复变函数测试题及答案

复变函数测验题 1 第一章 复数与复变函数 一 选择题 1 当 时 的值等于 iz 50710zz A B C D i 11 2 设复数 满足 那么 z3 2 zarc65 2 zarcz A B C D i31 i i31 i213 3 复数 的三角表示式是 2 tan iz A B si cose 23sin 23 cos e C D 23in 23 i 4 若 为非零复数 则 与 的关系是 zz A B 2 zz22 C D 不能比较大小zz 设 为实数 且有 则动点yx yixzyix 1 121 121z 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 一个向量顺时针旋转 向右平移 个单位 再向下平移 个单位后对应的复数为3 则原向量对应的复数是 i31 复变函数测验题 2 A B C D 2i31 i 3i 3 使得 成立的复数 是 2z z A 不存在的 B 唯一的 C 纯虚数 D 实数 设 为复数 则方程 的解是 i 2 A B C D i 43i43i 43i 43 满足不等式 的所有点 构成的集合是 2 izz A 有界区域 B 无界区域 C 有界闭区域 D 无界闭区域 10 方程 所代表的曲线是 3 i A 中心为 半径为 的圆周 B 中心为 半径为 的圆周22i32 C 中心为 半径为 的圆周 D 中心为 半径为 的圆周i 11 下列方程所表示的曲线中 不是圆周的为 A B 21 z 43 z C D a 0 caz 12 设 则 5 32 1 2iizf 21zf A B C D i444i4 13 0 Im l0zx A 等于 B 等于 C 等于 D 不存在ii 0 14 函数 在点 处连续的充要条件是 yxvuf 0iyxz A 在 处连续 B 在 处连续 yx0 v 0 复变函数测验题 3 C 和 在 处连续 D 在 处连续 yxu v 0yx yxvu 0 15 设 且 则函数 的最小值为 z 1 zf1 2 A B C D 3 1 二 填空题 1 设 则 2 3 iiz z 2 设 则 iarg 3 设 则 43 arg 5 izzz 4 复数 的指数表示式为 2 sin co 5 以方程 的根的对应点为顶点的多边形的面积为 z1576 不等式 所表示的区域是曲线 的内部2 方程 所表示曲线的直角坐标方程为 1 2 zi 方程 所表示的曲线是连续点 和 的线段i 2 的垂直平分线 对于映射 圆周 的像曲线为 zi 1 22 yx 10 1 lim42z 三 若复数 满足 试求 的取值范围 0 21 zizi 2 z 复变函数测验题 4 四 设 在复数集 中解方程 0 aCaz 2 五 设复数 试证 是实数的充要条件为 或 iz 21z1z0 zIM 六 对于映射 求出圆周 的像 2z 4 z 七 试证 的充要条件为 0 221 z 2121zz 的充要条件为 21 njkzj nnzz 211 八 若 则存在 使得当 时有 0 lim0 Azfx 0 0zAzf21 九 设 试证 iyz yxzyx 2 十 设 试讨论下列函数的连续性 ixz 1 0 2 zyf 复变函数测验题 5 2 0 23zyxzf 第二章 解析函数 一 选择题 1 函数 在点 处是 23 zf 0 A 解析的 B 可导的 C 不可导的 D 既不解析也不可导 2 函数 在点 可导是 在点 解析的 zf zf A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件也非必要条件 3 下列命题中 正确的是 A 设 为实数 则yx 1 cos iyx B 若 是函数 的奇点 则 在点 不可导0z zfzf0 C 若 在区域 内满足柯西 黎曼方程 则 在 内解析vu Divuzf D D 若 在区域 内解析 则 在 内也解析 zf zifD 4 下列函数中 为解析函数的是 A B xyi22 xyi 2 C D 2 1 x 3 5 函数 在 处的导数 Im2zzf 0 A 等于 0 B 等于 1 C 等于 D 不存在1 6 若函数 在复平面内处处解析 那么实常 222 xayiyx 数 a A B C D 2 7 如果 在单位圆 内处处为零 且 那么在 内 zf 1 z1 0 f1 z zf 复变函数测验题 6 A B C D 任意常数011 8 设函数 在区域 内有定义 则下列命题中 正确的是 zfD A 若 在 内是一常数 则 在 内是一常数 zf B 若 在 内是一常数 则 在 内是一常数 Rezf C 若 与 在 内解析 则 在 内是一常数D zfD D 若 在 内是一常数 则 在 内是一常数 argzf 9 设 则 2 iyxzf 1i A B C D i 1i2 10 的主值为 i A B C D 012 e2 e 11 在复平面上 ze A 无可导点 B 有可导点 但不解析 C 有可导点 且在可导点集上解析 D 处处解析 12 设 则下列命题中 不正确的是 zfsin A 在复平面上处处解析 B 以 为周期 zf 2 C D 是无界的2 izizef 13 设 为任意实数 则 1 A 无定义 B 等于 1 C 是复数 其实部等于 1 D 是复数 其模等于 1 14 下列数中 为实数的是 A B C D 31i icosilnie23 15 设 是复数 则 A 在复平面上处处解析 B 的模为z z 复变函数测验题 7 C 一般是多值函数 D 的辐角为 的辐角的 倍 z zz 二 填空题 1 设 则 iff 1 0 zfz1 lm0 2 设 在区域 内是解析的 如果 是实常数 那么 在 内是 ivuzDvu zfD 3 导函数 在区域 内解析的充要条件为 xif 4 设 则 23 yizf 23 if 5 若解析函数 的实部 那么 ivu yx zf 6 函数 仅在点 处可导 Re Im zzf 7 设 则方程 的所有根为 i15 0 zf 8 复数 的模为 i 9 43Im ln 10 方程 的全部解为 01 ze 三 设 为 的解析函数 若记 yxivuzf iyz 则 2 2 iizw 0 zw 四 试证下列函数在 平面上解析 并分别求出其导数z 1 sinhcosh yxyxzf 复变函数测验题 8 2 sinco sinco yxyeyxezf x 五 设 求 03 zw2 dzw 六 设 试证 在原点满足柯西 黎曼方程 但却不可导 0 0 42zyxizf zf 七 已知 试确定解析函数 2yxvu ivuzf 八 设 和 为平面向量 将 按逆时针方向旋转 即得 如果 为解析函数 s ns 2 n ivuzf 则有 与 分别表示沿 的方向导数 svuvs ns 九 若函数 在上半平面内解析 试证函数 在下半平面内解析 zf zf 十 解方程 izi4cossn 复变函数测验题 9 第三章 复变函数的积分 一 选择题 1 设 为从原点沿 至 的弧段 则 cxy 2i 1 cdziyx 2 A B C D i65 i65 i651 i651 2 设 为不经过点 与 的正向简单闭曲线 则 为 c1 dzzc 2 A B C D A B C 都有可能i 2i 0 3 设 为负向 正向 则 1 zc3 2 zc dzc21sin A B C D i 0i i 4 4 设 为正向圆周 则 cz dzc2 1 os A B C D 1sinin1sin 1sin2 5 设 为正向圆周 则 c2 z dz zc23 1 os A B C D sin1o3 i 01cos6i 1sin2 6 设 其中 则 dzezf 4 4 z if A B C D i 2 1 21 7 设 在单连通域 内处处解析且不为零 为 内任何一条简单闭曲线 则积分 zf cB 复变函数测验题 10 dzzfc 2 A 于 B 等于 C 等于 D 不能确定i i 2 0 8 设 是从 到 的直线段 则积分 c021 czde A B C D e 21 i21 ie21 9 设 为正向圆周 则 c02 xy dzc1 4sin 2 A B C D i 2i 0i 2 10 设 为正向圆周 则 ciaiz 1 cdzi2 os A B C D ie 2ei 20icos 11 设 在区域 内解析 为 内任一条正向简单闭曲线 它的内部全属于 如果 zfDc 在 上的值为 2 那么对 内任一点 c0zf A 等于 0 B 等于 1 C 等于 2 D 不能确定 12 下列命题中 不正确的是 A 积分 的值与半径 的大小无关 razdz1 0 r B 其中 为连接 到 的线段2 2 ciyxci C 若在区域 内有 则在 内 存在且解析 D zgf D zg 复变函数测验题 11 D 若 在 内解析 且沿任何圆周 的积分等于零 则 zf10 10 rzc 在 处解析 13 设 为任意实常数 那么由调和函数 确定的解析函数 是 c 2yxu ivuzf A B C D iz 2 icz 2cz c2 14 下列命题中 正确的是 A 设 在区域 内均为 的共轭调和函数 则必有21 vDu21v B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 C 若 在区域 内解析 则 为 内的调和函数izf x D D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 15 设 在区域 内为 的共轭调和函数 则下列函数中为 内解析函数的是 yxv yxu A B i yxiuv C D yxivu i 二 填空题 1 设 为沿原点 到点 的直线段 则 c0 zi 1 cdz2 2 设 为正向圆周 则 4 cz2 4 3 3 设 其中 则 2 sin dzzf z 3 f 4 设 为正向圆周 则 cz c3 复变函数测验题 12 5 设 为负向圆周 则 c4 z c zdie5 6 解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7 设 在单连通域 内连续 且对于 内任何一条简单闭曲线 都有 zfBBc0 dzf 那么 在 内 8 调和函数 的共轭调和函数为 xy 9 若函数 为某一解析函数的虚部 则常数 23au a 10 设 的共轭调和函数为 那么 的共轭调和函数为 y yv yxv 三 计算积分 1 其中 且 Rzdz 2 162 1 0 R2 2 224z 四 设 在单连通域 内解析 且满足 试证 zfB 1 Bxzf 在 内处处有 0 zf 对于 内任意一条闭曲线 都有c0 cdzf 五 设 在圆域 内解析 若 zfRa 0 maxRrMzfrz 则 21 nrMan 复变函数测验题 13 六 求积分 从而证明 1zde 0cos inde 七 设 在复平面上处处解析且有界 对于任意给定的两个复数 试求极限 zf ba 并由此推证 刘维尔 Liouville 定理 Rzdzba lim bfa 八 设 在 内解析 且 试计算积分 zf 1 2 0 1 ff 并由此得出 之值 12zd 20cosdei 九 设 是 的解析函数 证明ivuzf z 222 2 14 1ln1lnzfyfx 十 若 试求解析函数 2yxu ivuzf 复变函数测验题 14 第四章 级 数 一 选择题 1 设 则 21 4 1 nian na lim A 等于 B 等于 C 等于 D 不存在0i 2 下列级数中 条件收敛的级数为 A B 1 23 nni 1 43 nni C D 1ni 1 ni 3 下列级数中 绝对收敛的级数为 B B 1 ni 1 2 nni C D 2lni 1 ni 4 若幂级数 在 处收敛 那么该级数在 处的敛散性为 0nzci21 2z A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 不能确定 5 设幂级数 和 的收敛半径分别为 则 010 nnzcz 01nnzc 321 R 之间的关系是 321 R A B 321 321R C D R 6 设 则幂级数 的收敛半径 10q 02nzq 复变函数测验题 15 A B C D qq10 7 幂级数 的收敛半径 1 2 sinnz R A B C D 2 8 幂级数 在 内的和函数为 01 nnz A B l 1ln z D D z 1l l 9 设函数 的泰勒展开式为 那么幂级数 的收敛半径 ecos 0nzc 0nzc R A B C D 12 10 级数 的收敛域是 221zz A B C D 不存在的 10 z1 11 函数 在 处的泰勒展开式为 21z A B 1 11 zn 1 1 1 zznn C D 11 zn 11 n 复变函数测验题 16 12 函数 在 处的泰勒展开式为 zsin2 A 2 1 01 znn B 2 0 znn C 2 1 01 znn D 2 0 znn 13 设 在圆环域 内的洛朗展开式为 为 内f 201 RzH nnzc 0cH 绕 的任一条正向简单闭曲线 那么 0z cdzf20 A B C D 12 ic 12i 2ic 20zfi 14 若 则双边幂级数 的收敛域为 4 3n n n A B 31 z 43 z C D 4 1 15 设函数 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有 个 那么 4 1 zzf m m A 1 B 2 C 3 D 4 复变函数测验题 17 二 填空题 1 若幂级数 在 处发散 那么该级数在 处的收敛性为 0 nnizci 2 z 2 设幂级数 与 的收敛半径分别为 和 那么 与 之间的关 0nzc 0 Re nnzc1R212R 系是 3 幂级数 的收敛半径 012 nnzi 4 设 在区域 内解析 为内的一点 为 到 的边界上各点的最短距离 那么fD0zd0zD 当 时 成立 其中 dz 0 00 nnczf nc 5 函数 在 处的泰勒展开式为 arct 6 设幂级数 的收敛半径为 那么幂级数 的收敛半径为 0nzR 0 12 nnzc 7 双边幂级数 的收敛域为 112 2 nnnzz 8 函数 在 内洛朗展开式为 ze 0 9 设函数 在原点的去心邻域 内的洛朗展开式为 那么该洛朗级数cot Rz 0 nzc 收敛域的外半径 R 10 函数 在 内的洛朗展开式为 1iz iz 复变函数测验题 18 三 若函数 在 处的泰勒展开式为 则称 为菲波那契 Fibonacci 21z 0 0nza n 数列 试确定 满足的递推关系式 并明确给出 的表达式 na 四 试证明 1 1 zeezz 2 1 3 z 五 设函数 在圆域 内解析 试证 zfR nkkzfS0 1 21 1 1 RrdzfiSnrnn 2 1 1zfizzfrnn 六 设幂级数 的和函数 并计算 之值 12nz 12n 复变函数测验题 19 七 设 则对任意的 在 2010 RzbzgRzazf nn 0 1Rr 内 2rR rn dfib 20 八 设在 内解析的函数 有泰勒展开式Rz zf nzazazf210 试证当 时 r 0 022021nni radre 九 将函数 在 内展开成洛朗级数 1 2ln z10 z 十 试证在 内下列展开式成立 z0 其中 101 nnzce 210 cos102 ndec 复变函数测验题 20 第五章 留 数 一 选择题 1 函数 在 内的奇点个数为 32cot z2 i A 1 B 2 C 3 D 4 2 设函数 与 分别以 为本性奇点与 级极点 则 为函数 fzgamaz zgf 的 A 可去奇点 B 本性奇点 C 级极点 D 小于 级的极点m 3 设 为函数 的 级极点 那么 0 zze xsin142 A 5 B 4 C 3 D 2 4 是函数 的 1z1si z A 可去奇点 B 一级极点 C 一级零点 D 本性奇点 5 是函数 的 z2 3z A 可去奇点 B 一级极点 C 二级极点 D 本性奇点 6 设 在 内解析 为正整数 那么 0 nzafR k 0 Rekzfs A B C D kk 1 ka1 ka 7 设 为解析函数 的 级零点 那么 ezfs az zfm A B C D m 1 1 m 8 在下列函数中 的是 0 Re zfs 复变函数测验题 21 A B 21 zef zzf1sin C D fcosin efz 9 下列命题中 正确的是 A 设 在 点解析 为自然数 则 为 的 0zzfm 0zm0z f 级极点 B 如果无穷远点 是函数 的可去奇点 那么 f Re fs C 若 为偶函数 的一个孤立奇点 则0 zz 0z D 若 则 在 内无奇点 cdf fc 10 2os Re3zi A B C D 3i32i32 11 e 12izs A B C D 6i 65i 61i 65 12 下列命题中 不正确的是 A 若 是 的可去奇点或解析点 则 0 z zf 0 Re zfs B 若 与 在 解析 为 的一级零点 则 PQ00z Q 00zQP C 若 为 的 级极点 为自然数 则0z fmn li 1 Re 1000 zfzdnfsnx 复变函数测验题 22 D 如果无穷远点 为 的一级极点 则 为 的一级极点 并且 zf0 z 1 zf 1 lim Re0zfzfsz 13 设 为正整数 则 n 2zndz A B C D 0i ni 2in 2 14 积分 2310 9zdz A B C D i 2105i 15 积分 12sinzdz A B C D 061 3i i 二 填空题 1 设 为函数 的 级零点 那么 0 z33sinz m 2 函数 在其孤立奇点 处的留数zf1cos 210 2 kk Rekzfs 3 设函数 则 1exp 2z 0 Rezfs 复变函数测验题 23 4 设 为函数 的 级极点 那么 az zfm Reazfs 5 双曲正切函数 在其孤立奇点处的留数为 tnh 6 设 则 21 zf ezfs 7 设 则 5co f 0 Rf 8 积分 13zde 9 积分 1sinz 10 积分 dxe i2 三 计算积分 412 sinzze 四 利用留数计算积分 0 sin02 aad 五 利用留数计算积分 dxx91024 六 利用留数计算下列积分 021cosindxx dx1 cos 2 复变函数测验题 24 七 设 为 的孤立奇点 为正整数 试证 为 的 级极点的充要条件是a zfma zfm 其中 为有限数 bmz li 0 八 设 为 的孤立奇点 试证 若 是奇函数 则 a zf zf Re eazfsazfs 若 是偶函数 则 Re easazfs 九 设 以 为简单极点 且在 处的留数为 A 证明 zfaaAzfaz1 1lim2 十 若函数 在 上解析 当 为实数时 取实数而且 表示 z 1 z z 0 yxf 的虚部 试证明 iyx sin cocs2in02 tdftt 1 t 复变函数测验题 25 第一章 复数与复变函数 一 1 B 2 A 3 D 4 C B A D B D 10 C 11 B 12 C 13 D 14 C 15 A 二 1 2 3 4 5 8arctn i21 ie 163 或 5 z 22 2 yx2 yx 10 i 2 11 Re wi27 三 或 5 525 z 四 当 时解为 或10 aia 1 1 a 当 时解为 六 像的参数方程为 表示 平面上的椭圆 20sin215co7vuw1 25 1722 vu 十 1 在复平面除去原点外连续 在原点处不连续 zf 2 在复平面处处连续 复变函数测验题 26 第二章 解析函数 一 1 B 2 B 3 D 4 C A C C C A 10 D 11 A 12 C 13 D 14 B 15 C 二 填空题 1 2 常数 3 可微且满足i xvu 2 22 xvyuxv 4 5 或 为实常数 6 i87 icyx 22 iz2ci 7 8 3 10 4sin4 cos28 kk 210 2 ke 9 10 3art 2 2 i 四 1 2 sin zf 1 zezf 五 wedz23 2 222 3 41684 6 zwzeeezedz zzz 七 为任意实常数 cizif 1 2 十 204ln kiz 复变函数测验题 27 第三章 复变函数的积分 一 1 D 2 D 3 B 4 C B A C A A 10 C 11 C 12 D 13 D 14 C 15 B 二 1 2 2 3 0 4 5 6 平均值i 1i 612i 7 解析 8 9 10 Cxy 23 yxu 三 1 当 时 当 时 当 时 10 R01 Ri 8 R20 2 六 i 七 0 八 8 1 2idzfz 2 2cos0defi 十 为任意实常数 321ln icf 31 复变函数测验题 28 第四章 级 数 一 1 C 2 C 3 D 4 A D D B A C 10 B 11 D 12 B 13 B 14 A 15 C 二 1 发散 2 3 1R 2 4 或 10 nzf 0 1 010 drndzzfirz 5 6 7 2012 znn22 8 9 10 nnz 00 02 1nniz 三 2 11 aann 10 5 25 1 n 六 3 1 zf 6 九 nnk kzzz 1 2l 2ln0 复变函数测验题 29 第五章 留 数 一 1 D 2 B 3 C 4 D B C A D C 10 A 11 B 12 D 13 A 14 B 15 C 二 1 2 3 4 5 92 1 k0m 1 6 7 8 9 10 41ii 2ei 三 i 31 四 12 a 五 5 六 4 3e e1cos