2013年湖南省高考数学理科试卷与答案.doc

2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1（5分）i是虚数单位，复数=（）A2+iB2iC1+2iD12i考点：复数代数形式的乘除运算407442 专题：计算题分析：要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式解答：解：复数=2i故选B点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目2（5分）若M=直线，N=抛物线，则MN的元素个数是（）A0B1C2D不能确定考点：函数的零点407442 专题：函数的性质及应用分析：根据两个集合的意义，两个集合的交集的定义，求得MN的元素个数解答：解：由于M=直线，表示所有直线构成的集合，N=抛物线，表示所有的抛物线构成的集合，故MN=，故MN的元素个数是0，故选A点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，集合的表示方法，属于基础题3（5分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A+2BC2+2D2考点：由三视图求面积、体积407442 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，再利用体积公式，即可得到结论解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，所以该几何体的体积为=+2故选A点评：本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题4（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）A16种B18种C20种D22种考点：排列、组合及简单计数问题407442 专题：概率与统计分析：利用两个计数原理及排列和组合的计算公式即可得出解答：解：分为以下两类：一类：若选出的3人中有乙，还得选出另外2人有，又乙只能从书记、宣传委员中选出一个职位，可有，因此，共有=12种不同的结果；另一类：若选出的3人中没有乙，则可有=6种不同的结果综上共有：12+6=18种不同的结果故选B，点评：熟练掌握两个计数原理及排列和组合的计算公式是解题的关键5（5分）若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（）ABCD考点：简单线性规划的应用；几何概型407442 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的AB0及其内部单位圆x2+y2=1位于AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的AB0及其内部，其中A（1，0），B（0，1），0为坐标原点单位圆x2+y2=1位于AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为在区域内任取一点P，点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P=故选：A点评：本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题6（5分）设直线l的方程为：x+ysin2013=0（R），则直线l的倾斜角的范围是（）A0，）BCD考点：直线的一般式方程407442 专题：直线与圆分析：当sin=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角=，当sin0时，直线l的斜率k=结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线l的斜率k的取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案解答：解：当sin=0时，直线l的方程为：x2013=0此时倾斜角=当sin0时，直线l的方程为：y=x+2013直线l的斜率k=（，11，+）直线l的倾斜角综上所述：直线l的倾斜角故选C点评：本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，解答时易忽略直线l的斜率不存在，倾斜角=，而错选D7（5分）下列命题正确的有用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；命题p：“x0R，x02x010”的否定p：“xR，x2x10”；设随机变量服从正态分布N（0，1），若P（1）=p，则；回归直线一定过样本中心（）（）A1个B2个C3个D4个考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义407442 专题：证明题分析：相关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，相关性越强存在性命题的否定是全称命题正态分布函数曲线的特点是：关于x=对称，在x=处达到最大值性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，解答：解：R2越大拟合效果越好，故不正确，由存在性命题的否定是全称命题得正确，正态分布函数曲线的特点是：关于x=0对称，在x=0处达到最大值，且p（0）=，若P（1）=p则若P（1）=p所以故正确样本中心点在直线上，故正确故选C点评：本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系8（5分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0x8、0y8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（）A3+BC10D5考点：两点间的距离公式407442 专题：新定义分析：利用新定义对x、y分类讨论即可得出解答：解：d（C，A）=|x2|+|y3|，d（C，B）=|x8|+|y8|，d（C，A）=d（C，B），|x2|+|y3|=|x8|+|y8|，（*）实数x、y满足0x8、0y8，则可以分以下4种情况：当0x2，0y3时，（*）化为2x+3y=8x+8y，即11=0，矛盾，此种情况不可能；当0x2，3y8时，（*）化为2x+y3=8x+8y，得到y=8，此时矛盾，此种情况不可能；当2x8，0y3时，（*）化为x2+3y=8x+8y，得到x=，此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度为3；当2x8，3y8时，（*）化为x2+y3=8x+8y，得到x+y=10.5，令y=8，得x=2.5，点（2.5，8）；令y=3，得x=7.5，点（7.5，3）此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度=综上可知：所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是3+5故选A点评：正确理解新定义、分类讨论的思想方法是解题的关键二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题0分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（1216题）9计算的值等于2考点：定积分407442 专题：计算题分析：根据定积分的计算法则进行计算，求出3x2的原函数即可；解答：解：=13（1）3=2，故答案为2点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的知识点，此题是一道基础题10（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且，则圆O的面积等于4考点：正弦定理407442 专题：计算题分析：设圆的半径为R，由正弦定理可得，可求圆的半径，进而可求圆的面积解答：解：设圆的半径为R由正弦定理可得，2R=R=2，S=4故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题11（5分）若曲线C的极坐标方程为 cos2=2sin，则曲线C的普通方程为x2=2y考点：简单曲线的极坐标方程407442 专题：直线与圆分析：曲线的方程即 2cos2=2sin，根据极坐标和直角坐标之间的互化公式，求出它的直角坐标方程解答：解：曲线C的极坐标方程为 cos2=2sin，即2cos2=2sin，化为直角坐标方程为 x2=2y，故答案为 x2=2y点评：本题主要考查曲线的极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，属于基础题12（5分）看图程序运行后的输出结果s=21考点：伪代码407442 专题：图表型分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果可以看出这是一个循环结构依其特点求解即可解答：解：程序是一个循环结构，步长是2，每循环一次i就加进2，初始i=1，可循环4次，第4次进入循环体后i=9，故S=92+3=21故答案为：21点评：考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值13（5分）已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题p：a与b没有公共点；命题q：，则p是q的 必要不充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断407442 分析：a与b没有公共点，则a与b所在的平面可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；但，则面面平行的性质定理，我们易得a与b平行或异面结合充要条件定义即可得到结论解答：解：a与b没有公共点时，a与b所在的平面可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；命题p：a与b没有公共点命题q：，为假命题；又时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点命题q：命题p：a与b没有公共点，为真命题；故p是q的必要不充分条件故答案：必要不充分点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，我们先判断pq与qp的真假，再根据充要条件的定义给出结论14（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文现在加密密钥为y=loga（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为14考点：通讯安全中的基本问题407442 专题：计算题分析：根据题意中给出的解密密钥为y=loga（x+2），及明文“6”通过加密后得到密文“3”，可求出底数a的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为b，构造方程，解方程即可解答解答：解：加密密钥为y=loga（x+2），由其加密、解密原理可知，当x=6时，y=3，从而a=2；不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b，则有4=log2（b+2），从而有b=242=14即解密后得明文为14故答案为：14点评：本题考查新运算，解题的关键是：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果15（5分）已知a，b，c成等差数列，则直线axby+c=0被曲线x2+y22x2y=0截得的弦长的最小值为2考点：直线与圆锥曲线的关系407442 专题：计算题分析：利用等差数列的定义得到2b=a+c，求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出弦长，求出最小值解答：解：因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c因为x2+y22x2y=0表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆，则圆心到直线的距离为d=则直线axby+c=0被曲线x2+y22x2y=0截得的弦长l=2所以0截得的弦长的最小值为2，故答案为2点评：求直线与圆相交的弦长问题，一般通过构造直角三角形，利用勾股定理求出弦长16（5分）已知x，yN*，且1+2+3+4+y=1+9+92+9x1，当x=2时，y=4；若把y表示成x的函数，其解析式是y=考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和407442 专题：等差数列与等比数列分析：把x=2代入已知可得=10，解之即可；由又求和公式可得=，解之可得答案解答：解：由题意可得x=2时，1+2+3+4+y=1+9，故可得=10，解得y=4，又由1+2+3+4+y=1+9+92+9x1可得=，即y（y+1）=，故y=，故答案为：4；点评：本题考查等差数列和等比数列的求和公式，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知，设0，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于（1）求的值；（2）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当f（A）=1时，求b，c的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算407442 专题：三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用分析：（1）由数量积的定义和三角函数的公式可得f（x）=，又可得，由周期公式可得；（2）由题意可得，由余弦定理和面积可得b，c的方程组，解之即可解答：解：（1）=，又 ，解得=1；（2）f（A）=1，由 0A得 ，又解得或点评：本题考查平面向量数量积的运算，以及余弦定理的应用，属中档题18（12分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜（）求该考生8道题全答对的概率；（）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列考点：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列407442 专题：应用题分析：（）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案（）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，分别求出其概率，进而可得其分布列解答：解：（）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，即相互独立事件同时发生，故其概率为：P=（5分）（）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，其概率分别为：P（=8）=分布列为：（13分）点评：本题考查相互独立事件概率的乘法公式与随机变量的分布列，两者经常一起考查，平时要加强这方面的训练19（12分）正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D（1）求证：A1C面AEF；（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法407442 专题：计算题；证明题；空间角分析：（1）连接A1C，证明AEA1C，AFA1C，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1C面AEF；（2）如图说明NAO=就是截面AEF与底面ABCD所成二面角，通过解三角形，求出AC，BE，即可求解的正切值解答：证明：（1）连接A1C正四棱柱CB平面ABB1A1CBAE又AEA1BAE平面A1BCAEA1C同理可得：AFA1CA1C平面AEF（2）AEA1BRtABA1RtABEABA1=BEA，如图EF的中点为N，AC 的中点为O，连结NO，则NAO=，又 底面边长是，侧棱长是3，得 ，BE=1同理 DF=1又 ，点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力20（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值考点：函数模型的选择与应用；导数的运算407442 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数求出列车的速度关于t的表达式，令v（t）=0解出即可；（2）利用（1），令t=0，解出即可；（3）因为加速度a（t）=V（t），利用导数求出即可解答：解：（1）紧急刹车后列车的速度V（t）=S（t），当列车完全停止时V（t）=0m/s，t24t60=0，解得t=10或t=6（舍去）即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10s（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10 s，又由列车的速度火车正常行驶的速度当t=0时，V（0）=90m/s（3）紧急刹车后列车运行的加速度a（t）=V（t）|a（t）|=|a（0）|最大，|a（t）|max=84m/s2点评：熟练掌握v（t）=s（t），a（t）=v（t）是解题的关键21（13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点（1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|a|，求a的取值范围考点：圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质407442 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中a，b，然后求椭圆与双曲线的方程；（2）设出抛物线上任意一点Q的坐标，点P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|a|恒成立，求a的取值范围解答：解：（1）设抛物线方程为y2=2px（p0），将M（1，2）代入方程得p=2抛物线方程为：y2=4x由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（1，0）1，F2（1，0），c=1对于椭圆，所以椭圆方程为对于双曲线，所以双曲线方程为（2）设由|PQ|a|得，t2+168a0，t28a16恒成立则8a160，a2a（，2点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，三种曲线的求法，两点间的距离公式的应用，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查转化思想22（13分）已知二次函数f（x）=x2ax+a（xR）同时满足：不等式f（x）0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2，使得不等式f（x1）f（x2）成立设数列an的前n项和Sn=f（n），（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn中，令，Tn=，求Tn；（3）设各项均不为零的数列cn中，所有满足cici+10的正整数i的个数称为这个数列cn的变号数令（n为正整数），求数列cn的变号数考点：数列与函数的综合407442 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由f（x）0的解集有且只有一个元素可知=a24a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0x1x2，使得不等式f（x1）f（x2）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用Sn与an的关系即可求得an（2）由（1）求得bn，根据其结构特征利用错位相减法即可求得Tn；（3）先求出Cn，判断n3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n3时的变号数，根据c1=3，c2=5，c3=3，可得此处变号数，从而可求得数列cn的变号数解答：解：（1）f（x）0的解集有且只有一个元素，=a24a=0a=0或a=4，当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+）上递增，故不存在0x1x2，使得不等式f（x1）f（x2）成立，当a=4时，函数f（x）=x24x+4在（0，2）上递减，故存在0x1x2，使得不等式f（x1）f（x2）成立综上，得a=4，f（x）=x24x+4，；（2）=，bn=n，得，Tn=2+22+2nn2n+1=n2n+1，；（3）由题设n3时，n3时，数列cn递增，由，可知a4a50，即n3时，有且只有1个变号数；又c1=3，c2=5，c3=3，即c1c20，c2c30，此处变号数有2个综上得 数列cn共有3个变号数，即变号数为3；点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高