高三二轮平面向量复习专题.doc

高三二轮平面向量复习专题长兴金陵高级中学 周健向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，数量为1-2题，均属容易题，但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。2006年的考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析，去探索、去发现、去研究、去创新，而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后，不能匆匆而过，回顾与反思是非常有必要的，以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外，更要重视一题多变，主动探索：条件和结论换一种说法如何？变换一个条件如何？反过来又会怎么样？等等。只有这样才能做到举一反三，以不变应万变。本专题将在回顾和梳理基础知识的基础上，突出平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高学生分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使学生站在新的高度来认识和理解向量。一、高考考纲要求1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法与减法3掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式二、高考热点分析在高考试题中，对平面向量的考查主要有四个方面：其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如2005年高考北京卷理3文4，2005年高考湖南卷文9，2005年高考江西卷理6文6，2005年春考上海卷5。其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如2005年高考福建卷理3，2005年高考重庆卷文4，2005年高考浙江卷文8等。其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力，如在2005年高考上海卷文19出现了与函数相结合的题目，2005年高考江西卷文18（与三角函数结合），2005年高考福建卷理21文22（与解析几何结合）等；数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容2006年大纲将向量放在“第一”的位置，考生应高度重视。可着重训练平面向量关系式表征平面几何图形，即对向量的“形”的认识，可参照2005年全国高考卷一第15题、卷二第8题；将平面几何图形特征翻译为向量关系式，即对向量的“数”的认识，如2005年天津卷14题；在直线与圆锥曲线综合问题，向量融合在其中，如2005年天津卷21题、 福建卷21题、湖南卷19题、全国卷一21题等。从全国卷看,解析几何与向量的沟通是热点题,05年上海的解几高考题也涉及了向量的知识.向量活在形式，重在方法,本在运算.尽管我省的数学命题比较保守,两年来均考查了传统的解几题.然而,解几与向量的交汇趋势已势不可挡,应让学生有充分的准备. 附、平面向量知识结构表向量的概念向量的加、减法两个向量平行的充要条件件件向量向量的运算实数与向量的积 两个向量垂直的充要条件件件向量的数量积定比分点公式向量的运用在物理学中的应用在地平移公式在几何中的应用1 考查平面向量的基本概念和运算律此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。例1(2005年高考北京卷理3文4)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且ca，则向量a与b的夹角为（ C ）A30B60C120D150例2(2005年高考江西卷理6文6)已知向量（ C ）A30B60C120D150例3(2005年高考重庆卷理4)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（ C ）ABCD例4(2005年高考浙江卷理10)已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（C）AB()C()D()()例5 (2005年春考上海卷5)在中，若，则 . 考查向量的坐标运算例1(2005年高考湖北卷文3)已知向量a=（2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是（ C ）A4，6B6，4C6，2D2，6例2(2005年高考重庆卷文4)设向量a=（1，2），b=（2，1），则（ab）（a+b）等于（ B ）A（1，1）B（4，4）C4D（2，2）例3(2005年高考浙江卷文8)已知向量(x5，3)，(2，x)，且，则由x的值构成的集合是( C )A2，3B1，6C2D6例4(2005年高考天津卷理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上且|=2,则= 例5(2005年高考全国卷理14文14)已知向量，且A、B、C三点共线，则k= . 例6(2005年高考湖北卷理13)已知向量不超过5，则k的取值范围是 . 6，2例7(2005年高考广东卷12)已知向量则x= . 4平面向量在平面几何中的应用例1（2003年新课程卷）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的（B）A外心B内心C重心D垂心 例2（2003年新课程辽宁卷）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点），则等于 （A） A B. C. D. 例3已知有公共端点的向量，不共线，1，=2,则与向量，的夹角平分线平行的单位向量是 .例4已知直角坐标系内有三个定点，若动点P满足：，则点P的轨迹方程 。4平面向量与三角函数、函数等知识的结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质.例1(2005年高考江西卷理18)已知向量.是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.解： 例2(2005年高考江西卷文18)已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.解： =.所以，最小正周期为上单调增加，上单调减少.例3(2005年高考山东卷理17)已知向量和，且求的值.解法一：=由已知,得又，。解法二：由已知，得。例4(2005年高考上海卷文19)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.（1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值.解：（1）由已知得于是 （2）由即 由于，其中等号当且仅当x+2=1，即x=1时成立，时的最小值是3.【题后反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。平面向量与解析几何的交汇与融合由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。在2005年全国高考、以及不少省市自主命题的高考卷中（如天津、湖南）都出现了平面向量与解析几何综合题。由此看来，向量与解析几何相结合将是今后高考的重点和热点，应引起我们高度的重视。平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：1、 运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。 3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。例1(2005年高考江西卷理16文16)以下同个关于圆锥曲线的命题中设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线；设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）例2(2005年高考福建卷理21文22)已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.（）求椭圆C的方程；（）是否存在过点E（2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cotMON0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.（I）解法一：直线， 过原点垂直的直线方程为， 解得椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，直线过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. 故椭圆C的方程为 解法二：直线.设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， 直线过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. 故椭圆C的方程为 （II）解法一：设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入，整理得 点O到直线MN的距离即 即整理得当直线m垂直x轴时，也满足.故直线m的方程为或或经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为或或解法二：设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入，整理得 E（2，0）是椭圆C的左焦点，|MN|=|ME|+|NE|=以下与解法一相同.解法三：设M（），N（）.设直线，代入，整理得 即 =，整理得解得或故直线m的方程为或或经检验上述直线方程为所以所求直线方程为或或三解题反思与总结三种表示方法解决平面向量问题的三种途径 几何表示：与平面几何、物理等知识结合例1（2003年新课程卷）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的A外心B内心C重心D垂心 分析：由于表示向量上的单位向量，表示向量上的单位向量，所以表示单位向量与单位向量的和，由向量加法的几何意义可知表示以单位向量为邻边的菱形对角线，所以表示向量（点在角的平分线上，其位置由确定）点的轨迹为角的平分线，故选（B）例2（2003年新课程辽宁卷）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点），则等于 A B. C. D. 解：由向量的运算法则而点P在对角线上，所以与同向，且因此故选（A）评注：以上两题考查的知识点是平面向量加法及实数与平面向量积的几何意义，虽然知识上的要求并不高，但新颖的表述形式、抽象的符号语言使学生理解起来普遍感到困难，很多学生觉得题目不知所云处理平面几何问题平面向量最重要的应用之一，但由于教材对这一内容涉及较少，所以我们在教学中不宜对此知识点做过多的挖掘以下是向量在平面几何中的几个结论：在平行四边形中，若，则，即菱形模型若，则，即矩形模型在中，若，是的外心；一定过的中点，通过的重心；若，则是的重心；若，则是的垂心；向量必通过的内心；若，则是的内心；评注：以上两题考查的知识点是平面向量加法及实数与平面向量积的几何意义，虽然知识上的要求并不高，但新颖的表述形式、抽象的符号语言使学生理解起来普遍感到困难，很多学生觉得题目不知所云例3(2005年高考全国卷II理10文11)点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（10，10），则5秒后点P的坐标为（ C ）A（2，4）B（30，25）C（10，5）D（5，10）例4(2005年高考全国卷理15)ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m= . 1 例5在ABC中，sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，且其周长为12以为x轴，AC的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy（1）证明存在两个定点E、F，使得|BE|+|BF|为定长；并求出点E、F的坐标及点B的轨迹；（2）设P为轨迹上的任一点，点M、N分别在射线PA、PC上，动点Q满足，经过点A且以为方向向量的直线与动点Q的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由？讲解 （1）由sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，得a+c=2b，且abc因a+b+c=12，故a+c=8，即|BC|+|BA|=8为定值注意到8|AC|=4，且|BC|BA|，故B的轨迹是以A、C为焦点，8为长轴长，在y轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分并且存在定点E、F，它们分别为A、C，从而它们的坐标分别为（-2，0），（2，0）ACOxyNMPRQST（2）如图所示，不妨取，则以PMN为顶点可作出一个菱形PMTN，于是，且，从而PQ为APC的外角SPA的平分线过A且以为方向向量的直线ASPQ从而，于是只须取AC的中点为D（O），即有=4为定值故存在定点D，而为定值.例6若F1、F2分别为双曲线 1下、上焦点，O为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足：，(l0)。(1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(，2)，求此双曲线的方程(3)若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B1，B2(B2在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。解： (1) ，PF1OM为平行四边形，又知M在PF1O的角平分线上，四边形PF1OM为菱形，且边长为c2分2a+2a+c，由第二定义e即e，+1e且e1e=24分 (2)由e=2，c=2a即b2=3a2，双曲线方程为 1又N(，2)在双曲线上，1，a23双曲线的方程为17分(3)由知AB过点B2，若ABx轴，即AB的方程为x=3，此时AB1与BB1不垂直；设AB的方程为y=k(x3)代入1得(3k21)x218k2x+27k29=09分由题知3k210且0即k2 且k2，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1+3，y1)，(x2+3，y2)，0即x1x2+3(x1+x2)+9+y1y2011分此时x1+x2，x1x2=9，y1y2k2(x13) (x23)k2x1x23(x1+x2)+9= k2189390，5 k21，kAB的方程为y=(x3) .14分点评二次曲线的定义是历年高考常考常新的热门话题联系定义，有时可以使问题的解答非常简洁，请读者认真反思本题的思维路线，看看会有什么启发符号（向量）表示：体现向量自身符号系统的优越性例1（2004年湖北卷） 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值 例2椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值讲解（）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程依据题意，设椭圆的方程为，则由，椭圆方程为（）因为在椭圆上，故由平面几何知识得，即，所以令，设且，则，所以函数在上是单调递减的，从而当时，原式取得最大值，当时原式取得最小值点评本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成坐标表示：与解析几何、三角函数、函数等知识结合例1已知平面上一个定点C（1，0）和一条定直线l：x4，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为，（2）（2）0.（1）求点P的轨迹方程；（2）求的取值范围解：（1）由（2）（2）0，2422分设P（x，y），得x424（x1）2y2，3x24y212.点P的轨迹方程为；6分（2）设P（x，y），（4x，0），（1x，y）8分（4x，0）（1x，y）x25x411分由x2，2，故有2，1813分例2已知向量，动点M到定直线y = l的距离等于d ，并且满足 ，其中O是坐标原点，k是参数 (1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型； (2)当k 0时，曲线与直线 y = x + 3 有两个不同的交点，求该曲线离心率的范围（12分）解：(1)设M（x，y），则由题可得：A（2，0），B（2，1），C（0，1），, 整理得：( 1 - k ) x 2 + 2( k - 1 ) x + y 2 = 0 为所求的轨迹方程3分当k = 1 时，y = 0，动点M的轨迹是一条直线；当k 1时，方程可化为 当k = 0时，动点M的轨迹是一个圆； 当k 1时，动点M的轨迹是一条双曲线； 当0 k 1 或 k 0时，动点M的轨迹是一个椭圆6分（2）由消x整理得（2-k）x 2 + (4 + 2 k ) x + 9 = 0由题可知0，k 2 + 13 k - 14 0 k1 或 k-148分 k 0 k -14 ，此时动点M的轨迹是椭圆，方程为其中a 2 = 1-k ， b 2 = 1 ，c 2 = a 2 - b 2 = - k， k -14 12分例3已知向量，0,记函数=,已知的最小正周期为. 求的值； 设ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为，求此时函数的值域。解：（1）f(x)= =（4分）周期T=2（6分）（2）由（1）知：（7分）b2=ac，在ABC中由余弦定理得： （9分）又因为余弦函数在0，上是减函数，（10分）且（10分）（11分）即：函数f（x）的值域为.（12分）例4已知向量，且，设求及若的最小值是，求的值若方程有解，求的取值范围当时，（舍去），当时，当时，综上可知即方程，在时有解，又不满足方程，在时单调递增，四、向量复习的教学建议建议一：重视基础例1中，已知,求证：为正三角形错解一： , . 即 、均为非零向量, 故是正三角形错因剖析：我们知道向量的数量积是一个实数，若两个实数相等，则它们的绝对值也相等因此，是成立的；乍看起来也没有问题，因为这是我们很熟悉的实数绝对值性质但实数的性质在向量的运算中仍然成立吗？我们不妨先从特殊情形入手令，（其中、分别是轴、轴上的单位向量）,此时，而，所以显然有由向量的数量积定义可知，cos,-1,因此，我们可以得到，当且仅当或，即与共线时等号成立题目中由于、不是共线向量，因此是不成立的，这正是此题错解的症结所在若, ，由可得，这实际上也是柯西不等式的二维形式错解二： ，同理可得 故是正三角形错因剖析：由于向量的数量积满足分配律，所以由可以得到，但由教材第119页向量的数量积性质知：“当都是非零向量时，”所以由，不能得到这个错误解法的信息源是实数的性质“若，则”另外，若，则的三条边平行或重合，也不能得到是正三角形错解三： 由正弦定理得，即. 同理. 故是正三角形错因剖析：由于向量的夹角是，而不是，所以由向量数量积的定义可知，这是学生在学习向量数量积时经常发生的一种错误实际上，由于，因此连续两次夹角错误，恰好使问题的结论仍然成立错解四：， 约分得，同理可得故是正三角形错因剖析：这种错误的解法类似于错解二，是受实数运算法则“若则”影响造成的实际上这种运算法则在向量的数量积运算中不再成立以下给出该题的四种正确解法，供参考解法一：如图，取边上的中线，由平行四边形性质得，又由条件得 同理，故是正三角形解法二： 又 即 同理故是正三角形解法三：， 由正弦定理得又都是的内角， 故是正三角形解法四：以为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系设点的坐标为点的坐标为 故是正三角形启发1、平面向量的引入，大大地拓宽了解题的途径和方法，使它在研究其它问题时得到广泛的应用但向量与实数之间，有联系，更有区别，我们在复习中中要对这两个概念及其性质进行对比，总结它们之间的区别和联系，防止出现实数知识对向量学习的负面影响向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律分配律 且 |向量的数量积与实数的积的不同点：实数的乘积向量的数量积结合律或 2004、2005年高考类似试题链结：例1（浙江卷）已知平面上三点满足，则的值等于 例2（湖北卷）已知为非零的平面向量甲：则A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件例3定义： |=|sin，其中为向量与的夹角，若|=2, | =5, =-6,则|=_。例4(2005年高考湖南卷文9)P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（D ）A外心B内心C重心D垂心例5(2005年高考全国卷文11)点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的（ B ）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点启发2、关注平面向量的基础知识，不能遗漏一个基本概念，如单位向量、方向向量、基底、相反向量、投影等概念建议二：回归课本数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的高考试卷中平面向量有三分之一的问题与课本的例习题相同或相似，它对高三复习具有指导意义，所以我们在教学中要重视教材的使用应有不可估量的作用，要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系例1（2002年新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为 A. B. C. D. 解析：设的坐标为, .又 消去得，故选（）.评注：本题主要考查向量的坐标运算以及解析几何中参数法思想OPBA说明：此题是教材第109页例5的延伸和拓广，该例题为：不共线，用表示，它的结论是此题等价于“不共线，若三点共线，则且”解： 说明：该例题是个重要题型，它的相关结论和变式很多：如当t=时，,此时点P为AB的中点，此式称为ABC的中线公式（向量式）下面给出它的几种变式和应用：变式：不共线，点P在O、A、B所在平面内，且求证：A、B、P三点共线。证明：变式：不共线，点P在直线AB上，求证：存在实数、，使得，且。证明：点P在直线AB上，存在实数，使得，则令，则使得，且。OPBA变式：求证：平面内不共线的三向量，的终点A、B、C共线的充要条件是存在实数、，使得变式：不共线，用 ，表示。解：不共线，说明：由可以推出，所以当时，此时P为AB的定比分点公式。例2平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，2），点C满足 、（1）求点C的轨迹方程； （2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.解：设即点C的轨迹方程为x+y=1 -4分（3）双曲线实轴长的取值范围是（0,1 -14分教材中还有以下两道习题值得仔细推敲：1、课本复习题B组第2题、已知两两所成的角相等，并且求向量的长度及与已知向量的夹角2、课本复习题B组第5题、已知：如图，的夹角为夹角为试用建议三、研究性复习例1（课本复习题B组第6）已知向量，求证： 是正三角形分析：从条件我们不难发现（1）向量均为单位向量，且任意两个向量的和与另一个向量是相反向量；（2）O是的外心；（3）向量的两两夹角都相等；（4）向量的大小均相等证明思路一： 从数量积入手，求向量的夹角得同理即中任意两个向量的夹角为故是正三角形证明思路二：从消元法入手，求向量的大小OP 故是正三角形证明思路三：从几何意义入手，依托图形来推理如图，以为邻边作平行四边形，则由题意得，故于是，即是正三角形，于是从而（以下同思路一）证明思路四：从坐标法入手，利用平面几何模型设为坐标原点，建立直角坐标系设则故由题意得而的重心G的坐标为即重心G为原点O又，故O为的外心因为的重心与外心重合，故是正三角形评注：由于思维起点不同，学生解题的策略也会有差异，这正是宏观整合知识结构，渗透数学思想方法，优化思维品质的最佳时机，通过相互之间的交流、讨论、比较和总结，能引发思维的“共振”，促进能力的发展和素质的提高变式、引申、拓展1、数量变式：将条件中改为会有什么结论？结论：将条件中改为不影响证题进程，只是正的边长变为2、逆向引申：已知向量， 是正三角形，则3、升维拓展：已知向量，构成凸四边形，则四边形是正方形吗？结论：四边形是矩形，证明过程详见数学之友4、逆向延伸：已知向量，四边形是正方形，则5、拓展推广：已知向量，边形是正多边形，则6、应用令则这与物理学中三相交流电知识“若三相交流电则”相吻合五第二轮复习的几点总结1、传统复习课大多数是先罗列知识，再列举题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习，这种教学程序对生源一般的学校是比较有效的，但这样的教学使学生始终处于一种被动的状态，缺乏对学生创新意识的培养，难以真正提高学生素质，所以在生源比较好的学校我们经常会有这样的感受：随着复习时间的推移，越来越多学生的学习兴趣与日俱减，他们对课堂没有激情，许多学生认为他们的数学能力不是提高而是反而下降了，我个人认为这正是其中的症结所在2、我们倡导高三的研究性复习，特别是二轮复习，不必一味地以追求教学容量为教学设计的目标指向3、学生的理性思维、创新意识不是高考前一两个月能培养出来的，它应贯穿于高三复习的全过程之中，在每一节课中特别是二轮复习的每一节课中要有意识加入一些思维量比较大的内容，激发学生思考当然这也对我们教师课前的精心准备与预设，课上的教学机智和生成评价都提出了严峻的挑战