动态法测量杨氏模量

南昌大学大学物理实验报告 学生姓名 学号 专业班级 实验时间 时 分 第 周 星期 座位号 动态法测量杨氏模量 一 实验目的 1 理解动态法测量杨氏模量的基本原理 2 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法 熟悉信号源和示波器的使用 二 实验原理 如图 1 所示 长度 L 远远大于直径 d L d 的一细长棒 作微小横振动 弯曲振动 时满足的动力学方程 横振动方程 为棒的轴线沿 x 方向 1 42y 0 xtSEJ y L 0 x x 图 1 式中 y 为棒上距左端 x 处截面的 y 方向位移 E 为杨氏模量 单位为 Pa 或 N m 为材料密度 S 为截面面积 J 为某一截面的转动惯量 J 2ydsS 横振动方程的边界条件为 棒的两端 x 0 L 是自由端 端点既不受正 应力也不受切向力 用分离变量法求解方程 1 令 y x t X x T t 既有 2 421d1 xEJSdTXt 由于等式两边分别是两个变量 x 和 t 的函数 所以只有当等式两边都等于两边 都等于同一个常数时等式才成立 假设此常数为 则可得到下列两个方程4K 3 4d0K 4 24d 0tTKEJS 如果棒中每点都作简谐振动 则上述两方程的通解分别为 5 1234 x achcosinos XxaKxTtbt 于是可以得出 y x t 1234achx cosinKax cos bt 6 式中 7 142 EJS 式中 7 称为频率公式 适用于不同边界条件任意形状截面的试样 如果试样 的悬挂点 或支撑点 在试样的节点 则根据边界条件得到 cosKL chKL 1 8 采用数值法可以得出本征值 K 和棒长 L 应满足如下关系 KnL 0 4 730 7 835 10 996 14 137 9 其中第一根 0 对应试样静止状态 第二根记为 4 730 所对应的试样0L1KL 振动频率称为基振频率 基频 或者称为固有频率 此时的振动状态如图 2 所 示 第三根 7 853 所对应的振动状态如图 3 所示 称为一次谐波 由此可2K 知 试样在作基频振动时存在两个节点 它们的位置分别距端面 0 224L 和 0 776L 将基频对应的 K1 值代入频率公式 可得到杨氏模量为 E 10 43 322 1 978 07 801LSLmfJJ E 图 2 图 3 如果试样为圆棒 d L 则 所以式 10 可改写为 46dJ 11 324m1 607fLE 同样 对于矩形棒试样则有 12 32m 6 94fbhLE矩 式中 m 为棒的质量 f 为基频振动的固有频率 d 为圆棒直径 b 和 h 分别为 矩形棒的宽度和高度 如果 圆棒试样不能满足 d L 时 式 11 应乘以一个修正系数 T1 即 T1 13 324m1 607fdLE 式 13 中的修正系数 T1 可以根据径长比 d L 的泊松比有 径长比与修正系数的对应关系 径长比 d L 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 08 0 010 修正系 数 T1 1 001 1 002 1 005 1 008 1 014 1 019 1 038 1 055 由式 10 12 可知 对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算 试样的动态杨氏模量 所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固 有频率 本实验只能测出试样的共振频率 物体固有频率 f 固和共振频率 f 共是相关 的两个不同概念 二者之间的关系为 14 21f 4Q固 共 式 14 中 Q 为试样的机械品质因数 一般 Q 值远大于 50 共振频率和固有 频率相比只偏低 0 005 两者相差很小 通常忽略二者的差别 用共振频率代 替固有频率 试样在做基频振动时 存在两个节点 分别在 0 2241 和 0 7761 处 显然节 点是不振动的 实验时支撑点不能放在节点处 而本实验又同时要求在试样两 端自由的条件下 检测出共振频率 显然这两条矛盾的 支撑点离节点越远 可以检测到的共振信号就越强 但试样受外力越大 这样产生的系统误差就越 大 图 4 为两端自由杆基频弯曲振动波形 0 224L 0 776L 图 4 为了消除误差 可采用内插法测量法测出换能器支撑点在节点时 式样的 共振频率 具体测量法是改变支撑点的位置 逐步测出试样的共振频率 f 设试 样端面离支撑点的距离为 x 以 x l 为横坐标 共振频率 f 为纵坐标 用 orgin 耦合一下数据 求出最低点 三 实验仪器和装置 电源 铜棒 螺旋测微计 游标卡尺 天平 示波器 信号发生器 换 能器 图 5 四 实验步骤 1 用螺旋测微计测量试样的直径 2 游标卡尺测量试样的长度 3 用天平测量棒的质量 4 支撑法测量步骤 1 安装试样棒 将棒放在支撑架上 保持棒横向水平 换能器到试样棒 端点的距离相同 2 连接测量仪器 动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入 端 拾振信号的输入端接拾振器的输出端 拾振信号的输出端接示波 器 Y 通道 将示波器 X 通道接激振信号的输出端 用李萨如图形测 量 3 开机调试 开启仪器电源 调节示波器处于正常工作状态 信号发生 器的频率置于 5kHz 挡 连续调节输出频率 此时激发换能器应发出 声响 轻敲桌面 示波器 Y 轴信号大小立即变动并与敲击强度有关 说明该装置已处于工作状态 说明该装置已处于工作状态 说明该 装置已处于工作状态 4 检频与测量 由低到高调节信号发生器的输出频率 正确找出试样棒 的基频共振状态 从频率计上读出共振频率 5 测量基频共振频率 在两节点位置两侧各取几个测试点 各点间隔 5mm 左右 从外向内依次同时移动两个支撑点的位置 每次移动 5mm 测出不同位置处基频共振频率 5 根据公式 13 计算杨氏模量 五 数据处理 实验数据如下 棒长 L 178mm 棒直径 D 8mm 棒质量 m 75g T1 0 04 耦合的曲线如图 最低点 x l 0 02243 f 751 778Hz 利用公式 T1 324m1 607fdLE 3 32 8 50kg 751 8z 0H 4 距离 x mm 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000 x l 0 028 0 056 0 084 0 112 0 140 0 169 0 197 0 225 0 253 频率 f Hz 763 364 761 658 759 191 756 413 754 493 753 001 752 802 节点附近 751 992 pa109 45 六 思考题 1 如何尽快找到试样基频共振频率 答 测试前根据试样的材质 尺寸 质量 通过公式式估算出共振频率的数值 在上述频率附近寻找 2 测量时为何要将换能器放在在试样的节点附近 答 理论推导时要求试样做自由振动 应把换能器在试样的节点上 但这样做 就不能激发试样振动 因此 实际换能器位置都要偏离节点 偏离节点越大 引入的误差就越大 故要将换能器放在试样的节点附近