柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，等号成立条件：扩展：等号成立条件：二维形式的证明：三角形式三角形式的证明：向量形式向量形式的证明：一般形式一般形式的证明：证明：推广形式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。或者：或者推广形式的证明：推广形式证法一：或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，这个不等式并不难，可以简单证明如下：付：柯西（Cauchy）不等式相关证明方法： 等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 = 恒成立即当且仅当 即时等号成立证明（2）数学归纳法 （1）当时 左式= 右式=显然 左式=右式当 时， 右式 右式 仅当即 即时等号成立故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立即 当 ，k为常数， 或时等号成立设 则 当 ，k为常数， 或时等号成立即 时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例1：设a、b、c为正数且互不相等。求证：. 均为正数 为证结论正确，只需证： 又 又互不相等，所以不能取等原不等式成立，证毕。2、求某些特殊函数最值例2：函数的定义域为5，9,3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） （2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证明不等式例 3已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故5、 解三角形的相关问题例 4设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。6、 求最值例5已知实数满足， 试求的最值 解：由柯西不等式得，有即由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立，代入时， 时 7、利用柯西不等式解方程例6在实数集内解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得 8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，则，由柯西不等式有，当时，此时，为常数。点 均在直线上，当时，即而为常数。此时，此时，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。9、关于不等式的几何背景 几何背景：如图，在三角形中，则 Q（c，d） O P（a，b）将以上三式代入余弦定理，并化简，可得 或因为，所以，于是 .柯西不等式的相关内容简介（1） 赫尔德(Holder)不等式 当时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式） 可以借助其二维形式来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。该不等式的一般形式 称为闵可夫斯基（Minkowski）不等式。它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点，定义其距离为 .闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。