全等三角形拓展题---尖子生专用

全等三角形综合应用知识点：1、 全等三角形的判定方法：2、 角平分线的性质与判定：例题讲解2016武汉江汉区压轴题（本题12分）ABC是等腰三角形，ABAC，AD是ABC的中线，以AC为边作等边ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF(1) 如图1，若ABC、ACE位于AC异侧，求EFC的度数 试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由(2) 若ABC、ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系 解：(1) ABAE，设ABEAEB ABAC，AD是ABC的中线 设BADCAD 又2260180，60 AFEDFC60 EFC180606060 过点C作CHBE于H AEBAEC60，ABEBAD60 BADHEC 可证：ABDEHC（AAS） HEAD 易证：CFHCFD（AAS） FHDF EFFHAFDF 即EFAF2DF (3) 作图、证明的过程一样 AFEF2DF2016武珞路中学（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边CMN，连接BN(1) 求证：AMBN(2) 作MHBC于H，连接AH若AHMN，AM1，求CH的长 证明：(1) ACMBCN（SAS） (2) 由(1)知：ACMBCN CBNMAC60 MBN6060120 过点M作MDBC交AC于D AMD为等边三角形 AMADBN，ADM60 BMCD，MDC120 在BMN和DCM中 BMNDCM（SAS） BMNDCM AHMN BMNBAHDCM 在BAH和ACM中 BAHACM（ASA） BHAM1 BMHC MHBC，MBH60 BM2BH2 CH22016武珞路中学（本题10分）如图1，已知等腰ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边ABE，直线CE与直线AD交于点F(1) 若AF10，DF3，试求EF的长(2) 若以AB为边向内作等边ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论 解：(1) 设BADCAD，AECACE 在ACE中，2602180，60 连接BF BFDCFD60 BFCF2DF6 在EC上截取EGCF，连接AG AEGACF（SAS） EAGCAF，AGAF GAF60 AFG为等边三角形 EFEGGFAFFC10616 (2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边 设BADCAD，ACEAEC CAE1802 BAE2180260，60 BADBEF 在AF上截取AGEF，连接BG 可知：ABGEBF（SAS） AGEF，BGBF BFG为等边三角形AFAGGFBFEF2DFEF武汉二中广雅中学2016（本题12分）在ABC中，ABAC，BAC（060），以线段BC为边在ABC内作等边DBC(1) 如图1，ABD_（用含的式子表示）(2) 如图2，BCE150，ABE60，判断ABE的形状并加以证明(3) 在(2)的条件下，连接DE，若DEC45，求的值 例1、（1）在ABC中，B=C，与ABC全等的三角形有一个角是130，那么ABC中与这个角对应的角是（ ）A、A B、B C、C D、B或C（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A、 SSS B、SAS C、AAS D、ASA（3） 如图2，AD平分BAC，BFAD于D，交AC于F，DEAC，BAD=30，则BDE=_例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。求证：AC=BD例3、如图4，在ABC中，B=C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，DEF=B。求证：ED=EF例4、如图5，ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点。求证：DGEF例5、如图6，ABC=90，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F求证：EF=CE-AF例6、如图7，P为AOB平分线上一点，PCOA于C，OAP+OBP=180，若OC=4cm。求OA+OB的值。例7、如图8，ADBC，1=2，3=4，点E在线段DC上。求证：AD+BC=AB例8、如图9，1=2，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC=2BD。求证：BPA+BCP=180巩固：1、如图，点P为AEF外一点，PA平分EAF，PDEF于D，DE=DF，PBAE于B。求证：AF-AB=BE2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分BCD，AEBC于E，AFCD交CD延长线于F求证：BE=DF3、如图，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE交于点H，连CH。（1） 求证：ACDBCE；（2） 求证：CH平分AHE；（3）求CHE的度数（用含的式子表示）4、如图（1），在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E（1）试说明：BD=DE+CE（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由5、如图，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90（1）当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转角（090），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由6、 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，2），点A为y轴正半轴上一动点，过B点作BCAB交x轴的正半轴于点C。（1） 求证：BA=BC；（2） 当点A运动时，OA+OC的值是否发生变化，若不变，求其值；若发生变化，求变化范围7、 已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F（1）当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证AE+CF=EF；（2）当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明8、已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；（3）若把题目中“BE平分ABC”改为“BE平分线段DC”，其他条件不变，连接HF求证：HF=AD9、直线CD经过BCA的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则EF_ |BE-AF|（填“”，“”或“=”号）；如图2，若0BCA180，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是_ ；（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明第十一讲：全等三角形综合二知识点：1、 全等三角形的判定及性质：2、 角平分线的性质与判定：3、 常用辅助线：例题讲解例1、如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FKAB例2、如图1，ABC中，BAC=90，BA=AC，（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AEBD于E点，交BC于F点，连DF，求证：ADB=CDF（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AEBD于点E，交BC于点F，连MF，判断ADB与CMF的大小关系并证明例3、如图，在ABC中，C=90，M为AB的中点，DMAB，CD平分ACB，求证：MD=AM例4、在ABC中，ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF（1）若AB=AC，BAC=90那么如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_ （直接写出结论）如图二，当点D在线段BC的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由（2）若ABAC，BAC90点D在线段BC上，那么当ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由例5、如图所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向ABC外作等腰直角CAD和等腰直角CBE，满足CAD=CBE=90，过点D作DD1l于点D1，过点E作EE1l于点E1（1）如图，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；（2）在图中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由例6、如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足 （1）求A、B两点的坐标；（2）若点C是第一象限内一点，且OCB=45，过点A作ADOC于点F，求证：FA=FC；（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AEAD，且AE=AD，连接BE交x轴于点G，求G点的坐标巩固：1、如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长3、如图，ABC中，AC=2AB，AD平分BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC。求证：EBAB4、如图，在ABC中，ACB=90，P为AC上一点，PQAB于Q，AMAB交BP的延长线于M，MNAC于N，AQ=MN（1）求证：AP=AM；（2）求证：PC=AN5、如图，ABC内，BAC=60，ACB=40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP6、 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F（1）求证：CF=EF；（2）若将图（1）中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0a60，其他条件不变，如图（2）请你直接写出AF+EF与DE的大小关系：AF+EF_ DE（填“”或“=”或“”）（3）若将图（1）中DBE的绕点B按顺时针方向旋转角，且60180，其他条件不变，如图（3）请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，ABC的三点坐标分别为A（0，5），B（-5，0），C（2，0），BDAC于D且交y轴于E，连接CE（1）求ABC的面积；（2）求的值及ACE的面积8、如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16（1）COA的值为_ ；（2）求CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OHMN的延长线于H，满足HON=NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明9、在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0.2）；（1）请写出OB的长度：OB=_ ；（2）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（-3，0），求证：AOBCOD；（3）若点D在第二象限，且AOBCOD，则这时点D的坐标是_ （直接写答案）10、已知，在ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，MON=A=45（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）11、（1）如图1，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米12、如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1）ABD不动，（1）若将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC（2）若将图1中的CE向上平移，CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由13、如图，ABC中，D是BC的中点，过点D的直线MN交AC于N，交AC的平行线BM于M，PDMN，交AB于点P，连接PM、PN（1）求证：BM=CN；（2）请你判断BP+CN与PN的在数量上有何关系，并说明你的理由14、 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，若POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使EOPAOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由等腰三角形小结一、构造等腰三角形例1 如图，在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，AD=AE，AFBE交BC于F，FGCD交AC于H，交BE的延长线于G(1)求证：GE=GH；(2)问BG、AF、FG有何数量关系？证明你的结论练习1等边ABC中，点0为AC、BC两边垂直平分线的交点，点P为AB上一动点，PEAC交BC于E，点F为AC上一点，且CF=PE，连OF、EF，求OFE的度 数二、运用等腰三角形的性质例2 已知RtABC.中，AC=BC，C= 90，D为AB中点，EDF=90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F 图 图 图(1)当EDF绕D点旋转到DEAC于E（如图）时，显然SDEF+SCEF=SABC.当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时（如图），SDEF、SCEF、SABC三者之间的数量关系是什么？证明你的结论；(2)当EDF绕D点旋转到如图所示的位置，请直接写出SDEF、SCEF、SABC之间的数量关系是 （不必证明）练习2如图，ABC中，A=90AB=AC，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于点 F.求证：ADB=CDF.3ABC中，过BC边的中点D作直线交AB于E交CA的延长线于F，使AE=AF.求证：BE=CF.三、角平分线与等腰三角形例3 如图，ABCD，BE、CE分别平分ABC、DCB.求证：AB+CD=BC.练习4如图，ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，CEBD交BD延长线于E (1)求证：CE=BD； (2)求AEB的度数5如图，在ABC中，M为BC边中点，AD为BAC的平分线，MFAD交AD延长线于F，交AB于E求证：BE=(AB-AC)四、构造等边三角形例4 如图，已知在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=2，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位秒的速度向上运动，连接PA、PB，D为AC的中点 (1)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等； (2)若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且PQA=60，问：当Q在第一象限内运动时，APQ+ABQ的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.图 图练习6如图，A（O，-1），A、C关于x轴对称，AB=2，EFBC，交AB的延长线于E点，交y轴于F点 (1)求AEF； (2)如图，将AEF绕A点顺时针旋转交BC延长线于D点，当D(m，2)时，问AM+DH大小是否变化并证明图 图全等三角形中常见辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.四、借助角平分线造全等例1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD例2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 例2 、D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。例3 、如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；应用：1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）4在ABC中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且0180，连接AD、BD(1) 如图1，当BAC100，60时，CBD的大小为_(2) 如图2，当BAC100，20时，求CBD的大小(3) 已知BAC的大小为m（60m120），若CBD的大小与(2)中的结果相同，请直接写出_（可用含m的代数式表示）