高二数学-空间向量与立体几何测试题

高二数学 空间向量与立体几何测试题第卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为 （ ）A0 B.1 C. 2 D. 32在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、是 （ ）A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量3若向量、（ ）A B C D以上三种情况都可能4已知a（2，1，3），b（1，4，2），c（7，5，），若a、b、c三向量共面，则实数等于 （ ）A. B. C. D. 5直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则 （ ）A. B. C. D. 6已知+，|2，|3，|，则向量与之间的夹角为（ ）A30 B45 C60 D以上都不对7若a、b均为非零向量，则是a与b共线的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件8已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的 中线长为 （ ）A2 B3 C4 D59已知（ ）A15B5C3D110已知，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为 （ ）A B C D第卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11若A(m1，n1,3)，B(2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三点共线，则m+n= 1212、若向量 ，夹角的余弦值为，则等于_.13在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则 14已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为 。15.在三角形ABC中，A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n与平面ABC垂直，且|m|=,则n的坐标为 。16.已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a|b,则与的值分别是 .三、解答题（本大题共5小题,满分70分）17(12分) 已知空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，BADC用向量证明：AC与BD也互相垂直18（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系 （1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值 19（14分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、 PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：EFCD； （3）若PDA45，求EF与平面ABCD所成的角的大小 20（15分）在正方体中，如图、分别是 ，的中点，（1）求证：平面ADE；2）cos 21（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平面； （2）证明平面EFD； （3）求二面角的大小空间向量与立体几何(1)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACBDDCABAC二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）110 122 13 1460 15。（2，-4，-1），（-2，4，1） 16。.三、解答题（本大题共5题，共76分）17证明： . 又，即. .又，即. 由+得：即.18 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) (0, -2, 2)，(0, 1, 2) |2，|，0242, cos ， AB1与ED1所成的角的余弦值为19证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E为AB的中点，F为PC的中点 E (a, 0, 0)，F (a, b, c)(1) (0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0) () 与、共面又 E 平面PAD EF平面PAD(2) (-2a, 0, 0 ) (-2a, 0, 0)(0, b, c)0 CDEF(3) 若PDA45，则有2b2c，即 bc， (0, b, b)，(0, 0, 2b) cos ， ， 45 平面AC， 是平面AC的法向量 EF与平面AC所成的角为：90， 4520解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，0）， 则（0，1），（1，0，0）， （0，1，）， 则0，0， ，. 平面ADE.（）（1，1，1），C（0，1，0），故（1，0，1），（1，），10， ， 则cos. . 21解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(2)证明：依题意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.(3)解：设点F的坐标为则从而所以由条件知，即 解得 。点F的坐标为 且,即，故是二面角的平面角.且 ,所以，二面角CPCD的大小为江苏省海安高级中学期末复习测试空间向量与立体几何(2) 姓名 班级 第卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）ABCD2在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是 （ ）A 点关于轴对称的坐标是B 点关于平面对称的坐标是C 点关于轴对称点的坐标是 D 点关于原点对称点的坐标是3已知向量a（1，1，0），b（1，0，2），且ab与2 ab互相垂直，则的值是（ ）A.1 B. C. D.4已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于（ ） A. B. C. D. 5在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）A B C D6已知向量，则a与b的夹角为 （ ）A. 0 B. 45 C. 90 D. 180 7已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平面上的射影的坐标依次为，和，则 （ ）A B.C. D.以上结论都不对8、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点，且,则点的坐标是 ( ) A. B. C. D.9、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足则BCD是 （ ）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定10、已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG的距离为 （ ）A. B. C. D.1第卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11、若同方向的单位向量是_.12已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若，则xyz 13、已知，则的值为 。14、已知向量a和c不共线，向量b0，且，dac，则 15已知三角形的顶点是，这个三角形的面积是 。16（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。三、解答题（用向量方法求解下列各题,共70分）17、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点（1）证明：AEC1F是平行四边形；（2）求AE和AF之间的夹角的余弦；（3）求四边形AEC1F的面积18如图，四边形ABCD是直角梯形，ABCBAD90，SA平面ABCD， SAABBC1，AD（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦19、如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90侧棱AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（2）求A1到平面ABD的距离21.P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，.（1）求证：PA平面ABCD. （2）对于向量，定义一种运算：，试计算的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=）. 空间向量与立体几何(2)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案DDDABCACCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11（0，） 120 13 1,-3 1490 15。 16。三、解答题（本大题共6题，共76分）17（1）略 （2） （3）18（1） （2）19（）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.20(14分) 解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）E（a，a，1） G（）.，解得a=1.A1B与平面ABD所成角是.（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）平面AA1E，又ED平面AED.平面AED平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，点A在平面AED的射影K在AE上.设， 则由，即， 解得.,即即点A1到平面AED的距离为.21.解：（1） （2）V猜测：在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）