柯西不等式各种形式的证明及其应用

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资源描述
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中,等号成立条件:扩展:等号成立条件:二维形式的证明:三角形式三角形式的证明:向量形式向量形式的证明:一般形式一般形式的证明:证明:推广形式(卡尔松不等式):卡尔松不等式表述为:在m*n矩阵中,各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。或者:或者推广形式的证明:推广形式证法一:或者推广形式证法二:事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证,这个不等式并不难,可以简单证明如下:付:柯西(Cauchy)不等式相关证明方法: 等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证明介绍如下:证明1:构造二次函数 = 恒成立即当且仅当 即时等号成立证明(2)数学归纳法 (1)当时 左式= 右式=显然 左式=右式当 时, 右式 右式 仅当即 即时等号成立故时 不等式成立 (2)假设时,不等式成立即 当 ,k为常数, 或时等号成立设 则 当 ,k为常数, 或时等号成立即 时不等式成立综合(1)(2)可知不等式成立二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例1:设a、b、c为正数且互不相等。求证:. 均为正数 为证结论正确,只需证: 又 又互不相等,所以不能取等原不等式成立,证毕。2、求某些特殊函数最值例2:函数的定义域为5,9,3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点, 则 (1) (2)点两点间的距离就是点到直线的距离,求(2)式有最小值,有由(1)(2)得: 即 (3)当且仅当 (3)式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证明不等式例 3已知正数满足 证明 证明:利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2,再加上得:故5、 解三角形的相关问题例 4设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明证明:由柯西不等式得,记为的面积,则故不等式成立。6、 求最值例5已知实数满足, 试求的最值 解:由柯西不等式得,有即由条件可得, 解得,当且仅当 时等号成立,代入时, 时 7、利用柯西不等式解方程例6在实数集内解方程解:由柯西不等式,得 又即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得它与联立,可得 8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中,有样本相关系数,并指出且越接近于1,相关程度越大,越接近于0,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记,则,由柯西不等式有,当时,此时,为常数。点 均在直线上,当时,即而为常数。此时,此时,为常数点均在直线附近,所以越接近于1,相关程度越大当时,不具备上述特征,从而,找不到合适的常数,使得点都在直线附近。所以,越接近于0,则相关程度越小。9、关于不等式的几何背景 几何背景:如图,在三角形中,则 Q(c,d) O P(a,b)将以上三式代入余弦定理,并化简,可得 或因为,所以,于是 .柯西不等式的相关内容简介(1) 赫尔德(Holder)不等式 当时,即为柯西不等式。因此,赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式,在分析学中有着较为广泛的应用。(2) 平面三角不等式(柯西不等式的等价形式) 可以借助其二维形式来理解,根据三角形的两边之和大于第三边,很容易验证这一不等式的正确性。该不等式的一般形式 称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的,即对于点,定义其距离为 .闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何,建立了一种类似于现代度量空间的理论,即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。
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