2a1）+a1=1+2+（2223+24+22n222n1）=3+=22n2=22n；a2n1=a2n+22n1=+22n；则=故答案为：二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13已知a，bR，则“ab0“是“+2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由+2，得：0，故ab0且ab，故“ab0“是“+2”的必要不充分条件，故选：B14如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）ABCD【考点】点、线、面间的距离计算【分析】由已知可得AC1平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解【解答】解：如图，连接AC1交截面A1DB于P，由CC1底面，可得CC1BD，又ACBD，可得BD平面ACC1，则AC1BD同理可得AC1A1B，得到AC1平面A1DB，此时线段AP最小由棱长为1，可得等边三角形A1DB的边长为，由，可得，得AP=故选：C15若矩阵满足：a11，a12，a21，a220，1，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（）A2个B6个C8个D10个【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论【解答】解：由 =0，可得a11a22a12a21=0，由于a11，a12，a21，a220，1，可得矩阵可以是，则这样的互不相等的矩阵共有10个故选：D16解不等式（）xx+0时，可构造函数f（x）=（）xx，由f（x）在xR是减函数，及f（x）f（1），可得x1用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x30的解集为（）A（0，1B（1，1）C（1，1D（1，0）【考点】类比推理【分析】由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x1，1上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x30可化为g（x2）g（x），即可得出结论【解答】解：由题意，构造函数g（x）=arcsinx+x3，在x1，1上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x30可化为g（x2）g（x），1xx21，0x1，故选：A三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17如图，在正四棱锥PABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点（1）求证：PCBD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】（1）推导出PBC，PDC都是等边三角形，从而BEPC，DEPC，由此能证明PCBD（2）连接AC，交BD于点O，连OE，则APOE，BOE即为BE与PA所成的角，由此能求出直线BE与PA所成角的余弦值【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，PBC，PDC都是等边三角形，E是棱PC的中点，BEPC，DEPC，又 BEDE=E，PC平面BDE又BD平面BDE，PCBD解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE 四边形ABCD为正方形，O是AC的中点又E是PC的中点OE为ACP的中位线，APOEBOE即为BE与PA所成的角 在RtBOE中，BE=，EO=，直线BE与PA所成角的余弦值为18已知函数F（x）=，（a为实数）（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的x1，都有1f（x）3，求a的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）、根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F（x）的解析式，进而分2种情况讨论：若y=f（x）是偶函数，若y=f（x）是奇函数，分别求出每种情况下a的值，综合即可得答案；（2）根据题意，由f（x）的范围，分2种情况进行讨论：f（x）1以及f（x）3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a的值，进而综合2种情况，可得答案【解答】解：（1）函数F（x）=定义域为R，且F（x）=，若y=f（x）是偶函数，则对任意的x 都有f（x）=f（x），即=，即2x（a+1）=a+1，解可得a=1；若y=f（x）是奇函数，则对任意的x 都有f（x）=f（x），即=，即2x（a1）=1a，解可得a=1；故当a=1时，y=f（x）是偶函数，当a=1时，y=f（x）是奇函数，当a1时，y=f（x）既非偶函数也非奇函数，（2）由f（x）1可得：2x+1a2x1，即a1 当x1时，函数y1= 单调递减，其最大值为1，则必有a2，同理，由f（x）3 可得：a2x132x+3，即a3，当x1时，y2=单调递减，且无限趋近于0，故a3，综合可得：2a319上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角kHAP=45，过O点与OA成120的地面上选B点，使仰角HPB=45（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得OAB=27，A与B之间距离为33.6米试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1）【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角【分析】（1）由题意可知：PAH，PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，HAB=27，AB=33.6，即可求得x=18.86；（2）OBH=180120227=6，BH=18.86，由正弦定理可知： =，OH=2.28，则倾斜角OPH=arctan=arctan=6.89【解答】解：（1）设塔高PH=x，由题意知，HAP=45，HBP=45，PAH，PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x在AHB中，AH=BH=x，HAB=27，AB=33.6，x=18.86（2）在BOH中，BOH=120，OBH=180120227=6，BH=18.86，由=，得OH=2.28，OPH=arctan=arctan=6.89，塔高18.9米，塔的倾斜度为6.8 20已知双曲线C：=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60，直线l交双曲线于A、B两点（1）求双曲线C的方程；（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPAkPB为定值；（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与双曲线的位置关系【分析】（1）利用双曲线C：=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60，建立方程，即可求双曲线C的方程；（2）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x，y），结合题意，又由M、P在双曲线上，可得y02=3x023，y2=3x23，将其坐标代入kPMkPN中，计算可得答案（3）先假设存在定点M，使MAMB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求得结论【解答】（1）解：由题意得 解得a=1，b= 双曲线C的方程为； （2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（x0，y0）设P（x，y），则kPAkPB=，y02=3x023，y2=3x23，所以kPAkPB=3 （3）解：由（1）得点F1为（2，0）当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2）将方程y=k（x2）与双曲线方程联立消去y得：（k23）x24k2x+4k2+3=0，x1+x2=，x1x2=假设双曲线C上存在定点M，使MAMB恒成立，设为M（m，n）则=（x1m）（x2m）+k（x12）nk（x22）n=（k2+1）x1x2（2k2+kn+m）（x1+x2）+m2+4k2+4kn+n2=0，故得：（m2+n24m5）k212nk3（m2+n21）=0对任意的k23恒成立，解得m=1，n=0当点M为（1，0）时，MAMB恒成立；当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，3）知点M（1，0）使得MAMB也成立又因为点（1，0）是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M（1，0），使MAMB恒成立21如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”（1）若数列an为“H型数列”，且a1=3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列an为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Snn2+n（nN*）？若存在，请求出an的通项公式；若不存在，请说明理由（3）已知等比数列an的每一项均为正整数，且an为“H型数列”，bn=an，cn=，当数列bn不是“H型数列”时，试判断数列cn是否为“H型数列”，并说明理由【考点】数列的求和【分析】（1）由题意得，a2a1=32，a3a2=42，即2=0，解得m范围即可得出（2）假设存在等差数列an为“H型数列”，设公差为d，则d2，由a1=1，可得：Sn=n+，由题意可得：n+n2+n对nN*都成立，即d都成立解出即可判断出结论（3）设等比数列an的公比为q，则an=，且每一项均为正整数，且an+1an=an（q1）20，可得an+1an=an（q1）anan1，即在数列anan1（n2）中，“a2a1”为最小项同理在数列bnbn1（n2）中，“b2b1”为最小项由an为“H型数列”，可知只需a2a12，即 a1（q1）2，又因为bn不是“H型数列”，且“b2b1”为最小项，可得b2b12，即 a1（q1）3，由数列an的每一项均为正整数，可得 a1（q1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论【解答】解：（1）由题意得，a2a1=32，a3a2=42，即2=0，解得m或m0实数m的取值范围时（，0）（2）假设存在等差数列an为“H型数列”，设公差为d，则d2，由a1=1，可得：Sn=n+，由题意可得：n+n2+n对nN*都成立，即d都成立=2+2，且=2，d2，与d2矛盾，因此不存在等差数列an为“H型数列”（3）设等比数列an的公比为q，则an=，且每一项均为正整数，且an+1an=an（q1）20，a10，q1an+1an=an（q1）anan1，即在数列anan1（n2）中，“a2a1”为最小项同理在数列bnbn1（n2）中，“b2b1”为最小项由an为“H型数列”，可知只需a2a12，即 a1（q1）2，又因为bn不是“H型数列”，且“b2b1”为最小项，b2b12，即 a1（q1）3，由数列an的每一项均为正整数，可得 a1（q1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，当a1=1，q=4时，则，令，则，令，则=，dn为递增数列，即 dndn1dn2d1，即 cn+1cncncn1cn1cn2c2c1，所以，对任意的nN*都有cn+1cn2，即数列cn为“H型数列”当a1=3，q=2时，则，显然，cn为递减数列，c2c102，故数列cn不是“H型数列”； 综上：当时，数列cn为“H型数列”， 当时，数列cn不是“H型数列”