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总题数：22 题第1题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（天津卷）)题目 设双曲线(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )A. B.y2x C. D.答案 C解析:由题意知:2b2,则可求得,则双曲线方程为:,故其渐近线方程为.第2题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目 设抛物线y22x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|2,则BCF与ACF的面积之比=（ ） A. B. C. D.答案 A 解析:由|BF|2小于点M到准线的距离知点B在A、C之间,由抛物线的定义知点B的横坐标为,代入得y23,则B(,)(另一种可能是(,),那么此时直线AC的方程为,即,把代入y22x,可得2x27x+60,可得x2,则有y2,即A(2,2),那么SBCFSACFBCAC. 第3题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（浙江卷）)题目 已知椭圆(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.答案 D 解析:由，有,而a2c,则,故选D.第4题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目 过双曲线(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.答案 C解析:设l:y(xa),则联立可知,由知A为外分点,则有b2a,故,故选C.第5题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（安徽卷）)题目 下列曲线中离心率为的是( )A. B. C. D. 答案 B解析:选项A、B、C、D中曲线的离心率依次为、,选B.第6题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目 下列曲线中离心率为的是 （ ）A. B. C. D. 答案 B解析:在方程中,a2,.离心率.第7题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（山东卷）)题目 设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y24xB.y28xC.y24xD.y28x答案 B解析:a0时,F(,0),直线l方程为,令x0得.解得a8.同理a0时,得a-8.抛物线方程为y28x.第8题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷）)题目 设双曲线的一条渐近线与抛物线yx2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.答案 D解析:由题意知,双曲线的渐近线与抛物线相切.双曲线的一条渐近线方程为.由消y得,其判别式b2-4a20.b24a2.又c2a2+b25a2,离心率.第9题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）)题目 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A. B.2 C. D.1答案 A解析:焦点F(4,0),渐近线方程为.由点到直线的距离得.故选A.第10题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（福建卷）)题目 若双曲线 (a0)的离心率为2,则a等于( )A.2 B. C. D.1答案 D解析:c2a2+3,得a1.第11题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目 设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y3x+4,则l1与l2间的距离为_.答案 解析:将直线l1的参数方程化成普通方程为y3x2,又l2:y3x+4,故l1l2,在l1上取一点(0,2),其到l2:3xy+40的距离就是l1与l2的距离,即.第12题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)题目 已知F是双曲线的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为_.答案 9解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义可知|PF|2a+|PF1|4+|PF1|,|PF|+|PA|4+|PF1|+|PA|.当满足|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时,满足|PF1|+|PA|最小,易求得最小值为|AF1|5,故所求最小值为9.第13题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学（江苏卷）)题目 如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆(ab0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为_.答案 解析:A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b),A1B2的方程:,B1F的方程:,联立解得交点T(,),又中点M(,)在椭圆上,则,即e2+10e30,.第14题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目 过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p_.答案 2解析:直线AB的方程为,由消去y得.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x23p.根据抛物线定义，,|AB|x1+x2+p4p8.p2.第15题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目 以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 (R),它与曲线(为参数)相交于两点A和B,则|AB|_.答案 解析:直线的极坐标方程为 (R),对应的普通方程为 yx.曲线的普通方程为(x-1)2+(y-2)24.如图:,.第16题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（海南、宁夏卷）)题目 已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_. 答案 y24x 解析:设抛物线方程为y22px,A(x1,y1),B(x2,y2),则(y12y22)2p(x1x2),即(y1+y2)2p*2p14*p2.故y24x. 第17题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）)题目 已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_. 答案 yx 解析:由F(1,0)知抛物线C的方程为y24x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y124x1,y224x2,两式相减有y12y224(x1x2).故lAB:y2x2,即yx. 第18题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（广东卷）)题目 选做题(（1）、（2）题,考生只能从中选做一题)（1）.（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线4x+ky1垂直,则常数k_.（2）.(2009广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB4,ACB30,则圆O的面积等于_.答案 （1）-6解析:直线的普通方程为3x+2y-70,.直线4x+ky1的斜率,两直线垂直,k1k2-1.k-6.（2）16解析:如图所示:BOA60,ABO是正三角形,AB4,OA4.S16.第19题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（广东卷）)题目 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_.答案 解析:由已知得,2a12,a6,b2a2-c29.故椭圆方程为.第20题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（辽宁卷）)题目 已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(1,0),(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.答案 解:(1)由题意,c1,可设椭圆方程为,因为A在椭圆上,所以,解得b23,(舍去).所以椭圆方程为.(2)设直线AE方程:,代入得(3+4k2)x2+4k(32k)x+4()2120.设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上,所以,.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以k代k,可得,.所以直线EF的斜率,即直线EF的斜率为定值,其值为.第21题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（浙江卷）)题目 已知抛物线C:x22py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.(1)求p与m的值;(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值.答案 分析：第(1)问为基本知识应用,属容易题.第(2)问可将切线问题转化为导数,可简化解题,属拔高题.解:(1)由抛物线的定义,得,又m28p,所以,m2.(2)由,得抛物线的方程为yx2.由题意可知,直线PQ的斜率存在且不为0.设直线PQ的方程为y-t2k(x-t)(k0),令y0,得M,0).解方程组得Q(k-t,(k-t)2).由NQPQ,得直线NQ的方程为,解方程组得.于是抛物线C在点N处的切线方程为.将点M的坐标代入式,得.当时,故k0,此时,;当时,由式得,即k2+tk+1-2t20,此时,9t2-40,因为t0,所以t.当时,Q(-1,1),N(4,16),符合题意.综上,t的最小值为.第22题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目 已知椭圆C1:(ab0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C1的方程.(2)设点P在抛物线C2:yx2+h(hR)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.答案 本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 解:(1)由题意,得从而因此,所求的椭圆方程为.(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y|xt2t,直线MN的方程为y2txt2+h.将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2txt2+h)240,即4(1+t2)x24t(t2h)x+(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,所以式中的116t4+2(h+2)t2h2+40.设线段MN的中点的横坐标是x3,则.设线段PA的中点的横坐标是x4,则.由题意,得x3x4,即t2+(1+h)t+10.由式中的2(1+h)240,得h1,或h3.当h3时,h+20,4h20,则不等式不成立,所以h1.当h1时,代入方程得t1,将h1,t1代入不等式,检验成立.所以,h的最小值为1.
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