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集合与函数概念11集合（一）集合的有关概念定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：大于3小于11的偶数；我国的小河流；非负奇数； 方程x2+1=0的解；某校2011级新生； 血压很高的人；著名的数学家； 平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。 例如，我们A表示“120以内的所有质数”组成的集合，则有3A，4A，等等。练：A=2，4，8，16，则4A，8A，32A.（二）例题讲解：例1用“”或“”符号填空： 8 N； 0 N； -3 Z； Q； 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。练：5页题例2已知集合P的元素为, 若2P且-1P，求实数m的值。练：考察下列对象是否能形成一个集合？身材高大的人 所有的一元二次方程直角坐标平面上纵横坐标相等的点 细长的矩形的全体比2大的几个数 的近似值的全体所有的小正数 所有的数学难题给出下面四个关系:R,0.7Q,00,0N,其中正确的个数是:( )A4个 B3个 C2个 D1个下面有四个命题:若-a,则a 若a,b,则a+b的最小值是2集合N中最小元素是1 x2+4=4x的解集可表示为2,2 其中正确命题的个数是( 由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?求集合2a,a2+a中元素应满足的条件?若t,求t的值.一、集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；说明：书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；集合中的元素可以为数，点，代数式等；列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为例1用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3) 从51到100的所有整数的集合；(4) 小于10的所有自然数组成的集合；(5) 方程的所有实数根组成的集合； 由120以内的所有质数组成的集合。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数，即代表整数集Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。写法实数集，R也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2用描述法表示下列集合：(1) 由适合x2-x-20的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程的所有实数根组成的集合(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。 说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：5页2题1用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数2集合Ax|Z，xN，则它的元素是 。3.已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|yx+1，xA，则集合B用列举法表示是 .判断下列两组集合是否相等？ （1）A=x|y=x+1与B=y|y=x+1; (2)A=自然数与B=正整数二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0x3; 3. xRx2+1=0由此可以得到集合的分类三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即3,9,27A画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： 表示3，9，27表示任意一个集合A 典型例题【题型一】元素与集合的关系、设集合A，a,b,B=a,a,ab,且A=B，求实数a，b.、已知集合Aa+2，（a+1)，a+3a+3若1A,求实数a的值。【题型二】元素的特征、 已知集合M=xNZ,求M已知集合C=ZxN,求C点拔：要注意M与C的区别，集合M中的元素是自然数x，满足是整数，集合C是的元素是整数，满足条件是xN练习：.给出下列四个关系式：R；Q；0N；0其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4.方程组的解组成的集合是( ) A.2,1 B.-1,2 C.（2,1） D.（2,1）3. 把集合-3x3,xN用列举法表示，正确的是( ) A.3,2,1 B.3,2,1,0 C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,34.下列说法正确的是( )A.0是空集B.xQZ是有限集C.xQx2+x+2=0是空集 D.2,1与1,2是不同的集合二填空题：、 以实数为元素构成的集合的元素最多有个；、 以实数a，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有个元素，则的a值为 .、集合M=yZy=,xZ,用列举法表示是M。、已知集合A2a,a2-a，则a的取值范围是。三、解答题：、设Axx2+(b+2)x+b+1=0,bR求A的所有元素之和。10.已知集合Aa,2b-1,a+2bB=xx3-11x2+30x=0,若A=B，求a,b的值。集合间的基本关系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1），；（2），；（3），观察可得：子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作： 读作：A包含于B，或B包含AB A表示： 当集合A不包含于集合B时，记作AB(或BA) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。 如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：用适当的符号填空： ； 0 ； ； 5.几个重要的结论： 空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集； 任何一个集合是它本身的子集； 对于集合A，B，C，如果，且，那么。练习：填空： 2 N； N； A; 已知集合Ax|x3x20，B1,2，Cx|x3，Bx|x3，Bx|x6，则AB 。 3.一些特殊结论 若A,则AB=A； 若B,则AB=A；若A，B两集合中，B=，,则A=, A=A。【题型一】并集与交集的运算【例1】-1123设A=x|-1x2,B=x|1x3,求AB。 解：AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x-2，B=x|x-2x|x3=x|-2x3。【例3】已知集合Ay|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR求AB、AB【题型二】并集、交集的应用例：设集合Aa+1,3,5,B=2a+1,a2+2a,a2+2a-1，当AB=，时，求AB解：a+12 a1或-3当a1时，集合B的元素a2+2a3，2a+13，由集合的元素应具有互异性的要求可知a1.当a-3时，集合B=-5， AB=-5，5练：.已知3,4，m2-3m-1m，-=-3,则m。练习：. 设A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，则AB。 x|x是等腰直角三角形。设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，则AB。 设A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形，则AB。4. 已知集合Mx|x-20,则MN等于。 设A不大于20的质数，Bx|x2n+1,nN*，用列举法写出集合AB。6.已知集合Mx|y=x2-1,N=y|y=x2-1,那么MN等于（）A.B.NC.MD.R7、 若集合A1，3，x,B=1,x2,AB1，3，x,则满足条件的实数x的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8. 满足条件M11，2，3的集合M的个数是 。9. 已知集合Ax|-1x2,B=x|2axa+3,且满足AB，则实数a的聚取值啊范 围是 。集合的基本运算思考1 U=全班同学、A=全班参加足球队的同学、B=全班没有参加足球队的同学，则U、A、B有何关系？ 集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作：，读作：A在U中的补集，即 Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集） 说明：补集的概念必须要有全集的限制讨论：集合A与之间有什么关系？借助Venn图分析 巩固练习（口答）：U=2,3,4，A=4,3，B=，则= ，= ；设Ux|x8，且xN，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，则 ； 设U三角形，A锐角三角形，则 。 【题型1】求补集【例1】设全集， 求，【例2】设全集，求， ，。 （结论：）【例3】设全集U为R，若 ，求。（答案：）【例4】设全集Ux|-1x3,A=x|-1x3,B=x|x2-2x-3=0,求，并且判断和集合B的关系。【题型1】集合的混合运算已知全集为R，集合P=x|xa2+4a+1,aR,Q=y|y-b2+2b+3,bR求PQ和P。（III）课堂练习： 若S=2，3，4，A=4，3，则CSA=2 ；若S=三角形，B=锐角三角形，则CSB=直角三角形或钝角三角形 ； 若S=1，2，4，8，A=，则CSA= S ； 若U=1，3，a2+2a+1，A=1，3，CUA=5，则a= ；-1已知A=0，2，4，CUA=-1，1，CUB=-1，0，2，求B=1，4；设全集U=2，3，m2+2m-3，A=|m+1|，2，CUA=5，求m的值；（m= - 4或m=2） 已知全集U=1，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0，xU，求CUA、m；（答案：CUA=2，3，m=4；CUA=1，4，m=6）已知全集U=R,集合A=x|00,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试 求p、q；集合A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0,若AB=-2，0，1，求p、q；A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a2+4a-2，2-a，且AB =3，7，求B22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。集合中元素的个数在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A=a,b,c中有三个元素，我们记作card(A)=3. 结论:已知两个有限集合A，B，有：card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB). 例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 解设A=田径运动会参赛的学生，B=球类运动会参赛的学生，AB=两次运动会都参赛的学生,AB=所有参赛的学生因此card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=8+12-3=17.答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则 这个班的学生总人数是A. 70 B. 55 C. 50 D. 无法确定. 给出下列命题： 给出下列命题： 若card(A)=card(B)，则A=B； 若card(A)=card(B)， 则card(AB)=card(AB) , 若AB= 则card(AB)-card(A)=card(B) 若A= ，则card(AB)=card(A) 若A B，则card(AB)=card(A) ， 其中正确的命题的序号是高一数学必修1 集合练习题1一选择题1下列说法正确的是（）A某个村子里的年青人组成一个集合B所有小正数组成的集合C集合，和，表示同一个集合D这些数组成的集合有五个元素2下面有四个命题：（）集合中最小的数是否；（）是自然数；（），是不大于的自然数组成的集合；（）其中正确的命题的个数是（）A个个个个3给出下列关系：（）（）（）（）其中正确的个数为（）个个个个4给出下列关系：（）是空集；（）（）集合（）集合其中正确的个数为（）个个个个下列四个命题：（）空集没有了集；（）空集是任何一个集合的真子集；（）空集的元素个数为零；（）任何一个集合必有两个或两个以上的子集其中正确的有（）0个1个2个3个已知集合那么等于（），已知全集集合（）二填空题方程的解集为用列举法表示为_.用列举法表示不等式组的整数解集合为_.10已知菱形，正方形，平行四边形，那么，之间的关系是_.11已知全集，集合，则用列举法表示为_.三解答题12已知13已知14若集合则满足于条件的实数的个数有（）个个个个15设集合，则实数_16已知全集那么17. 18设求a的取值范围19试用适当的符号把连接起来20已知集合 的值或取值范围第1讲 1.1.1 集合的含义与表示学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R.4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表示，例如，.例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：； 用列举法表示为.（2）用描述法表示为：； 用列举法表示为.【例2】用适当的符号填空：已知，则有： 17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4）（1）一次函数与的图象的交点组成的集合； （2）二次函数的函数值组成的集合；（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.解：（1）.（2）.（3）.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合，试用列举法表示集合A解：化方程为：应分以下三种情况：方程有等根且不是：由 =0，得，此时的解为，合方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合综上可知，点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第2讲 1.1.2 集合间的基本关系学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.知识要点：1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作. 3. 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作AB（或BA）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：；若，则； 若，则；若，则.例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）菱形 平行四边形； 等腰三角形 等边三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.解：（1）， ；（2）=， ， ，.B A B C D【例2】设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）.解：简单列举两个集合的一些元素，易知BA，故答案选A另解：由，易知BA，故答案选A【例3】若集合，且，求实数的值.解：由，因此，.（i）若时，得，此时，；（ii）若时，得. 若,满足，解得.故所求实数的值为或或.点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“” ，因为时存在. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若A=B，求实数x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a=0.因为a0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1，所以只有.经检验，此时A=B成立. 综上所述.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 1.1.3 集合的基本运算（一）学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（union set）由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集（intersection set）对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）记号（读作“A并B”）（读作“A交B”）（读作“A的补集”）符号图形表示UA例题精讲：【例1】设集合.AB-1359x解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：，【例2】设，求：（1）； （2）.解：.（1）又，；（2）又，得. .【例3】已知集合，且，求实数m的取值范围.-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得.在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：由图形可知，.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集，求， ，并比较它们的关系. 解：由，则. 由，则 由，则，.由计算结果可以知道，.另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn图研究与 ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 1.1.3 集合的基本运算（二）学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.知识要点：1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：,.2. 集合元素个数公式：.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.例题精讲：【例1】设集合，若，求实数的值.解：由于，且，则有：当解得，此时，不合题意，故舍去；当时，解得.不合题意，故舍去；，合题意.所以，.【例2】设集合，求, .（教材P14 B组题2）解：.当时，则，；当时，则，；当时，则，；当且且时，则，.点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论. 罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A =|， B =|，若AB=B，求实数的值解：先化简集合A=. 由AB=B，则BA，可知集合B可为，或为0，或4，或.(i)若B=，则，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，当=1时，B=A，符合题意；当=时，B=0A，也符合题意(iii)若4B，代入得=7或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B=12，4，不符合题意综上可得，=1或点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 【例4】对集合A与B，若定义，当集合，集合时，有= . （由教材P12 补集定义“集合A相对于全集U的补集为”而拓展）解：根据题意可知，由定义，则.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，则也相当于.第5讲 1.2.1 函数的概念学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.知识要点：1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作=，其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.2. 设a、b是两个实数，且ab，则：x|axba,b 叫闭区间； x|axb(a,b) 叫开区间；x|axb， x|a1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】画出下列函数的图象：（1）； （教材P26 练习题3）（2）. 解：（1）由绝对值的概念，有.所以，函数的图象如右图所示.（2），所以，函数的图象如右图所示. 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，当时，写出的解析式，并作出函数的图象. 解：. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 1.3.1 函数的单调性学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.知识要点：1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x、x给定区间，且xx；计算f(x)f(x) 判断符号下结论.例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.解：任取(0,1)，且. 则. 由于，故，即. 所以，函数在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数的单调区间及单调性.解：设任意，且. 则 .若，当时，有，即，从而，即，所以在上单调递增. 同理可得在上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.解：（1），其图象如右. 由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.（2），其图象如右.由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知，指出的单调区间.解： ， 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.由图象得在单调递增，在上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知平移变换规律. 第8讲 1.3.1 函数最大（小）值学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.知识要点：1. 定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，称M是函数的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义.2. 配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲：【例1】求函数的最大值.解：配方为，由，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润. 解：设他将售出价定为x元，则提高了元，减少了件，所赚得的利润为.即. 当时，.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数的最小值. 解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数， 所以当时，函数的最小值为2.点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令，则，所以，在时是增函数，当时，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，. 所以函数的最大值为4,最小值为.（2）.作出函数的图象，由图可知，. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 1.3.2 函数的奇偶性学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.知识要点：1. 定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（odd function）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系.例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）.解：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有 ， 所以为奇函数.（2）原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有 ，所以为偶函数.（3）由于，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知是奇函数，是偶函数，且，求、.解： 是奇函数，是偶函数， ，. 则，即.两式相减，解得；两式相加，解得.【例3】已知是偶函数，时，求时的解析式.解：作出函数的图象，其顶点为. 是偶函数， 其图象关于y轴对称. 作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致， 时，.点评：此题中的函数实质就是. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当时，又由于是偶函数，则，所以，当时，.【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.解： 在区间上是减函数， 的图象在y轴左侧递减.又 是奇函数， 的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减.又 ，解
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