北师大版数学八年级上册第一单元测试题

第 1 页 共 28 页 北师大版数学八年级上册第一单元测试题 一 选择题 共 10 小题 1 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 D 为 BC 中点 则 AD 的长为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 ABC 中 A B C 的对边分别记为 a b c 由下列条件不能判定 ABC 为直角三角形的是 A A B C B A B C 1 2 3 C a2 c2 b2 D a b c 3 4 6 3 等腰三角形的腰长为 10 底长为 12 则其底边上的高为 A 13 B 8 C 25 D 64 4 Rt ABC 中 斜边 BC 2 则 AB2 AC2 BC2 的值为 A 8 B 4 C 6 D 无法计算 5 如图 已知两正方形的面积分别是 25 和 169 则字母 B 所代表的正方形的 面积是 A 12 B 13 C 144 D 194 6 已知一直角三角形的木板 三边的平方和为 1800cm2 则斜边长为 A 30cm B 80cm C 90cm D 120cm 7 ABC 中 边 AB 15 AC 13 高 AD 12 则 ABC 的周长是 A 42 B 32 C 42 或 32 D 不能确定 8 下列说法正确的是 A 已知 a b c 是三角形的三边长 则 a2 b2 c2 B 在直角三角形中 两边的平方和等于第三边的平方 第 2 页 共 28 页 C 在 Rt ABC 中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则 a2 b2 c2 D 在 Rt ABC 中 B 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则 a2 b2 c2 9 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 3cm 2 B 4cm 2 C 6cm 2 D 12cm 2 10 三角形的三边长 a b c 满足 2ab a b 2 c2 则此三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 二 选择题 共 10 小题 11 直角三角形斜边长是 5 一直角边的长是 3 则此直角三角形的面积为 12 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 5cm BC 3cm CD AB 于 D CD 13 在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一道有趣的数学问题 今有池 方一丈 葭生其中央 出水一尺 引葭赴岸 适与岸齐 问水深 葭长各几何 这个数学问题的意思是说 有一个水池 水面是一个边长为 1 丈 1 丈 10 尺 的正方形 在水池正中央长有一根芦苇 芦苇露出水面 1 尺 如果把这根芦苇 拉向岸边 它的顶端恰好到达岸边的水面 请问这个水池的深度和这根芦苇的 长度各是多少 设这个水池的深度是 x 尺 根据题意 可列方程为 14 如图 有一个长为 50cm 宽为 30cm 高为 40cm 的长方体木箱 一根长 第 3 页 共 28 页 70cm 的木棍 放入 填 能 或 不能 15 长方体的长 宽 高分别为 8cm 4cm 5cm 一只蚂蚁沿着长方体的表面 从点 A 爬到点 B 则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm 16 如图是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高分别为 100cm 15cm 和 10cm A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点 A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去吃 可口的食物 则它所走的最短路线长度为 17 如图 已知 CD 6m AD 8m ADC 90 BC 24m AB 26m 图中阴影 部分的面积 18 如图 所有三角形都是直角三角形 所有四边形都是正方形 已知 S1 9 S 2 4 S 3 8 S 4 10 则 S 19 边长为 7 24 25 的 ABC 内有一点 P 到三边距离相等 则这个距离为 20 一个三角形的三边的比是 3 4 5 它的周长是 36 则它的面积是 三 选择题 共 9 小题 21 如图 已知四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求 四边形 ABCD 的面积 22 如图 已知 AC 4 BC 3 BD 12 AD 13 ACB 90 试求阴影部分的面 第 4 页 共 28 页 积 23 如图 已知 ABC 中 CD AB 于 D AC 20 BC 15 DB 9 求 AB 的长 24 已知 如图 在四边形 ABCD 中 B 90 AB BC 2 CD 3 AD 1 求 DAB 的度数 25 我们把满足方程 x2 y2 z2 的正整数的解 x y z 叫做勾股数 如 3 4 5 就是一组勾股数 1 请你再写出两组勾股数 2 在研究直角三角形的勾股数时 古希腊的哲学家柏拉图曾指出 如果 n 表 第 5 页 共 28 页 示大于 1 的整数 x 2n y n 2 1 z n 2 1 那么以 x y z 为三边的三角形为直 径三角形 即 x y z 为勾股数 请你加以证明 26 中华人民共和国道路交通管理条例 规定 小汽车在城街路上行驶速度不得 超过 70km h 如图 一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶 某一时刻刚好行 驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m 的 C 处 过了 2s 后 测得小汽车与 车速检测仪间距离为 50m 这辆小汽车超速了吗 参考数据转换 1m s 3 6km h 27 如图 一架 2 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上 这时梯子底部 B 到 墙底端的距离为 0 7 米 考虑爬梯子的稳定性 现要将梯子顶部 A 沿墙下移 0 4 米到 A1 处 问梯子底部 B 将外移多少米 第 6 页 共 28 页 28 为迎接南博会 要在会场周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化 经 测量 B 90 AB 7 米 BC 24 米 CD 15 米 AD 20 米 求这块四边形草坪 ABCD 的面积 29 如图 圆柱形无盖玻璃容器 高 18cm 底面周长为 60cm 在外侧距下底 1cm 的点 C 处有一蜘蛛 与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 1cm 的 F 处有一苍蝇 试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度 30 如图 ABC 为直角 BC 长为 3 AB 长为 4 AF 长为 12 正方形的面积 为 169 求三角形 AFC 的面积 第 7 页 共 28 页 2017 年 01 月 17 日 dxzxshuxue 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一 选择题 共 10 小题 1 2016 淮安二模 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 D 为 BC 中点 则 AD 的长 为 A 3 B 4 C 5 D 6 分析 先判断出 AD BC 再用勾股定理求解即可 解答 解 AB AC 点 D 是 BC 中点 AD BC ADB 90 点 D 是 BC 中点 BD BC 3 在 Rt ADB 中 AB 5 AD 4 故选 B 点评 此题是勾股定理题目 主要考查了等腰三角形的三线合一 勾股定理 解本题的是判断出 ADB 90 2 2016 集美区模拟 ABC 中 A B C 的对边分别记为 a b c 由下列条件不能判定 ABC 为直角三角形的是 A A B C B A B C 1 2 3 C a2 c2 b2 D a b c 3 4 6 第 8 页 共 28 页 分析 由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可 解答 解 A A B C 又 A B C 180 则 C 90 是直角三 角形 B A B C 1 2 3 又 A B C 180 则 C 90 是直角三角 形 C 由 a2 c2 b2 得 a2 b2 c2 符合勾股定理的逆定理 是直角三角形 D 3 2 42 6 2 不符合勾股定理的逆定理 不是直角三角形 故选 D 点评 本题考查了直角三角形的判定 注意在应用勾股定理的逆定理时 应 先认真分析所给边的大小关系 确定最大边后 再验证两条较小边的平方和与 最大边的平方之间的关系 进而作出判断 3 2016 春 石家庄期末 等腰三角形的腰长为 10 底长为 12 则其底边上的 高为 A 13 B 8 C 25 D 64 分析 先作底边上的高 由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长 度 解答 解 作底边上的高并设此高的长度为 x 根据勾股定理得 62 x2 102 解得 x 8 故选 B 点评 本题考点 等腰三角形底边上高的性质和勾股定理 等腰三角形底边 上的高所在直线为底边的中垂线 然后根据勾股定理即可求出底边上高的长 度 4 2016 春 沧州期末 Rt ABC 中 斜边 BC 2 则 AB2 AC2 BC2 的值为 第 9 页 共 28 页 A 8 B 4 C 6 D 无法计算 分析 利用勾股定理将 AB2 AC2 转化为 BC2 再求值 解答 解 Rt ABC 中 BC 为斜边 AB 2 AC2 BC2 AB 2 AC2 BC2 2BC2 2 22 8 故选 A 点评 本题考查了勾股定理 正确判断直角三角形的直角边 斜边 利用勾 股定理得出等式是解题的关键 5 2016 春 平南县期末 如图 已知两正方形的面积分别是 25 和 169 则字 母 B 所代表的正方形的面积是 A 12 B 13 C 144 D 194 分析 结合勾股定理和正方形的面积公式 得字母 B 所代表的正方形的面积 等于其它两个正方形的面积差 解答 解 字母 B 所代表的正方形的面积 169 25 144 故选 C 点评 熟记 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜 边为边长的正方形的面积 6 2016 春 赵县期末 已知一直角三角形的木板 三边的平方和为 1800cm2 则斜边长为 A 30cm B 80cm C 90cm D 120cm 分析 先求出斜边的平方 进而可得出结论 解答 解 设直角三角形的斜边长为 x 三边的平方和为 1800cm2 第 10 页 共 28 页 x 2 900cm2 解得 x 30cm 故选 A 点评 本题考查的是勾股定理 熟知在任何一个直角三角形中 两条直角边 长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 7 2016 春 谷城县期末 ABC 中 边 AB 15 AC 13 高 AD 12 则 ABC 的周长是 A 42 B 32 C 42 或 32 D 不能确定 分析 本题应分两种情况进行讨论 1 当 ABC 为锐角三角形时 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中 运用勾股定理可 将 BD 和 CD 的长求出 两者相加即为 BC 的长 从而可将 ABC 的周长求出 2 当 ABC 为钝角三角形时 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中 运用勾股定理可 将 BD 和 CD 的长求出 两者相减即为 BC 的长 从而可将 ABC 的周长求出 解答 解 此题应分两种情况说明 1 当 ABC 为锐角三角形时 在 Rt ABD 中 BD 9 在 Rt ACD 中 CD 5 BC 5 9 14 ABC 的周长为 15 13 14 42 2 当 ABC 为钝角三角形时 在 Rt ABD 中 BD 9 在 Rt ACD 中 CD 5 BC 9 5 4 ABC 的周长为 15 13 4 32 第 11 页 共 28 页 当 ABC 为锐角三角形时 ABC 的周长为 42 当 ABC 为钝角三角形时 ABC 的周长为 32 综上所述 ABC 的周长是 42 或 32 故选 C 点评 此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识 在解本题时应分两种情 况进行讨论 易错点在于漏解 同学们思考问题一定要全面 有一定难度 8 2016 春 饶平县期末 下列说法正确的是 A 已知 a b c 是三角形的三边长 则 a2 b2 c2 B 在直角三角形中 两边的平方和等于第三边的平方 C 在 Rt ABC 中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则 a2 b2 c2 D 在 Rt ABC 中 B 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则 a2 b2 c2 分析 根据勾股定理进行判断即可 解答 解 A 若该三角形不是直接三角形 则等式 a2 b2 c2 不成立 故本选 项错误 B 在直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 故本选项错误 C 在 Rt ABC 中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则 a2 b2 c2 故本选项正确 D 在 Rt ABC 中 B 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则 c2 a2 b2 故本选项错误 故选 C 点评 本题考查了勾股定理 在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平 第 12 页 共 28 页 方之和一定等于斜边长的平方 9 2016 春 阿荣旗期末 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将 此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 3cm 2 B 4cm 2 C 6cm 2 D 12cm 2 分析 根据折叠的条件可得 BE DE 在直角 ABE 中 利用勾股定理就可以 求解 解答 解 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 BE ED AD 9cm AE DE AE BE BE 9 AE 根据勾股定理可知 AB2 AE2 BE2 解得 AE 4 ABE 的面积为 3 4 2 6 故选 C 点评 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即 直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方 10 2016 春 定州市期中 三角形的三边长 a b c 满足 2ab a b 2 c2 则 此三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 分析 对原式进行化简 发现三边的关系符合勾股定理的逆定理 从而可判 定其形状 解答 解 原式可化为 a2 b2 c2 此三角形是直角三角形 第 13 页 共 28 页 故选 C 点评 解答此题要用到勾股定理的逆定理 已知三角形 ABC 的三边满足 a2 b2 c2 则三角形 ABC 是直角三角形 二 选择题 共 10 小题 11 2016 甘孜州 直角三角形斜边长是 5 一直角边的长是 3 则此直角三角 形的面积为 6 分析 根据直角三角形的斜边与一条直角边 可利用勾股定理求出另一条直 角边的长度 再根据三角形的面积公式求出面积即可 解答 解 直角三角形斜边长是 5 一直角边的长是 3 另一直角边长为 4 该直角三角形的面积 S 3 4 6 故答案为 6 点评 本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式 解题的关键是根据勾股 定理求出另一条直角边的长度 本题属于基础题 难度不大 解决该题型题目 时 根据勾股定理找出直角三角形的三边关系是关键 12 2016 黔东南州一模 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 5cm BC 3cm CD AB 于 D CD cm 分析 先根据勾股定理求出直角边 AC 的长度 再利用三角形的面积即可求 出 CD 的长 解答 解 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 5cm BC 3cm AC 4cm S ABC AC CB AB CD 4 3 5 CD CD cm 第 14 页 共 28 页 故答案为 cm 点评 此题考查了勾股定理 在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平 方之和一定等于斜边长的平方 利用直角三角形面积的两种不同表示方法是解 题的关键 13 2016 平谷区一模 在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一道有趣 的数学问题 今有池方一丈 葭生其中央 出水一尺 引葭赴岸 适与岸 齐 问水深 葭长各几何 这个数学问题的意思是说 有一个水池 水面是 一个边长为 1 丈 1 丈 10 尺 的正方形 在水池正中央长有一根芦苇 芦苇露 出水面 1 尺 如果把这根芦苇拉向岸边 它的顶端恰好到达岸边的水面 请问 这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 设这个水池的深度是 x 尺 根据 题意 可列方程为 x 2 52 x 1 2 分析 首先设水池的深度为 x 尺 则这根芦苇的长度为 x 1 尺 根据勾股 定理可得方程 x2 52 x 1 2 再解即可 解答 解 设水池的深度为 x 尺 由题意得 x2 52 x 1 2 解得 x 12 则 x 1 13 答 水深 12 尺 芦苇长 13 尺 故答案为 x 2 52 x 1 2 点评 此题主要考查了勾股定理的应用 在应用勾股定理解决实际问题时勾 股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法 关键是从题中抽象出勾股定 第 15 页 共 28 页 理这一数学模型 画出准确的示意图 领会数形结合的思想的应用 14 2016 黔东南州一模 如图 有一个长为 50cm 宽为 30cm 高为 40cm 的长方体木箱 一根长 70cm 的木棍 能 放入 填 能 或 不能 分析 在长方体的盒子中 一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大 根据木箱的长 宽 高可求出最大距离 然后和木棒的长度进行比较 解答 解 可设放入长方体盒子中的最大长度是 xcm 根据题意 得 x2 502 402 302 5000 702 4900 因为 4900 5000 所以能放进去 故答案是 能 点评 本题考查了勾股定理的应用 解题的关键是求出木箱内木棒的最大长 度 15 2016 富阳市模拟 长方体的长 宽 高分别为 8cm 4cm 5cm 一只蚂 蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm 分析 蚂蚁有三种爬法 就是把正视和俯视 或正视和侧视 或俯视和侧视 第 16 页 共 28 页 二个面展平成一个长方形 然后求其对角线 比较大小即可求得最短的途径 解答 解 如图所示 路径一 AB 13 路径二 AB 路径三 AB 13 cm 为最短路径 点评 此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度 16 2016 罗平县校级模拟 如图是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高 分别为 100cm 15cm 和 10cm A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点 A 点上 有一只蚂蚁想到 B 点去吃可口的食物 则它所走的最短路线长度为 125cm 分析 把立体几何图展开得到平面几何图 如图 然后利用勾股定理计算 AB 则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度 解答 解 展开图为 第 17 页 共 28 页 则 AC 100cm BC 15 3 10 3 75cm 在 Rt ABC 中 AB 125cm 所以蚂蚁所走的最短路线长度为 125cm 故答案为 125cm 点评 本题考查了勾股定理的应用 把立体几何图中的问题转化为平面几何 图中的问题是解题的关键 17 2016 秋 宜宾期末 如图 已知 CD 6m AD 8m ADC 90 BC 24m AB 26m 图中阴影部分的面积 96m 2 分析 先根据勾股定理求出 AC 的长 再根据勾股定理的逆定理判断出 ACB 为直角三角形 再根据 S 阴影 AC BC AD CD 即可得出结论 解答 解 在 Rt ADC 中 CD 6m AD 8m ADC 90 BC 24m AB 26m AC 2 AD2 CD2 82 62 100 AC 10m 取正值 在 ABC 中 AC 2 BC2 102 242 676 AB 2 262 676 AC 2 BC2 AB2 第 18 页 共 28 页 ACB 为直角三角形 ACB 90 S 阴影 AC BC AD CD 10 24 8 6 96 m 2 故答案是 96m 2 点评 本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用 解题的关键 是根据勾股定理求出 AC 的长 再根据勾股定理的逆定理判断出 ACB 为直角三 角形 18 2016 春 建昌县期末 如图 所有三角形都是直角三角形 所有四边形都 是正方形 已知 S1 9 S 2 4 S 3 8 S 4 10 则 S 31 分析 利用勾股定理 根据图形得到 S1 S2 S3 S4 S 求出即可 解答 解 所有三角形都是直角三角形 所有四边形都是正方形 S S 1 S2 S3 S4 9 4 8 10 31 故答案为 31 点评 此题考查了勾股定理 熟练掌握勾股定理是解本题的关键 19 2016 春 通川区期末 边长为 7 24 25 的 ABC 内有一点 P 到三边距离 相等 则这个距离为 3 分析 首先根据三边长确定三角形是直角三角形 再根据题意画出图形 连 接 AP BP CP 根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长 解答 解 7 2 242 252 ABC 是直角三角形 根据题意画图 如图所示 第 19 页 共 28 页 连接 AP BP CP 设 PE PF PG x S ABC AB CB 84 S ABC AB x AC x BC x AB BC AC x 56x 28x 则 28x 84 x 3 故答案为 3 点评 此题主要考查了勾股定理逆定理 以及三角形的面积 注意构造辅助 线 则直角三角形的面积有两种表示方法 一是整体计算 即两条直角边乘积 的一半 二是等于三个小三角形的面积和 即 AB AC BC x 然后即可计 算 x 的值 20 2016 春 云梦县期末 一个三角形的三边的比是 3 4 5 它的周长是 36 则它的面积是 54 分析 根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形 然后根据三角形的 面积公式即可得到结论 解答 解 设三角形的三边是 3x 4x 5x 3x 2 4x 2 5x 2 此三角形是直角三角形 它的周长是 36 3x 4x 5x 36 3x 9 4x 12 三角形的面积 9 12 54 第 20 页 共 28 页 故答案为 54 点评 本题考查了勾股定理的逆定理 三角形的面积的计算 熟练掌握勾股 定理的逆定理是解题的关键 三 选择题 共 9 小题 21 2016 春 沧州期末 如图 已知四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的面积 分析 连接 AC 在直角三角形 ABC 中 由 AB 及 BC 的长 利用勾股定理求 出 AC 的长 再由 AD 及 CD 的长 利用勾股定理的逆定理得到三角形 ACD 为直 角三角形 根据四边形 ABCD 的面积 直角三角形 ABC 的面积 直角三角形 ACD 的面积 即可求出四边形的面积 解答 解 连接 AC 如图所示 B 90 ABC 为直角三角形 又 AB 3 BC 4 根据勾股定理得 AC 5 又 CD 12 AD 13 AD 2 132 169 CD 2 AC2 122 52 144 25 169 CD 2 AC2 AD2 ACD 为直角三角形 ACD 90 第 21 页 共 28 页 则 S 四边形 ABCD S ABC S ACD AB BC AC CD 3 4 5 12 36 故四边形 ABCD 的面积是 36 点评 此题考查了勾股定理 以及勾股定理的逆定理 熟练掌握勾股定理及 勾股定理的逆定理是解本题的关键 22 2016 春 滨州期末 如图 已知 AC 4 BC 3 BD 12 AD 13 ACB 90 试求阴影部分的面积 分析 先利用勾股定理求出 AB 然后利用勾股定理的逆定理判断出 ABD 是 直角三角形 然后分别求出两个三角形的面积 相减即可求出阴影部分的面 积 解答 解 连接 AB ACB 90 AB 5 AD 13 BD 12 AB 2 BD2 AD2 ABD 为直角三角形 阴影部分的面积 AB BD AC BC 30 6 24 答 阴影部分的面积是 24 点评 此题考查了勾股定理勾股定理的逆定理 属于基础题 解答本题的关 键是判断出三角形 ABD 为直角三角形 第 22 页 共 28 页 23 2016 春 启东市期末 如图 已知 ABC 中 CD AB 于 D AC 20 BC 15 DB 9 求 AB 的长 分析 在 Rt BCD 中 根据勾股定理求出 CD 的长 在 Rt ACD 中根据勾股 定理求出 AD 的长 故可得出 AB 的长 解答 解 CD AB 于 D AC 20 BC 15 DB 9 在 Rt BCD 中 CD 2 CB2 DB2 152 92 144 在 Rt ACD 中 AD2 AC2 CD2 202 144 256 AD 16 AB AD DB 16 9 25 点评 本题考查的是勾股定理 熟知在任何一个直角三角形中 两条直角边 长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 24 2016 春 西城区期末 已知 如图 在四边形 ABCD 中 B 90 AB BC 2 CD 3 AD 1 求 DAB 的度数 分析 由于 B 90 AB BC 2 利用勾股定理可求 AC 并可求 BAC 45 而 CD 3 DA 1 易得 AC2 DA2 CD2 可证 ACD 是直角三角形 于是有 CAD 90 从而易求 BAD 解答 解 B 90 AB BC 2 AC 2 BAC 45 又 CD 3 DA 1 第 23 页 共 28 页 AC 2 DA2 8 1 9 CD 2 9 AC 2 DA2 CD2 ACD 是直角三角形 CAD 90 DAB 45 90 135 故 DAB 的度数为 135 点评 本题考查了等腰三角形的性质 勾股定理 勾股定理的逆定理 解题 的关键是连接 AC 并证明 ACD 是直角三角形 25 2016 春 柳州期末 我们把满足方程 x2 y2 z2 的正整数的解 x y z 叫 做勾股数 如 3 4 5 就是一组勾股数 1 请你再写出两组勾股数 6 8 10 9 12 15 2 在研究直角三角形的勾股数时 古希腊的哲学家柏拉图曾指出 如果 n 表 示大于 1 的整数 x 2n y n 2 1 z n 2 1 那么以 x y z 为三边的三角形为直 径三角形 即 x y z 为勾股数 请你加以证明 分析 1 根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数 可得答案 2 根据勾股定理的逆定理 可得答案 解答 解 1 写出两组勾股数 6 8 10 9 12 15 2 证明 x 2 y2 2n 2 n 2 1 2 4n2 n4 2n2 1 n4 2n2 1 n2 1 2 z2 即 x y z 为勾股数 第 24 页 共 28 页 故答案为 6 8 10 9 12 15 点评 本题考查了勾股数 利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股 数 26 2016 春 自贡期末 中华人民共和国道路交通管理条例 规定 小汽车在 城街路上行驶速度不得超过 70km h 如图 一辆小汽车在一条城市街路上直道 行驶 某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m 的 C 处 过了 2s 后 测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m 这辆小汽车超速了吗 参考 数据转换 1m s 3 6km h 分析 本题求小汽车是否超速 其实就是求 BC 的距离 直角三角形 ABC 中 有斜边 AB 的长 有直角边 AC 的长 那么 BC 的长就很容易求得 根据小汽车 用 2s 行驶的路程为 BC 那么可求出小汽车的速度 然后再判断是否超速了 解答 解 在 Rt ABC 中 AC 30m AB 50m 据勾股定理可得 m 小汽车的速度为 v 20 m s 20 3 6 km h 72 km h 72 km h 70 km h 这辆小汽车超速行驶 答 这辆小汽车超速了 点评 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题 可把条件和问题 放到直角三角形中 进行解决 要注意题目中单位的统一 27 2016 春 谷城县期末 如图 一架 2 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上 这时梯子底部 B 到墙底端的距离为 0 7 米 考虑爬梯子的稳定性 现要将 第 25 页 共 28 页 梯子顶部 A 沿墙下移 0 4 米到 A1 处 问梯子底部 B 将外移多少米 分析 在直角三角形 ABC 中 已知 AB BC 根据勾股定理即可求 AC 的长度 根据 AC AA1 CA1 即可求得 CA1 的长度 在直角三角形 A1B2C 中 已知 AB A1B2 CA 1 即可求得 CB2 的长度 根据 BB1 CB1 CB 即可求得 BB2 的长度 解答 解 在直角 ABC 中 已知 AB 2 5m BC 0 7m 则 AC m 2 4m AC AA 1 CA1 CA 1 2m 在直角 A 1B2C 中 AB A 1B1 且 A1B2 为斜边 CB 2 1 5m BB 2 CB1 CB 1 5m 0 7m 0 8m 答 梯子底部 B 将外移 0 8 米 点评 本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用 本题中求 CB2 的长度是解题的关键 28 2016 春 官渡区期末 为迎接南博会 要在会场周围的一块四边形空地上 种植草坪进行绿化 经测量 B 90 AB 7 米 BC 24 米 CD 15 米 AD 20 米 求这块四边形草坪 ABCD 的面积 第 26 页 共 28 页 分析 连接 AC 首先根据勾股定理求得 AC 的长 再根据勾股定理的逆定理 求得 D 90 由题意可知四边形 ABCD 的面积等于两个直角三角形的面积问题 的解 解答 解 连接 AC 如图所示 在 Rt ABC 中 AC 2 AB2 BC2 72 242 625 AC 0 AC 25 在 CAD 中 AD 2 CD2 400 225 625 AC2 AD 2 CD2 AC2 ADC 90 S 四边形 ABCD S BAC S ADC AB BC AD DC 24 7 15 20 84 150 234 答 这块四边形草坪 ABCD 的面积是 234 米 2 点评 考查了勾股定理和勾股定理的逆定理 通过作辅助线可将一般的四边 形转化为两个直角三角形 使面积的求解过程变得简单 29 2016 春 澄城县期末 如图 圆柱形无盖玻璃容器 高 18cm 底面周长 为 60cm 在外侧距下底 1cm 的点 C 处有一蜘蛛 与蜘蛛相对的圆柱形容器的 上口外侧距开口 1cm 的 F 处有一苍蝇 试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最 短路线的长度 分析 要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离 首先要把两个点展开 到一个平面内 然后分析展开图形中的数据 根据勾股定理即可求解 第 27 页 共 28 页 解答 解 将曲面沿 AB 展开 如图所示 过 C 作 CE AB 于 E 在 Rt CEF 中 CEF 90 EF 18 1 1 16 cm CE 60 30 cm 由勾股定理 得 CF 34 cm 答 蜘蛛所走的最短路线是 34cm 点评 由于蜘蛛与苍绳均属于玻璃容器的外侧 因而蜘蛛不能直接到达点 F 需沿侧面爬行 为此 可将曲面沿 AB 展开 显然蜘蛛所走的最短的路线即 为线段 CF 从而可构造直角三角形 用勾股定理求出 CF 的长 四 解答题 共 1 小题 30 2016 秋 江都区期中 如图 ABC 为直角 BC 长为 3 AB 长为 4 AF 长为 12 正方形的面积为 169 求三角形 AFC 的面积 分析 先利用勾股定理求出 AC 的平方 再由正方形的面积为 169 得出 FC 的平方为 169 利用勾股定理的逆定理得出 FAC 是直角 再利用三角形的面积 公式即可求出三角形 AFC 的面积 解答 解 ABC 为直角 BC 长为 3 AB 长为 4 AC 2 AB2 BC2 16 9 25 正方形的面积为 169 FC 2 169 AF 2 AC2 144 25 169 FC2 第 28 页 共 28 页 FAC 90 三角形 AFC 的面积 AF AC 12 5 30 点评 本题考查了勾股定理 勾股定理的逆定理 正方形的面积 三角形的 面积 利用勾股定理的逆定理得出 FAC 是直角是解题的关键