二次函数图像与性质(提高)

济学教育 初四 上册 第二单元 二次函数 第二课时 第 1 页 共 6 页 二次函数概念及图象性质 知识点一 二次函数的概念 一 二次函数的定义 1 一般地 形如 为常数 的函数称为 的二次函数 其中 为cbxay 2a 0 axx 自变量 为因变量 分别为二次函数的二次项 一次项和常数项系数 2 任何二次函数都可以整理成 为常数 的形式 cxy2b 3 判断函数是否为二次函数的方法 含有一个变量 且自变量的最高次数为 2 二次项系数不等于 0 等式两边都是整式 4 二次函数自变量 的取值范围是全体实数 x 例 1 下列函数中是二次函数的是 A B C D 2 13yx 32yx 2yx 2yx 练 1 下列函数中 哪些是二次函数 并指出二次函数的二次项系数 一次项系数和常数项 2xy 21x12 xy xy 练 2 下列说法正确的是 A 二次函数的自变量的取值范围是非零实数 B 圆的面积公式 中 是 的二次函数2Sr Sr C 不是二次函数 142yx D 中一次项系数为 1 练 3 已知函数 为常数 21ayxx a 当 为何值时 此函数为二次函数 a 当 为何值时 此函数为一次函数 济学教育 初四 上册 第二单元 二次函数 第二课时 第 2 页 共 6 页 练 4 已知函数 当 是什么数时 函数是二次函数 这个二32 m1y 2 XX m 次函数的解析式是多少 知识点二 二次函数的图象性质 一 二次函数 的性质2yax 0 1 抛物线 的顶点是坐标原点 0 0 对称轴是 轴 0 xy 2 函数 的图象与 的符号关系 2xy 当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点 0 a 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 二 二次函数 的性质2 0 yaxc 1 抛物线 的顶点是坐标原点 0 c 对称轴是 轴 0 xy 2 函数 的图象与 的符号关系 xy2a 当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点 a 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 0 3 函数 的图象可以看做是由函数 的图象向上或向下平移 个单位得到的 cxy 2 2axy c 三 二次函数 的性质ba2 0 a 1 对称轴 x 2 顶点坐标 4 2 2ac 3 最值 济学教育 初四 上册 第二单元 二次函数 第二课时 第 3 页 共 6 页 图1 图2 时有最小值 如图 1 0 aabc4 2 时有最大值 如图 2 2 4 单调性 二次函数 的变化情况 增减性 cbxay 20 a 当 时 对称轴左侧 随着 的增大而减小 在对称轴的右侧 0 yx abx2 随 的增大而增大 yx 当 时 对称轴左侧 随着 的增大而增大 在对称轴的右侧 aabx2 随 的增大而减小 四 二次函数 的性质khxy 2 0 1 对称轴 2 顶点坐标 k 3 最值 图1 图2 时有最小值 如图 1 0a k 时有最大值 如图 2 五 二次函数 的性质21 yax 0 a 1 对称轴 2 济学教育 初四 上册 第二单元 二次函数 第二课时 第 4 页 共 6 页 2 与 轴的交点坐标为x21 0 x 六 二次函数的图象与系数的关系 1 的符号决定抛物线的开口方向 a 当 时 抛物线开口向上 0 当 时 抛物线开口向下 2 决定抛物线的开口大小 a 越大 抛物线开口越小 越小 抛物线开口越大 3 和 共同决定抛物线对称轴的位置 抛物线的对称轴 ab 2 bxa 当 时 抛物线的对称轴为 轴 0 y 当 同号时 对称轴在 轴的左侧 当 异号时 对称轴在 轴的右侧 ab 简要概括为 左同右异 4 的大小决定抛物线与 轴交点的位置 抛物线与 轴的交点坐标为 cyy 0c 当 时 抛物线与 轴的交点为原点 0 当 时 交点在 轴的正半轴 当 时 交点在 轴的负半轴 c y 七 根据二次函数的图象判断代数式符号 1 决定了函数图象与 轴的交点情况 24bac x 当 有两个交点 0 当 有一个交点 2c 当 没有交点 4ba 2 当 时 可以得到 的值 1xabc 当 时 可以得到 的值 济学教育 初四 上册 第二单元 二次函数 第二课时 第 5 页 共 6 页 二 二次函数 的图象与性质2yax 0 例 1 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象 并探究 2yx 2x 23y 2x 二次函数开口大小与 之间的关系 例 2 如图 四个二次函数的图象中 分别对应的是 2yax 2ybx2ycx 2ydx 则 的大小关系为 abcd 432 1xoy A abcd B C D 三 二次函数 的图象与性质2yaxc 0 例 3 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象 并回答下21yx 2x 23yx 列问题 抛物线 的形状是否发生改变 1y23 对称轴是否发生改变 将抛物线 向 平移 单位得到1 2y 将抛物线 向 平移 单位得到2y 3 例 4 函数 的图象可以看做是函数 的图象向 平移 个单位得到的 23x 2yx 例 5 二次函数 的图象开口 当 时 随 的增大而减小 y yx 二次函数 的图象开口 当 时 随 的增大而增大 25 二次函数 的图象开口 当 时 随 的增大而增大 7x 例 6 已知抛物线 与 轴有两个交点 且开口向下 则 的取值范围分别是 2 0 yab x ab A B 0 0ab C D ab 济学教育 初四 上册 第二单元 二次函数 第二课时 第 6 页 共 6 页 例 7 已知函数 当 取 时 函数值相等 则当 取 时 函数值为 25yx 221 x x21 抛物线 的形状是否发生改变 1y23 对称轴是否发生改变 将抛物线 向 平移 单位得到 1 2y 将抛物线 向 平移 单位得到 2y 3 例 8 抛物线 的顶点坐标是 对称轴是 25x 抛物线 的开口方向 顶点坐标 对称轴是34y 当 时 随 的增大而增大 yx 24 如图 已知抛物线 y x2 x 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 1 求点 A B C 的坐标 2 点 E 是此抛物线上的点 点 F 是其对称轴上的点 求以 A B E F 为顶点的平行四边形的面积 3 此抛物线的对称轴上是否存在点 M 使得 ACM 是等腰三角形 若存在 请求出点 M 的坐标 若 不存在 请说明理由