高中数学高频错题

填充题专项训练(1)1已知是定义在（-3，3）上的奇函数，当0x0 的解集为 。2设不等式对于满足的一切m的值都成立，x的取值范围 。3已知集合A(x,y)2,x、yR，B(x,y)4x+ay16,x、yR，若AB，则实数a的值为 4或-2 .4关于函数，有下列命题：其最小正周期是；其图象可由的图象向左平移个单位得到；其表达式可改写为；在，上为增函数其中正确的命题的序号是： 1 ,4 5函数的最小值是 6对于函数，给出下列四个命题：存在（0，），使；存在（0，），使恒成立；存在R，使函数的图象关于轴对称；函数的图象关于（，0）对称其中正确命题的序号是 1,3,4 7点A在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动。已知点A从x轴正半轴出发一分钟转过(0)角，2分钟到达第三象限，14分钟回到原来的位置，则=。8函数f(x)=3sin(x+20)+5sin(x+80)的最大值为_7_。9已知 的值为。10已知向量，若与垂直，则实数等于 -1 备用题：1若是R上的减函数，且的图象经过点（0，4）和点（3，2），则不等式的解集为（1，2）时，的值为 12若，则的取值范围是：3已知向量,向量则的最大值是 4 _ 4有两个向量，。今有动点，从开始沿着与向量+相同的方向作匀速直线运动，速度为|+|；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为|3+2|设、在时刻秒时分别在、处，则当时， 2 秒 5若平面向量与向量的夹角是，且，则(-3,6) 6 (.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_2500_围墙厚度不计). 7求函数的最大值为8向量,满足，且，,则与夹角等于 9已知|a|10，|b|12，且(3a)(b/5) -36，则a与b的夹角是_ 作业1已知则不等式5的解集是2已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是(，)，则f(x)g(x)0的解集是_.3函数的定义域是4函数的最大值是_.5已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则 2 6不等式的解集为，且，则的取值范围为 7若x-1，1，则函数的最大值_-1_。8在ABC中，若B=40，且 ，则；9在中，为三个内角，若，则是_钝角三角形(填直角三角形 钝角三角形锐角三角形 ) 10平面向量,中，已知，且，则向量= 填充题专项训练(2)1对于函数f1(x)=cos(+x),f2(x)=x2sinx,f3(x)=|sinx|, f4(x)=cos(/2-x),任取其中两个相乘所得的若干个函数中，偶函数的个数为（3）2不等式的解集为 解：当即 或时原式变形为即解得或 或当即时原式变形为即 综上知：原不等式解集为或且3已知向量若ABC为直角三角形，且A为直角，则实数m的值为 。解：若ABC为直角三角形，且A为直角，则，解得4已知ABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,ABC的外接圆的半径为，则角C= 。解：2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB, 又2R=2，由正弦定理得：2=(a-b),a2-c2=ab-b2, a2+b2-c2=ab结合余弦定理得:2ab cosC=ab,cosC=又0C,C= 5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cosA=，则sin2+cos2A的值解: = 6已知平面向量，若存在不同时为零的实数和，使x = ，y，且xy，则函数关系式k= （用t表示）；7已知向量a(cosx，sinx)，b()，且x0，若f (x)a b2ab的最小值是，则的值为 解：a b | ab | cos x0，因此| ab |2 cos x f (x)a b2ab即 0cos x1若0，则当且仅当cos x0时，f (x)取得最小值1，这与已知矛盾若01，则当且仅当cos x时，f (x)取得最小值，综上所述，为所求8已知，则实数a的取值范围为 . 解：由 A=x|a-2xa+2，B=x|-2x3所以：a-2-2且a+23；所以0a19已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=2，向量= 解：设=（x,y），则解得10下列四个命题：a+b2； sin2x+4；设x、yR+，若+=1，则x+y的最小值是12；若|x2|q，|y2|q，则|xy|0）的定义域为，值域为，则函数（）的最小正周期为 最大值为 最小值为 。解： 因为0，解得，从而， ，T=，最大值为5，最小值为5；2记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定义域为B.若BA, 则实数a的取值范围是 。.解: 20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.若a2a, 则B=(2a,a+1).因为BA, 所以2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,若a )2.删去正整数数列1、2、3、4中所有能被100整除的数的项，得到一个新数列，则这个新数列的第2005项是 . ( 2025 )3. 对任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知1*2=3，2*3=4，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m= . ( 4 )4. 函数的极值是 . ( 极小值-26 )5. 若直线是曲线的切线，则 （1或）6. 已知曲线及点,则过点P的曲线的切线方程是 . （ ）7. 设集合(),集合.若中有且只有一个元素,则正数的取值范围是 （ 3或7 ）8. 如果函数的图象在轴上方,那么该函数的定义域可以是 （ （ 的任一子集 ）9.已知函数的反函数为(),则函数的图象必过定点 . （ （1，0） ）10. 设是函数f(x)=的反函数，则与的大小关系是 . （ ）备用题1.定义符号函数，则不等式的解集是_答：2.如果在上的最大值是2，那么在上的最小值是_答：3.将正奇数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123那么，2005应在第_行_列。答： 251行第4列4. 若数列是等差数列，则有数列也为等差数列，类比上述性质，相应的，若数列是等比数列，且，则有_也是等比数列。答：5.从2001年到2004年间，王先生每年7月1日都到银行存入元的一年定期储蓄，准备为孩子读大学用。若年利率为（扣税后）保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年的定期，到2005年7月1日，其不再去银行存款，而将所有存款本息取回，则取回的总金额是_答： 6.某林场去年年底木材存量为（立方米），若森林以每年25%的增长率生长，每年冬天要砍伐的木材量为（立方米），设经过年林场木材的存量为，则=_答：7. 2000年某内河可供船只航行的河流段长为1000千米，由于水资源的过度使用，促使河水断流。从2000起该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2009年，该内河可供船只行驶的河段长度为_答：三角函数专题第一课时例1.解：例2.解：，。例3.解：例4.解：备用题1.求的值。解：由得即两边同时除以得，。(本题也可以进行切割化弦，进而求的值。)备用题2.解：由题设知，由求根公式，作业1.解：作业2. 解： 作业3.解： 作业4.解：(1)因为 (2)第二课时例1已知且为锐角，试求的值。解：且为锐角，所以，所以。例2求证：。证明：左边= =右边，原式得证。例3求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，当时，所以，函数的值域为。例4已知的最大值为3，最小值为，求的值。解：当时，由，当时，由，所以，。备用题1已知求的值。解：，又，而，所以，所以。备用题2已知求证：。证明：所以所以， 又所以。作业1已知都是锐角，且求。解：由题意，所以，又因为都是锐角，所以，所以，。(也可以用、来求)作业2求函数的值域。解：设，则，原函数可化为当t=1时，当时，所以，函数值域为。作业3求函数的最大值与最小值。解：，当时，当时，。作业4求证：。证明： ， 所以，左边=右边，原式得证。第三课时例1求函数的最小值，并求其单调区间。解： 因为，所以，所以，所以，当即时，的最小值为，因为是单调递增的，所以上单调递增。例2已知函数。(1) 求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；(2) 证明：函数的图像关于直线对称。解： (1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。例3已知函数，若，且，求的取值范围。解：，因为，所以，所以，所以，而，即，所以，解得：，所以的取值范围是。例4已知函数。(1) 求的最小正周期；(2) 求的最小值及取得最小值时相应的x值；(3) 若当时，求的值。解： (1) 由上可知，得最小正周期为；(2) 当，即时，得最小值为2；(3) 因为，所以，令，所以，所以。备用题1已知函数。(1) 将写成含的形式，并求其对称中心；(2) 如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数的值域。解：(1) ，令得，即对称中心为(2)由b2=ac，所以，此时，所以，所以，即值域为。备用题2已知函数，求(1) 当x为何值时，函数有最大值？最大值为多少？(2) 求将函数的图像按向量平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的奇偶性。解：(1)，当，即时，；(2)按平移，即将函数的图像向左平移单位，再向下平移2个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为，由，所以平移后函数为偶函数。作业1已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值，(1)求 的解析式；(2)求的单调递增区间。解：(1) ，由题意，当时，不是最小值。当时，是最小值。所以；(2)当，即时，函数单调递增。作业2已知定义在R上的函数的最小正周期为，。(1)写出函数 的解析式；(2)写出函数 的单调递增区间；(3)说明的图像如何由函数的图像变换而来。解：(1) ，由题意，代入，有，所以；(2) 当，函数单调增；(3) 将函数的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像。作业3已知，求的最值。解：因为，即，原函数化为，当时，当时，。作业4就三角函数的性质，除定义域外，请再写出三条。解：a. 奇偶性：非奇非偶函数；b. 单调性：在上为单调增函数， 在上为单调减函数；c. 周期性：最小正周期；d. 值域与最值：值域，当时，取最小值， 当时，取最大值；e.对称性：对称轴，对称中心。第四课时例1在中，角A、B、C满足的方程的两根之和为两根之积的一半，试判断的形状。解：由条件可知，即，因为，所以，即，所以，所以A=B，即为等腰三角形。例2在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，求角C的值。解：，所以，所以，所以，又，所以，即，得，所以。例3在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面积。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。例4在中，A、B、C满足，求的值。解：由，且，所以，所以。备用题1在中，A、B、C满足，(1)用表示； (2)求角B的取值范围。解：(1) 因为，所以，由，得(1)，易知，若，则，所以，不合题意，若，则，不合题意，对(1)式两边同除以得，；(2)因为C为的一个内角，所以，则由，知异号，若，则A为钝角，B为锐角，此时，因为，不合题意；若，则B为钝角， A为锐角，则，因为A为锐角，所以，所以，所以。备用题2已知A、B、C是的三个内角，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论。证明：因为A、B、C是的三个内角，所以，因此任意交换两个角的位置，y的值不变。作业1在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且， (1) 求角B的大小；(2)若，求a的值。解：(1)由正弦定理，条件可化成，即，因为，所以，所以，因为，所以，B为三角形内角，所以；(也可以用余弦定理进行角化边完成)(2)将，代入余弦定理，得，整理得，解得。作业2在中，且，判断三角形形状。解：因为，则，则，又因为，所以，所以，若，则，无意义，所以，三角形为正三角形。作业3在中，已知A、B、C成等差数列，求的值。解：因为A、B、C成等差数列，则，所以。作业4在中，求的值和三角形面积。解：由，因为，所以，又因为，第五课时例1已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因为所以又因为，所以，即；(2) ，又因为，所以 ，所以，所以。例2已知向量，且，(1)求函数的表达式；(2)若，求的最大值与最小值。解：(1)，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)导数00+极大值递减极小值递增而所以。例3已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。解：(1) ，由周期为且最大值为1，所以由，所以；(2)由(1)知，令，解得对称轴方成为，所以是的对称轴。例4已知向量，定义函数。(1)求函数 的最小正周期；(2)确定函数的单调区间。解：(1)，所以，所以最小正周期为；(2)令，而在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减。备用题1已知，(1)求；(2)设，且已知，求。解：(1)由已知，即，所以，由余弦定理；(2)由(1)，所以如果则，所以此时。备用题2已知向量，的夹角为，的夹角为，且，求的值。解：，所以，所以，所以，而，又因为，所以，又，所以，又因为，所以，所以。作业1已知0为坐标原点，是常数)，若，(1)求y关于x的函数解析式；(2)若时，函数f(x)的最大值为2，求a的值。解：(1)，所以；(2)令时，f(x)的最大值为3+a，解得a=1。作业2已知，求的值。解：设，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，所以。作业3已知向量，若，求的值。解：由已知得，因为，所以，即，化简得，因为，所以，所以。作业4设平面内两个向量，(1)证明：；(2)若有，求的值。(1)证明：，所以，所以；(2)解：，又因为，所以，即，又因为，所以， 所以，又，则，即。第六课时例1已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。解： ，因为为偶函数，所以，对，有，即，亦即，所以，由，解得，此时，当时，最大值为0，不合题意，当时，最小值为0，当时，由最大值，此时自变量x的集合为：。例2已知函数的图像过点，且b0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。解：(1)，由题意，可得，解得，所以；(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。例3已知函数，(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；(2)判断函数奇偶性。解：(1)，定义域：，值域为：R，最小正周期为；(2) ，且定义域关于原点对称，所以为奇函数。例4已知，求的最值。解：，令，则有，所以，因为，则当时，当时，。备用题1设函数已知函数的最小正周期相同，且，(1)试确定的解析式；(2)求函数的单调增区间。解：，由函数的最小正周期相同，有，即a=2m，又，即，把a=2m代入上式，得，所以有，所以或，若，则有这与矛盾，若，则有，于是有，又，所以，所以；(2)由，所以，函数的单调递增区间为。备用题2已知函数，若函数的最大值为3，求实数m的值。解：，令，则函数变为，分类讨论如下：(1)当时，在t=1时，；(2)当时，在t=1时，；综上所述，。作业1已知函数，求得取值范围，使函数在区间上是单调函数。解：，所以的图像的对称轴为，因为函数在区间上是单调函数，所以，即，又因为，所以得取值范围是。作业2已知函数，(1)判断函数的奇偶性；(2)证明是函数的一个周期。解：(1)定义域，所以函数为偶函数；(2)，所以，所以，所以是函数的一个周期。作业3已知，求的值。解：由(1)，所以，因为，所以，所以(2)，联立(1)(2)解得，所以。作业4函数的图像一部分如图所示，(1)求此函数解析式；(2)将(1)中的函数图像如何变化才能得到函数图像。解：(1) 依题意知，xy26将点代入 得，又 ，所以，所求函数解析式为；(2)先把函数的图像横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)， 得函数的图像，再把函数上所有点向右平移单位得到函数的图像，最后将的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，(横坐标不变)，得到函数图像。数 列第一课时1、 设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前n项和，且9S2，S44S2，求数列的通项公式2、已知数列的前项和满足（1） 写出数列的前三项；（2） 求证数列为等比数列，并求出的通项公式3、已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：（）求通项；（）若数列是等差数列，且，求非零常数；4、数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)证明：(i)数列是等比数列；(ii)Sn+1=4an.答案：1、设数列的公差为由题意得： 或 因为 所以 2、（1）在中分别令 得： 解得：（2）由得：两式相减得：即：故数列是以为首项，公比为2的等比数列所以 3、（1）设数列的公差为由题意得： 或 （舍去）所以：（2）由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立即： 或 （舍去）所以4、（1）由 得： 即所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列（2）由（1）得 所以 所以 第二课时1、已知等差数列an，公差大于0，且a2、a5是方程x212x+27=0的两个根，数列bn的前n 项和为Tn，且Tn=1（1）求数列an、bn的通项公式；（2）记cn= anbn，求证：2、设是由正数组成的无穷数列，Sn是它的前n项之和，对任意自然数与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. （1）写出；（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；2、 已知数列成等差数列，表示它的前项和，且， .求数列的通项公式；数列中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？4、设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an （nN*）是等差数列，数列bn2(nN*)是等比数列. （）求数列an和bn的通项公式； （）是否存在kN*，使akbk（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.答案：1、 （1）设的公差为由题意得： 即： 解得：所以：由 得：两式相减： 即：所以是以为公比为首项的等比数列在中令得： 所以所以（2）所以：因为了 所以 2、 （1）由题意得：令得：解得：（2）将两边平方得：用代替得：两式相减得：即：即： 由于 所以所以是以2为首项公差为4的等差数列所以3、（1）设数列的公差为，由题意得：解得：所以： （2）令 所以 解不等式 得：所以数列从第8项开始（含此项）以后各项均为负数4、（1）由题意得： =所以 （）上式对也成立所以 所以 （2）当 时 当时 故不存在正整数使第三课时1、设等差数列的前n项和为；设，问是否可能为一与n无关的常数？若不存在，说明理由若存在，求出所有这样的数列的通项公式2、已知等比数列及等差数列，其中，公差，将这两个数列对应项相加得到一个新的数列1,1,2,求这个新数列的前10项之和3、设Sn为等差数列an的前n项和.(nN*)（）若数列an单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，证明：（）设an的首项为a1，公差为d，且，问是否存在正常数c，使对任意自然数n都成立，若存在，求出c(用d表示)；若不存在，说明理由.4、已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数设，是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列答案：1、设等差数列的公差为，并假设存在使是与无关的常数令所以恒成立化简得：对一切自然数恒成立所以 即 解得： 解得：故存在等差数列使是一与无关的常数2、设等比数列的公比为由题意得： 解得：所以所以新数列的前10项的和为3、（1）设等差数列的公差为由题意得： 即： 解得：所以 所以 所以 （2）假设存在正常数使得恒成立 令，则有恒成立即：化简得：两边平方化简得：以下证明当时，恒成立故存在正常数使恒成立4、（1）由题意得：恒成立对一切正整数恒成立（为常数）即：化简得：对一切正整数恒成立所以： 解得： 或所以：或（2）设数列的公比分别为与，并假设数列是等比数列，其公比为则有： 即：化简得：即对一切正整数恒成立所以： 即： 这与互相矛盾故不是等比数列函数专题第一课时1、设函数（1）解不等式f(x)0;（2）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由.2、）已知函数（a0， ，设关于x的方程的两根为，的两实根为、 （1）若，求a，b关系式 （2）若a，b均为负整数，且，求解析式 （3）若12，求证：73、已知函数在处取得极值(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程4、已知是定义在上且以2为周期的函数，当时，其解析式为（1）作出在上的图象；（2）写出在上的解析式，并证明是偶函数答案：1、（1）由得：该不等式等价于： 或 等价于：或 即：或所以不等式的解集是：（2）因为，所以当时，为增函数；当时，为减函数所以当时，2、（1）即由题意得： 消去得：（2）由于都是负整数，故也是负整数，且由得：所以 所以所以 （3）令，则 的充要条件为： 即： 又所以 因为 所以 即：3、（1）由于在处取得极值所以：即： 解得：所以： 当时，此时为增函数；当时，此时为减函数所以是极小值，是极大值（2）设切点为由题意得： 解得：所以切线的斜率为所以过点（0，16）的切线方程为：4、（1）略（2）当时，有，因为2为函数的周期，所以：对于内的任一，必定存在整数，使得： 此时，又因为2为函数的周期所以：所以：是偶函数第二课时1、设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b.（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求A1B1的取值范围；（3）求证：当x时，恒有f(x)g(x).2、已知函数（1）证明函数的图象关于点（a，1）成中心对称图形；（2）当，时，求证：，；3、已知函数（）证明：对任意，都有；（）是否存在实数,使之满足？若存在，求出它的取值范围；若不存在，请说明理由4、 知函数a) 求函数的反函数；b) 若时，不等式恒成立，试求实数的范围答案：1、（1）由题意得： 所以化简方程： 得：因为 所以所以：函数与的图象有两个不同的交点（2）设方程的两根为，则：所以： 由于所以：将代入得： 解得：所以：2、(1)函数的图象关于点对称的充分必要条件为：由于所以：函数的图象关于点对称(2)易证明在上为增函数所以即：3、（1）因为所以当时，当时，为增函数所以（2）易求得函数的值域为所以当时，对一切实数c，都有当时，对一切实数c，都有当时，不存在实数c，使成立当时，解不等式组： 得： 当时， 当 ，无解下结论略4、（1）因为，所以：由得： 解得：所以函数的反函数是（1） 不等式恒成立即恒成立即：恒成立即：恒成立所以：解得：第三课时1、已知函数为实数）， （1）若f (1) = 0，且函数的值域为，求表达式； （2）在（1）的条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围；2、设f(x)=x3+3x2+px, g(x)=x3+qx2+r，且y=f(x)与y=g(x)的图象关于点（0，1） 对称（I）求p、q、r的值；（II）若函数g(x)在区间(0，m)上递减，求m的取值范围；（III）若函数g(x)在区间 上的最大值为2，求n的取值范围3、已知二次函数，设方程 有两个实数根如果，设函数的对称轴为，求证：；如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围4、某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是： 该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是：，求这种商品的日销售额的最大值.答案：1、（1）由题意得： 解得：所以：（2）当时，是单调函数的充要条件是： 解得: 2、（1）关于点（0，1）对称的函数为：所以：（2） 所以：当即：时，是增函数当即：时，是减函数 所以当在（0，m）上是减函数的充要条件为：(3)由（2）得：当时，所以：的取值范围是3、（1）即为：它的两根满足的充要条件是：又，所以：因为：，所以：，即：（2） 由题意得： 即：消去得：，此不等式等价于：解得：4、 售额Z=PQ= =当时，此时当当时，Z为减函数，此时当所以：当概 率第一课时概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，12共11种基本事件，所以概率为P=剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上均不对错解 A剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是P(AB)=P(A)P(B)= 0.169类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(AB)”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.剖析 本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。解: P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=.备用1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各名，现从中任选名学生去参加校数学竞赛，求（I） 恰有一名参赛学生是男生的概率；（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；（）至多有一名参赛学生是男生的概率。解：基本事件的种数为=15种 （）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有=9种 所求事件概率P1=0.6 （）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生,所求事件概率P2= （）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生,所求事件概率P3=2. 已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结