2016年苏科版九年级数学下册《第6章图形的相似》单元测试含答案解析

第 1 页 共 37 页 第 6章 图形的相似 一 选择题 本题共 10小题 每小题 3分 共 30分 1 若 则 的值为 A 1 B C D 2 已知线段 a b c 其中 c是 a b 的比例中项 若 a 9cm b 4cm 则线段 c长 A 18cm B 5cm C 6cm D 6cm 3 已知点 P是线段 AB的黄金分割点 AP PB AB 4 那么 AP的长是 A B C D 4 如图 点 P在 ABC 的边 AC上 要判断 ABP ACB 添加一个条件 不正确的是 A ABP C B APB ABC C D 5 如果两个相似三角形的面积比是 1 4 那么它们的周长比是 A 1 16 B 1 4 C 1 6 D 1 2 6 如图 在平行四边形 ABCD中 EF AB 交 AD于 E 交 BD于 F DE EA 3 4 EF 3 则 CD的长 为 A 4 B 7 C 3 D 12 7 如图 OAB 与 OCD 是以点 O为位似中心的位似图形 相似比为 1 2 OCD 90 CO CD 若 B 1 0 则点 C的坐标为 A 1 2 B 1 1 C D 2 1 第 2 页 共 37 页 8 如图 已知 ABC 和 ADE 均为等边三角形 D 在 BC上 DE 与 AC相交于点 F AB 9 BD 3 则 CF等于 A 1 B 2 C 3 D 4 9 如图 王华晚上由路灯 A下的 B处走到 C处时 测得影子 CD的长为 1米 继续往前走 3米到达 E处时 测得影子 EF的长为 2米 已知王华的身高是 1 5米 那么路灯 A的高度 AB等于 A 4 5 米 B 6 米 C 7 2 米 D 8 米 10 如图 Rt ABC 中 ACB 90 ABC 60 BC 2cm D 为 BC的中点 若动点 E以 1cm s的 速度从 A点出发 沿着 A B A 的方向运动 设 E点的运动时间为 t秒 0 t 6 连接 DE 当 BDE 是直角三角形时 t 的值为 A 2 B 2 5 或 3 5 C 3 5 或 4 5 D 2 或 3 5或 4 5 二 填空题 本题共 8小题 每小题 3分 共 24分 11 如果在比例尺为 1 1 000 000 的地图上 A B 两地的图上距离是 3 4厘米 那么 A B 两地 的实际距离是 千米 12 如图 已知 l 1 l 2 l 3 AB 6 DE 5 EF 7 5 则 AC 第 3 页 共 37 页 13 如图 ABC 与 A B C 是位似图形 且顶点都在格点上 则位似中心的坐标是 14 如图 点 G是 ABC 的重心 GH BC 垂足为点 H 若 GH 3 则点 A到 BC的距离为 15 如图 小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度 AB 他调整自己的位置 设法使 斜边 DF保持水平 并且边 DE与点 B在同一直线上 已知纸板的两条直角边 DE 40cm EF 20cm 测得边 DF离地面的高度 AC 1 5m CD 8m 则树高 AB m 16 如图 已知 ABC 中 D 为边 AC上一点 P 为边 AB上一点 AB 12 AC 8 AD 6 当 AP的长 度为 时 ADP 和 ABC 相似 第 4 页 共 37 页 17 如图 双曲线 y 经过 Rt BOC 斜边上的点 A 且满足 与 BC交于点 D S BOD 21 求 k 18 如图 在矩形纸片 ABCD中 AB 6 BC 10 点 E在 CD上 将 BCE 沿 BE折叠 点 C恰落在边 AD上的点 F处 点 G在 AF上 将 ABG 沿 BG折叠 点 A恰落在线段 BF上的点 H处 有下列结论 EBG 45 DEF ABG S ABG S FGH AG DF FG 其中正确的是 把所有正确结论的序号都选上 三 解答题 本大题共 10大题 共 76分 19 如图 在矩形 ABCD中 AB 4 BC 6 M 是 BC的中点 DE AM 于点 E 1 求证 ADE MAB 2 求 DE的长 第 5 页 共 37 页 20 如图 在 ABC 中 DE BC EF AB 若 S ADE 4cm2 S EFC 9cm2 求 S ABC 21 如图 ABC 中 CD 是边 AB上的高 且 1 求证 ACD CBD 2 求 ACB 的大小 22 已知 如图 ABC 三个顶点的坐标分别为 A 0 3 B 3 2 C 2 4 正方形 网格中 每个小正方形的边长是 1个单位长度 1 画出 ABC 向上平移 6个单位得到的 A 1B1C1 2 以点 C为位似中心 在网格中画出 A 2B2C2 使 A 2B2C2与 ABC 位似 且 A 2B2C2与 ABC 的位似比为 2 1 并直接写出点 A2的坐标 23 如图 一位同学想利用树影测量树高 AB 他在某一时刻测得高为 1m的竹竿影长为 0 9m 但当他马上测量树影时 因树靠近一幢建筑物 影子不全落在地面上 有一部分影子在墙上 CD 第 6 页 共 37 页 他先测得留在墙上的影高 CD 为 1 2m 又测得地面部分的影长 BC 为 2 7m 他测得的树高应 为多少米 24 如图 把 ABC 沿边 BA平移到 DEF 的位置 它们重叠部分 即图中阴影部分 的面积是 ABC面积的 若 AB 2 求 ABC 移动的距离 BE的长 25 如图 点 A 1 4 B 2 a 在函数 y x 0 的图象上 直线 AB与 x轴相交于点 C AD x 轴于点 D 1 m 2 求点 C的坐标 3 在 x轴上是否存在点 E 使以 A B E 为顶点的三角形与 ACD 相似 若存在 求出点 E的坐 标 若不存在 说明理由 26 如图 在平行四边形 ABCD中 对角线 AC BD 交于点 O M 为 AD中点 连接 CM交 BD于点 N 且 ON 1 1 求 BD的长 2 若 DCN 的面积为 2 求四边形 ABNM的面积 第 7 页 共 37 页 27 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 点 D为边 CB上的一个动点 点 D不与点 B 重合 过 D作 DO AB 垂足为 O 点 B 在边 AB上 且与点 B关于直线 DO对称 连接 DB AD 1 求证 DOB ACB 2 若 AD平分 CAB 求线段 BD的长 3 当 AB D 为等腰三角形时 求线段 BD的长 28 已知 如图 在矩形 ABCD中 AB 6cm BC 8cm 对角线 AC BD 交于点 0 点 P从点 A出发 沿方向匀速运动 速度为 1cm s 同时 点 Q从点 D出发 沿 DC方向匀速运动 速度为 1cm s 当 一个点停止运动时 另一个点也停止运动 连接 PO并延长 交 BC于点 E 过点 Q作 QF AC 交 BD于点 F 设运动时间为 t s 0 t 6 解答下列问题 1 当 t为何值时 AOP 是等腰三角形 2 设五边形 OECQF的面积为 S cm 2 试确定 S与 t的函数关系式 3 在运动过程中 是否存在某一时刻 t 使 S五边形 S 五边形 OECQF S ACD 9 16 若存在 求出 t的值 若不存在 请说明理由 4 在运动过程中 是否存在某一时刻 t 使 OD平分 COP 若存在 求出 t的值 若不存在 请说明理由 第 8 页 共 37 页 第 6章 图形的相似 参考答案与试题解析 一 选择题 本题共 10小题 每小题 3分 共 30分 1 若 则 的值为 A 1 B C D 考点 比例的性质 专题 计算题 分析 根据合分比性质求解 解答 解 故选 D 点评 考查了比例性质 常见比例的性质有内项之积等于外项之积 合比性质 分比性质 合分 比性质 等比性质 2 已知线段 a b c 其中 c是 a b 的比例中项 若 a 9cm b 4cm 则线段 c长 A 18cm B 5cm C 6cm D 6cm 考点 比例线段 分析 由 c是 a b 的比例中项 根据比例中项的定义 列出比例式即可得出线段 c的长 注意 线段不能为负 解答 解 根据比例中项的概念结合比例的基本性质 得 比例中项的平方等于两条线段的乘 积 所以 c2 4 9 解得 c 6 线段是正数 负值舍去 故选 C 点评 此题考查了比例线段 理解比例中项的概念 这里注意线段不能是负数 3 已知点 P是线段 AB的黄金分割点 AP PB AB 4 那么 AP的长是 第 9 页 共 37 页 A B C D 考点 黄金分割 分析 根据黄金分割点的定义 知 AP是较长线段 则 AP AB 代入数据即可得出 AP的 长 解答 解 由于 P为线段 AB 4的黄金分割点 且 AP是较长线段 则 AP 4 2 2 故选 A 点评 本题考查了黄金分割的概念 把一条线段分成两部分 使其中较长的线段为全线段与较短 线段的比例中项 这样的线段分割叫做黄金分割 他们的比值 叫做黄金比 熟记黄金 分割的公式 较短的线段 原线段的 较长的线段 原线段的 是解题的关键 4 如图 点 P在 ABC 的边 AC上 要判断 ABP ACB 添加一个条件 不正确的是 A ABP C B APB ABC C D 考点 相似三角形的判定 分析 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可 解答 解 A 当 ABP C 时 又 A A ABP ACB 故此选项错误 B 当 APB ABC 时 又 A A ABP ACB 故此选项错误 C 当 时 又 A A ABP ACB 故此选项错误 D 无法得到 ABP ACB 故此选项正确 故选 D 点评 此题主要考查了相似三角形的判定 正确把握判定方法是解题关键 5 如果两个相似三角形的面积比是 1 4 那么它们的周长比是 第 10 页 共 37 页 A 1 16 B 1 4 C 1 6 D 1 2 考点 相似三角形的性质 分析 根据相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可 解答 解 两个相似三角形的面积比是 1 4 两个相似三角形的相似比是 1 2 两个相似三角形的周长比是 1 2 故选 D 点评 本题考查的是相似三角形的性质 掌握相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积 的比等于相似比的平方是解题的关键 6 如图 在平行四边形 ABCD中 EF AB 交 AD于 E 交 BD于 F DE EA 3 4 EF 3 则 CD的长 为 A 4 B 7 C 3 D 12 考点 相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质 分析 由 EF AB 根据平行线分线段成比例定理 即可求得 则可求得 AB的长 又由 四边形 ABCD是平行四边形 根据平行四边形对边相等 即可求得 CD的长 解答 解 DE EA 3 4 DE DA 3 7 EF AB EF 3 解得 AB 7 四边形 ABCD是平行四边形 CD AB 7 故选 B 第 11 页 共 37 页 点评 此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质 此题难度不大 解题的关键是 注意数形结合思想的应用 7 如图 OAB 与 OCD 是以点 O为位似中心的位似图形 相似比为 1 2 OCD 90 CO CD 若 B 1 0 则点 C的坐标为 A 1 2 B 1 1 C D 2 1 考点 位似变换 坐标与图形性质 分析 首先利用等腰直角三角形的性质得出 A点坐标 再利用位似是特殊的相似 若两个图形 ABC和 A B C 以原点为位似中心 相似比是 k ABC 上一点的坐标是 x y 则在 A B C 中 它的对应点的坐标是 kx ky 或 kx ky 进而求出即可 解答 解 OAB OCD 90 AO AB CO CD 等腰 Rt OAB 与等腰 Rt OCD 是位似图形 点 B的坐标为 1 0 BO 1 则 AO AB A 等腰 Rt OAB 与等腰 Rt OCD 是位似图形 O 为位似中心 相似比为 1 2 点 C的坐标为 1 1 故选 B 点评 此题主要考查了位似变换的性质 正确理解位似与相似的关系 记忆关于原点位似的两个 图形对应点坐标之间的关系是解题的关键 8 如图 已知 ABC 和 ADE 均为等边三角形 D 在 BC上 DE 与 AC相交于点 F AB 9 BD 3 则 CF等于 第 12 页 共 37 页 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 相似三角形的判定与性质 等边三角形的性质 专题 几何图形问题 分析 利用两对相似三角形 线段成比例 AB BD AE EF CD CF AE EF 可得 CF 2 解答 解 如图 ABC 和 ADE 均为等边三角形 B BAC 60 E EAD 60 B E BAD EAF ABD AEF AB BD AE EF 同理 CDF EAF CD CF AE EF AB BD CD CF 即 9 3 9 3 CF CF 2 故选 B 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质 此题利用了 两角法 证得两 个三角形相似 9 如图 王华晚上由路灯 A下的 B处走到 C处时 测得影子 CD的长为 1米 继续往前走 3米到达 E处时 测得影子 EF的长为 2米 已知王华的身高是 1 5米 那么路灯 A的高度 AB等于 第 13 页 共 37 页 A 4 5 米 B 6 米 C 7 2 米 D 8 米 考点 相似三角形的应用 专题 压轴题 转化思想 分析 由于人和地面是垂直的 即和路灯到地面的垂线平行 构成两组相似 根据对应边成比例 列方程解答即可 解答 解 如图 GC BC AB BC GC AB GCD ABD 两个角对应相等的两个三角形相似 设 BC x 则 同理 得 x 3 AB 6 故选 B 点评 本题考查相似三角形性质的应用 在解答相似三角形的有关问题时 遇到有公共边的两对 相似三角形 往往会用到中介比 它是解题的桥梁 如该题中的 第 14 页 共 37 页 10 如图 Rt ABC 中 ACB 90 ABC 60 BC 2cm D 为 BC的中点 若动点 E以 1cm s的 速度从 A点出发 沿着 A B A 的方向运动 设 E点的运动时间为 t秒 0 t 6 连接 DE 当 BDE 是直角三角形时 t 的值为 A 2 B 2 5 或 3 5 C 3 5 或 4 5 D 2 或 3 5或 4 5 考点 相似三角形的判定与性质 含 30度角的直角三角形 专题 压轴题 动点型 分析 由 Rt ABC 中 ACB 90 ABC 60 BC 2cm 可求得 AB的长 由 D为 BC的中点 可求得 BD的长 然后分别从若 DEB 90 与若 EDB 90 时 去分析求解即可求得答案 解答 解 Rt ABC 中 ACB 90 ABC 60 BC 2cm AB 2BC 4 cm BC 2cm D 为 BC的中点 动点 E以 1cm s的速度从 A点出发 BD BC 1 cm BE AB AE 4 t cm 若 BED 90 当 A B 时 ABC 60 BDE 30 BE BD cm t 3 5 当 B A 时 t 4 0 5 4 5 若 BDE 90 时 当 A B 时 ABC 60 BED 30 BE 2BD 2 cm t 4 2 2 当 B A 时 t 4 2 6 舍去 第 15 页 共 37 页 综上可得 t 的值为 2或 3 5或 4 5 故选 D 点评 此题考查了含 30 角的直角三角形的性质 此题属于动点问题 难度适中 注意掌握分 类讨论思想与数形结合思想的应用 二 填空题 本题共 8小题 每小题 3分 共 24分 11 如果在比例尺为 1 1 000 000 的地图上 A B 两地的图上距离是 3 4厘米 那么 A B 两地 的实际距离是 34 千米 考点 比例线段 专题 计算题 分析 实际距离 图上距离 比例尺 根据题意代入数据可直接得出实际距离 解答 解 根据题意 3 4 3400000厘米 34 千米 即实际距离是 34千米 故答案为 34 点评 本题考查了比例线段的知识 注意掌握比例线段的定义及比例尺 并能够灵活运用 同时 要注意单位的转换 12 如图 已知 l 1 l 2 l 3 AB 6 DE 5 EF 7 5 则 AC 15 考点 平行线分线段成比例 第 16 页 共 37 页 分析 根据平行线分线段成比例定理得出比例式 代入求出 BC的值 即可得出答案 解答 解 l 1 l 2 l 3 AB 6 DE 5 EF 7 5 BC 9 AC AB BC 15 故答案为 15 点评 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用 能根据定理得出正确饿比例式是解此题的关 键 13 如图 ABC 与 A B C 是位似图形 且顶点都在格点上 则位似中心的坐标是 9 0 考点 位似变换 专题 网格型 分析 位似图形的主要特征是 每对位似对应点与位似中心共线 解答 解 直线 AA 与直线 BB 的交点坐标为 9 0 所以位似中心的坐标为 9 0 点评 本题考查位似中心的找法 各对应点所在直线的交点即为位似中心 14 如图 点 G是 ABC 的重心 GH BC 垂足为点 H 若 GH 3 则点 A到 BC的距离为 9 第 17 页 共 37 页 考点 平行线分线段成比例 三角形的重心 专题 数形结合 分析 根据题意作图 利用重心的性质 AD GD 3 1 同时还可以求出 ADE GDH 从而得出 AD GD AE GH 3 1 根据 GH 3即可得出答案 解答 解 设 BC的中线是 AD BC 的高是 AE 由重心性质可知 AD GD 3 1 GH BC ADE GDH AD GD AE GH 3 1 AE 3GH 3 3 9 故答案为 9 点评 本题主要考查了作辅助线 重心的特点 全等三角形的性质 难度适中 15 如图 小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度 AB 他调整自己的位置 设法使 斜边 DF保持水平 并且边 DE与点 B在同一直线上 已知纸板的两条直角边 DE 40cm EF 20cm 测得边 DF离地面的高度 AC 1 5m CD 8m 则树高 AB 5 5 m 考点 相似三角形的应用 分析 利用直角三角形 DEF和直角三角形 BCD相似求得 BC的长后加上小明同学的身高即可求得 树高 AB 解答 解 DEF BCD 90 D D 第 18 页 共 37 页 DEF DCB DE 40cm 0 4m EF 20cm 0 2m AC 1 5m CD 8m BC 4 米 AB AC BC 1 5 4 5 5 米 故答案为 5 5 点评 本题考查了相似三角形的应用 解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型 16 如图 已知 ABC 中 D 为边 AC上一点 P 为边 AB上一点 AB 12 AC 8 AD 6 当 AP的长 度为 4 或 9 时 ADP 和 ABC 相似 考点 相似三角形的判定 分析 分别根据当 ADP ACB 时 当 ADP ABC 时 求出 AP的长即可 解答 解 当 ADP ACB 时 解得 AP 9 当 ADP ABC 时 解得 AP 4 当 AP的长度为 4或 9时 ADP 和 ABC 相似 故答案为 4 或 9 点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质 利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键 第 19 页 共 37 页 17 如图 双曲线 y 经过 Rt BOC 斜边上的点 A 且满足 与 BC交于点 D S BOD 21 求 k 8 考点 反比例函数系数 k的几何意义 相似三角形的判定与性质 分析 过 A作 AE x 轴于点 E 根据反比例函数的比例系数 k的几何意义可得 S 四边形 AECB S BOD 根据 OAE OBC 相似三角形面积的比等于相似比的平方 据此即可求得 OAE 的面积 从 而求得 k的值 解答 解 过 A作 AE x 轴于点 E S OAE S OCD S 四边形 AECB S BOD 21 AE BC OAE OBC 2 S OAE 4 则 k 8 故答案是 8 点评 本题考查反比例函数系数 k的几何意义 过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线 与坐标轴围成的矩形面积就等于 k 本知识点是中考的重要考点 同学们应高度关注 第 20 页 共 37 页 18 如图 在矩形纸片 ABCD中 AB 6 BC 10 点 E在 CD上 将 BCE 沿 BE折叠 点 C恰落在边 AD上的点 F处 点 G在 AF上 将 ABG 沿 BG折叠 点 A恰落在线段 BF上的点 H处 有下列结论 EBG 45 DEF ABG S ABG S FGH AG DF FG 其中正确的是 把所有正确结论的序号都选上 考点 相似形综合题 专题 综合题 分析 由折叠性质得 1 2 CE FE BF BC 10 则在 Rt ABF 中利用勾股定理可计算出 AF 8 所以 DF AD AF 2 设 EF x 则 CE x DE CD CE 6 x 在 Rt DEF 中利用勾股定理得 6 x 2 22 x2 解得 x 即 ED 再利用折叠性质得 3 4 BH BA 6 AG HG 易得 2 3 45 于是可对 进行判断 设 AG y 则 GH y GF 8 y 在 Rt HGF 中利用勾股定理得 到 y2 42 8 y 2 解得 y 3 则 AG GH 3 GF 5 由于 A D 和 可判断 ABG 与 DEF不相似 则可对 进行判断 根据三角形面积公式可对 进行判断 利用 AG 3 GF 5 DF 2 可对 进行判断 解答 解 BCE 沿 BE折叠 点 C恰落在边 AD上的点 F处 1 2 CE FE BF BC 10 在 Rt ABF 中 AB 6 BF 10 AF 8 DF AD AF 10 8 2 设 EF x 则 CE x DE CD CE 6 x 在 Rt DEF 中 DE 2 DF2 EF2 6 x 2 22 x2 解得 x 第 21 页 共 37 页 ED ABG 沿 BG折叠 点 A恰落在线段 BF上的点 H处 3 4 BH BA 6 AG HG 2 3 ABC 45 所以 正确 HF BF BH 10 6 4 设 AG y 则 GH y GF 8 y 在 Rt HGF 中 GH 2 HF2 GF2 y 2 42 8 y 2 解得 y 3 AG GH 3 GF 5 A D ABG 与 DEF 不相似 所以 错误 S ABG 6 3 9 S FGH GH HF 3 4 6 S ABG S FGH 所以 正确 AG DF 3 2 5 而 GF 5 AG DF GF 所以 正确 故答案为 点评 本题考查了相似形综合题 熟练掌握折叠和矩形的性质 相似三角形的判定方法 会运用 勾股定理计算线段的长 三 解答题 本大题共 10大题 共 76分 19 如图 在矩形 ABCD中 AB 4 BC 6 M 是 BC的中点 DE AM 于点 E 1 求证 ADE MAB 第 22 页 共 37 页 2 求 DE的长 考点 相似三角形的判定与性质 矩形的性质 分析 1 先根据矩形的性质 得到 AD BC 则 DAE AMB 又由 DEA B 根据有两角对 应相等的两三角形相似 即可证明出 DAE AMB 2 由 DAE AMB 根据相似三角形的对应边成比例 即可求出 DE的长 解答 1 证明 四边形 ABCD是矩形 AD BC DAE AMB 又 DEA B 90 DAE AMB 2 由 1 知 DAE AMB DE AD AB AM M 是边 BC的中点 BC 6 BM 3 又 AB 4 B 90 AM 5 DE 6 4 5 DE 点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质 矩形的性质 1 中根据矩形的对边平行进 而得出 DAE AMB 是解题的关键 20 如图 在 ABC 中 DE BC EF AB 若 S ADE 4cm2 S EFC 9cm2 求 S ABC 第 23 页 共 37 页 考点 相似三角形的判定与性质 分析 首先求出 ADE ECF 得出 S ADE S ECF AE EC 2 进而得出 AE EC 2 3 在得 出 S ABC S ADE 5 2 2 求出答案即可 解答 解 DE BC EF AB A FEC AED C ADE ECF S ADE S ECF AE EC 2 S ADE 4cm2 S EFC 9cm2 AE EC 2 4 9 AE EC 2 3 即 EC AE 3 2 EC AE AE 5 2 即 AC AE 5 2 DE BC C AED 又 A A ABC ADE S ABC S ADE AC AE 2 S ABC 4 5 2 2 S ABC 25cm2 点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质 根据已知得出 S ABC S ADE AC AE 2进而 求出是解题关键 21 如图 ABC 中 CD 是边 AB上的高 且 1 求证 ACD CBD 第 24 页 共 37 页 2 求 ACB 的大小 考点 相似三角形的判定与性质 分析 1 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 即可证明 ACD CBD 2 由 1 知 ACD CBD 然后根据相似三角形的对应角相等可得 A BCD 然后由 A ACD 90 可得 BCD ACD 90 即 ACB 90 解答 1 证明 CD 是边 AB上的高 ADC CDB 90 ACD CBD 2 解 ACD CBD A BCD 在 ACD 中 ADC 90 A ACD 90 BCD ACD 90 即 ACB 90 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 解题的关键是 熟记相似三角形的判定定理与性质 定理 22 已知 如图 ABC 三个顶点的坐标分别为 A 0 3 B 3 2 C 2 4 正方形 网格中 每个小正方形的边长是 1个单位长度 1 画出 ABC 向上平移 6个单位得到的 A 1B1C1 2 以点 C为位似中心 在网格中画出 A 2B2C2 使 A 2B2C2与 ABC 位似 且 A 2B2C2与 ABC 的位似比为 2 1 并直接写出点 A2的坐标 第 25 页 共 37 页 考点 作图 位似变换 作图 平移变换 分析 1 直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案 2 利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出 解答 解 1 如图所示 A 1B1C1 即为所求 2 如图所示 A 2B2C2 即为所求 A 2坐标 2 2 点评 此题主要考查了位似变换和平移变换 根据题意正确得出对应点位置是解题关键 23 如图 一位同学想利用树影测量树高 AB 他在某一时刻测得高为 1m的竹竿影长为 0 9m 但当他马上测量树影时 因树靠近一幢建筑物 影子不全落在地面上 有一部分影子在墙上 CD 他先测得留在墙上的影高 CD 为 1 2m 又测得地面部分的影长 BC 为 2 7m 他测得的树高应 为多少米 第 26 页 共 37 页 考点 相似三角形的应用 分析 先求出墙上的影高 CD落在地面上时的长度 再设树高为 h 根据同一时刻物高与影长成 正比列出关系式求出 h的值即可 解答 解 过 D作 DE BC 交 AB于点 E 设墙上的影高 CD落在地面上时的长度为 xm 树高为 hm 某一时刻测得长为 1m的竹竿影长为 0 9m 墙上的影高 CD为 1 2m 解得 x 1 08 m 树的影长为 1 08 2 7 3 78 m 解得 h 4 2 m 答 测得的树高为 4 2米 点评 本题考查的是相似三角形的应用 解答此题的关键是正确求出树的影长 这是此题的易错 点 24 如图 把 ABC 沿边 BA平移到 DEF 的位置 它们重叠部分 即图中阴影部分 的面积是 ABC面积的 若 AB 2 求 ABC 移动的距离 BE的长 第 27 页 共 37 页 考点 平移的性质 分析 根据平移的性质得到 EF AC 证得 BEG BAC 由相似三角形的性质得到 即可得到结论 解答 解 把 ABC 沿边 BA平移到 DEF 的位置 EF AC BEG BAC AB 2 BE 点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质 平移的性质 关键在于求证 ABC 与阴影部分为 相似三角形 25 如图 点 A 1 4 B 2 a 在函数 y x 0 的图象上 直线 AB与 x轴相交于点 C AD x 轴于点 D 1 m 4 2 求点 C的坐标 3 在 x轴上是否存在点 E 使以 A B E 为顶点的三角形与 ACD 相似 若存在 求出点 E的坐 标 若不存在 说明理由 第 28 页 共 37 页 考点 反比例函数综合题 分析 1 有点 A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征 即可得出 m的值 2 由反比例函数的解析式结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点 B的坐标 利用待定 系数法即可求出直线 AB的解析式 再领 y 0求出 x值即可得出点 C的坐标 3 假设存在 设点 E的坐标为 n 0 分 ABE 90 BAE 90 以及 AEB 90 三种情况 考虑 当 ABE 90 时 根据等腰三角形的性质 利用勾股定理即可找出关于 n的一元二次方程 解方程即可得出结论 当 BAE 90 时 根据 ABE ACD 可得出两三角形不可能相似 当 AEB 90 时 根据 A B 的坐标可得出 AB的长度 以 AB为直径作圆可知圆与 x轴无交点 故该 情况不存在 综上即可得出结论 解答 解 1 点 A 1 4 在反比例函数 y x 0 的图象上 m 1 4 4 故答案为 4 2 点 B 2 a 在反比例函数 y 的图象上 a 2 B 2 2 设过点 A B 的直线的解析式为 y kx b 解得 过点 A B 的直线的解析式为 y 2x 6 当 y 0时 有 2x 6 0 解得 x 3 点 C的坐标为 3 0 3 假设存在 设点 E的坐标为 n 0 当 ABE 90 时 如图 1所示 A 1 4 B 2 2 C 3 0 第 29 页 共 37 页 B 是 AC的中点 EB 垂直平分 AC EA EC n 3 由勾股定理得 AD 2 DE2 AE2 即 42 x 1 2 x 3 2 解得 x 2 此时点 E的坐标为 2 0 当 BAE 90 时 ABE ACD 故 EBA 与 ACD 不可能相似 当 AEB 90 时 A 1 4 B 2 2 AB 2 以 AB为直径作圆与 x轴无交点 如图 3 不存在 AEB 90 综上可知 在 x轴上存在点 E 使以 A B E 为顶点的三角形与 ACD 相似 点 E的坐标为 2 0 第 30 页 共 37 页 点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征 一次函数图象上点的坐标特征 待定系数法 求函数解析式以及勾股定理 解题的关键是 1 利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 m值 2 根据待定系数法求出直线 AB的解析式 3 分 ABE 90 BAE 90 以及 AEB 90 三 种情况考虑 本题属于中档题 难度不大 解决该题型题目时 根据点的坐标利用待定系数法求出 函数解析式是关键 26 如图 在平行四边形 ABCD中 对角线 AC BD 交于点 O M 为 AD中点 连接 CM交 BD于点 N 且 ON 1 1 求 BD的长 2 若 DCN 的面积为 2 求四边形 ABNM的面积 考点 相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质 专题 几何综合题 分析 1 由四边形 ABCD为平行四边形 得到对边平行且相等 且对角线互相平分 根据两直 线平行内错角相等得到两对角相等 进而确定出三角形 MND与三角形 CNB相似 由相似得比例 得 到 DN BN 1 2 设 OB OD x 表示出 BN与 DN 求出 x的值 即可确定出 BD的长 2 由相似三角形相似比为 1 2 得到 CN 2MN BN 2DN 已知 DCN 的面积 则由线段之比 得 到 MND 与 CNB 的面积 从而得到 S ABD S BCD S BCN S CND 最后由 S 四边形 ABNM S ABD S MND 求解 解答 解 1 平行四边形 ABCD AD BC AD BC OB OD DMN BCN MDN NBC MND CNB M 为 AD中点 MD AD BC 即 即 BN 2DN 第 31 页 共 37 页 设 OB OD x 则有 BD 2x BN OB ON x 1 DN x 1 x 1 2 x 1 解得 x 3 BD 2x 6 2 MND CNB 且相似比为 1 2 MN CN DN BN 1 2 S MND S CND 1 S BNC 2S CND 4 S ABD S BCD S BCN S CND 4 2 6 S 四边形 ABNM S ABD S MND 6 1 5 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关 键 27 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 点 D为边 CB上的一个动点 点 D不与点 B 重合 过 D作 DO AB 垂足为 O 点 B 在边 AB上 且与点 B关于直线 DO对称 连接 DB AD 1 求证 DOB ACB 2 若 AD平分 CAB 求线段 BD的长 3 当 AB D 为等腰三角形时 求线段 BD的长 考点 相似形综合题 分析 1 由 DOB ACB 90 B B 容易证明 DOB ACB 2 先由勾股定理求出 AB 由角平分线的性质得出 DC DO 再由 HL证明 Rt ACD Rt AOD 得 出 AC AO 设 BD x 则 DC DO 8 x 由勾股定理得出方程 解方程即可 第 32 页 共 37 页 3 根据题意得出当 AB D 为等腰三角形时 AB DB 由 DOB ACB 得出 设 BD 5x 则 AB DB 5x BO B O 4x 由 AB B O BO AB 得出方程 解方 程求出 x 即可得出 BD 解答 1 证明 DO AB DOB DOA 90 DOB ACB 90 又 B B DOB ACB 2 解 ACB 90 AB 10 AD 平分 CAB DC AC DO AB DC DO 在 Rt ACD 和 Rt AOD 中 Rt ACD Rt AOD HL AC AO 6 设 BD x 则 DC DO 8 x OB AB AO 4 在 Rt BOD 中 根据勾股定理得 DO 2 OB2 BD2 即 8 x 2 42 x2 解得 x 5 BD 的长为 5 3 解 点 B 与点 B关于直线 DO对称 B OB D BO B O BD B D B 为锐角 OB D 也为锐角 AB D 为钝角 当 AB D 为等腰三角形时 AB DB DOB ACB 第 33 页 共 37 页 设 BD 5x 则 AB DB 5x BO B O 4x AB B O BO AB 5x 4x 4x 10 解得 x BD 点评 本题是相似形综合题目 考查了相似三角形的判定与性质 勾股定理 全等三角形的判定 与性质 角平分线的性质等知识 本题难度较大 综合性强 特别是 2 3 中 需要根据题意 列出方程 解方程才能得出结果 28 2016 青岛 已知 如图 在矩形 ABCD中 AB 6cm BC 8cm 对角线 AC BD 交于点 0 点 P从点 A出发 沿方向匀速运动 速度为 1cm s 同时 点 Q从点 D出发 沿 DC方向匀速运动 速 度为 1cm s 当一个点停止运动时 另一个点也停止运动 连接 PO并延长 交 BC于点 E 过点 Q 作 QF AC 交 BD于点 F 设运动时间为 t s 0 t 6 解答下列问题 1 当 t为何值时 AOP 是等腰三角形 2 设五边形 OECQF的面积为 S cm 2 试确定 S与 t的函数关系式 3 在运动过程中 是否存在某一时刻 t 使 S五边形 S 五边形 OECQF S ACD 9 16 若存在 求出 t的值 若不存在 请说明理由 4 在运动过程中 是否存在某一时刻 t 使 OD平分 COP 若存在 求出 t的值 若不存在 请说明理由 考点 四边形综合题 分析 1 根据矩形的性质和勾股定理得到 AC 10 当 AP PO t 如图 1 过 P作 PM AO 根 据相似三角形的性质得到 AP t 当 AP AO t 5 于是得到结论 第 34 页 共 37 页 2 过点 O作 OH BC 交 BC于点 H 已知 BE PD 则可求 BOE 的面积 可证得 DFQ DOC 由 相似三角形的面积比可求得 DFQ 的面积 从而可求五边形 OECQF的面积 3 根据题意列方程得到 t t 0 不合题意 舍去 于是得到结论 4 由角平分线的性质得到 DM DN 根据勾股定理得到 ON OM 由三角形的面积公式得到 OP 5 t 根据勾股定理列 方程即可得到结论 解答 解 1 在矩形 ABCD中 AB 6cm BC 8cm AC 10 当 AP PO t 如图 1 过 P作 PM AO AM AO PMA ADC 90 PAM CAD APM ADC AP t 当 AP AO t 5 当 t为 或 5时 AOP 是等腰三角形 2 过点 O作 OH BC 交 BC于点 H 则 OH CD AB 3cm 由矩形的性质可知 PDO EBO DO BO 又得 DOP BOE DOP BOE BE PD 8 t 则 S BOE BE OH 3 8 t 12 t FQ AC DFQ DOC 相似比为 第 35 页 共 37 页 S DOC S 矩形 ABCD 6 8 12cm2 S DFQ 12 S 五边形 OECQF S DBC S BOE S DFQ 6 8 12 t t2 t 12 S 与 t的函数关系式为 S t2 t 12 3 存在 S ACD 6 8 24 S 五边形 OECQF S ACD t2 t 12 24 9 16 解得 t 3 或 t t 3 或 时 S 五边形 S 五边形 OECQF S ACD 9 16 4 如图 3 过 D作 DM PE 于 M DN AC 于 N POD COD DM DN ON OM OP DM 3PD OP 5 t PM t PD 2 PM2 DM2 8 t 2 t 2 2 解得 t 15 不合题意 舍去 t 第 36 页 共 37 页 当 t 时 OD 平分 COP 点评 本题考查了矩形的性质 角平分线的性质 相似三角形的判定和性质 图形面积的计算 全等三角形的判定和性质 正确的识别图形是解题的关键 第 37 页 共 37 页