高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案 时间： 2016/3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟. 1. （本小题满分15分） 设集合，（1）若求的值； （2）若,求的取值范围； （3）若,求的取值范围.2.（本小题满分15分）设（1） 求证：（2） 为单调函数时，是否有？请说明理由.3（本小题满分15分）已知函数在有最大值5，求实数的值4（本小题满分15分） 已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论5（本小题满分15分）已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.6（本小题满分15分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，。（1） 证明：；（2） 求二面角的大小。7（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数 f(x)x22xb(x R)的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论8（本小题满分20分） 设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x20，都有且f（1）=a0 （） （）证明是周期函数； （）记求9（本小题满分20分）设是R上的奇函数，且当时，.（1）若，求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若的值域为，求的取值范围.高一数学竞赛试题参考答案1、解： （1） 即，解得 当时， 当时， 综上（2） 当时，则该一元二次方程无解，即0，即 当时，则该一元二次方程有解，即0，即1. 当时， 2. 当时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2 ，即 ，即 （舍） ,综上（3） 当0时，即，所以只需将1代入方程中得;将2代入方程中得所以综上，的取值范围为2、3、解： 令，则，从而令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最大值5，故符合条件； 当时，矛盾！当时，矛盾！综上所述，所求的实数 4、解(1)若yf(x)为偶函数，则f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，这与f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0，这些f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)f(14x)，f(14x)f(4x)，即f10(x4)f(4x)f(x10)f(x)，即函数f(x)的周期为10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即x110n和x310n(nZ)均是方程f(x)0的根由2 011110n2 011及nZ可得n0，1，2，3，201，共403个；由2 011310n2 011及nZ可得n0，1，2，3，200，201，共402个；所以方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上的根共有805个5、解：设，则的二根为和.（1）由及，可得 ，即，即 两式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同号. ，等价于或,即 或解之得 或.6、【解析】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二面角的大小为7、【解答】 (1)令x0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)x22xb0，由题意b0且0，解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0.令y0得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb.令x0得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1.所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0. (3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为xy2x0y0b(1y0)0.(*)为使(*)式对所有满足b1(b0)的b都成立，必须有1y00，结合(*)式得xy2x0y00，解得或经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆C上，因此，圆C过定点 9、解：（1） 所以 (2)等价于 （1）时，解得：； （2），解的 综上， （3）设, 由题意知，若函数的值域为R，只需 高一数学竞赛试题 第 15 页 共 15 页