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2.2函数的性质错误解题分析一、知识导学1、函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。（2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。2、函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性。3、函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像。二、疑难知识导析1、对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质。函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。2、对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称。这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立。函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映。这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用。根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求。3、用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的。三、经典例题导讲例1判断函数的单调性。【错解】是减函数【错因】概念不清，导致判断错误。这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化。当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性。【正解】令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，是增函数例2判断函数的奇偶性。【错解】：是偶函数【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面。对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称。这是函数具备奇偶性的必要条件。【正解】有意义时必须满足即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数例3 判断的奇偶性。【错解】 且所以该函数既不是奇函数也不是偶函数【错因】对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活。定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)0是否成立。【正解】方法一：是奇函数方法二：是奇函数例4函数y=的单调增区间是_。【错解】因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是【错因】：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误。【正解】y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是例5 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范围。【错解】f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60，解得x2或x3又 f(x)是定义在(3，3)上的函数，所以2x3【错因】只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域。【正解】由,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x,例6 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x1)；(2)。【分析】显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形。在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想。解：(1)当x2时，即x-20时，当x2时，即x-20时，所以这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x1时，lgx0，y=10lgx=x；当0x1时，lgx0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出。(见图)【点评】作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围。因此必须熟记基本函数的图像。例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像。例7若f(x)= 在区间（2，）上是增函数，求a的取值范围。解：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得 a 【点评】有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉。例8 已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0。f(x)=f(x)。f(x)为奇函数。(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减。令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1)。f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0。f(x)在(1，1)上为减函数。【点评】本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想。对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高。 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点。第 5 页 共 5 页
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