3第三章-流体运动学

第三章 流体运动学31 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =aekt，y =be-kt，z =c，式中k是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c的平面上运动，消去时间t后，得xy=ab上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a，b）,则为一确定的双曲线。（2） （3）32 已知流体运动，由欧拉变数表示为ux =kx，uy =ky，uz =0，式中k是不为零的常数。试求流场的加速度。 解：，33 已知ux =yzt，uy =zxt，uz =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。解： 34 已知平面不可压缩液体的流速分量为ux =1y，uy =t。试求（1）t =0时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。 解：（1）迹线的微分方程式为积分上式得：，当t=0时，y=0，C1=0，所以 (1)，积分上式得： 当t=0时，x=0，C2=0，所以 (2)消去（1）、（2）两式中的t，得有理化后得 （2）流线的微分方程式为，积分上式得当t=1时，x=y=0，C=0，所以可得：（为非恒定流）35 已知ux xt，uy yt，uz 0，试求t 2时，通过点A（1，1）的流线，并与例33相比较。解：由例33可得：当t=2，x=1，y=1，C=3。因此，通过点A（1，1）的流线为 上式不同于例33，即当t=0时通过A点的流线为xy1，说明不同时刻的流线不同。36 试求例36流体运动的流线方程和流体质点通过点A（1，0）流线的形状。解：例36流体运动如题3-6图所示 ，题3-6图流线方程： 积分，得，圆心（0，0），半径。当x=1，y=0，代入上式得C2=1。（）=1，为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。37 已知，=0，式中是不为零的常数。试求：（1）流线方程，（2）t =1时，通过点A（1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题36求得的流线方程相比较，它们有什么异同。解：=0，为平面（二维）流动。（1）流线方程 将、代入上式，得 ，积分得 ，流线方程一般形式：。（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C2=1；流线为=1，流线的形状为一圆。（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如t=2，x=1，y=0，C2=2，38 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程。（1）uxky，uykx，uz0；（2）uxkx，uyky，uz0；（3）ux，uy，uz0；（4）uxay，uyuz0；（5）ux4，uy uz0；（6）ux1， uy 2；（7）ux 4x，uy 0；（8）ux 4xy，uy 0。解：平面流动中，不可压缩均质流体的连续性方程为（1）000；（2）kk=0；（3）；（4）000；（5）000，（6）000；（7）400，（8）4y00。（1）(6)的流体运动满足连续性方程；（7）、（8）的流体运动不满足连续性方程，实际上流动是不能实现的。39 已知水平圆管过流断面上的流速分布为， umax为管轴处最大流速，r0为圆管半径，r为点流速u距管轴的径距。试求断面平均速度v。解： 310 已知水平圆管过流断面上的流速分布为，umax为管轴处最大流速，为圆管半径，y为点流速ux距管壁的距离。试求断面平均流速v。解：。311 设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。已知圆管直径dA 0.2m，流量Q 0.014m3/s；dB 0.1m。试求经过圆管内点A和收敛管嘴内点B的过流断面的平均流速vA、vB。注：经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为（不包括底面面积）。 解：=经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺面积AB，式中h（0.050.05cos450）m =0.015m，0.05m。因此 312 送风管的断面面积为50 cm50cm，通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气，如图所示。已知送风口断面面积均为40 cm40cm，气体平均速度均为5m/s，试求通过送风管过流断面11、22、33的流量和流速。解：Q=5 ， ，313 蒸汽管道如图所示。已知蒸汽干管前段的直径d0 50mm，流速v0 25m/s，蒸汽密度0 2.62kg/m3；后段的直径d145mm，蒸汽密度1 2.24kg/m3。接出的支管直径d2 40mm，蒸汽密度2 2.30kg/m3；试求分叉后的两管末端的断面平均流速1、2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。解： （1） （2）联立解（1）、（2）两式，可得 314 空气以标准状态（温度t0 =15，密度0 =1.225 kg/m3，压强p0 =1.013105Pa）进入压气机，流量Qv为20m3/min；流出时温度t为60，绝对压强p为800103Pa；如果压气机出口处流速限制为20m/s。试求压气机的出口管径d。解：由状态方程，计算压气机出口处的气体密度，即由连续性方程求出口管径d，因 ，。315 在直径为d的圆形风管断面上，用下法选定五个点来测量局部风速。设想用与管轴同心，但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分，如图所示。测点即位于等分此部分面积的圆周上。这样测得的各点流速，分别代表相应断面的平均流速。试计算各测点到管轴的距离，以直径的倍数表示；若各点流速分别为u1、u2、u3、u4、u5，空气密度为，试求质量流量Q。解：根据题意先将总圆面积五等分，再将每一等分面积用同心圆划分为相等的两部分。这样，由内到外的同心圆所包围的面积，分别为总圆面积的1/10、3/10、5/10、7/10、9/10，相应的半径即为测点到管轴的距离。因此，, ，（）等分面积A= ，质量流量为 =316 试求下列流动中的线变率、角变率。（1）ux ，；（2）ux2y，uy 2x。解：(1) ，(2)，rad/s，317 已知水平圆管过流断面上的流速分布为，为管轴处最大流速，为圆管半径，r为点流速ux距管轴的距离，r2=y2+z2，uy=0，uz=0。试求角变率zx、角转速z，该流动是否为有势流。解： 因为，所以不是有势流。318 已知uxx2yy2，uyx2y2x，试求此流场中在x1、y2点处的线变率、角变率和角转速。解：线变率: ，角变率: 角转速: 在x=1、y=2点处：319 试判别习题38（1）（6）所列流动中，哪些是无涡(有势)流，哪些是有涡流。解：平面流动中，无涡流的流速场必须满足或，否则为有涡流。根据习题38的计算结果得（1）= ，；，无涡流；除原点以外是无涡流；（4）0a，有涡流；（5）00，无涡流；（6）00，无涡流。320 已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ，、g、J、均为常数，uy =uz=0。试求该流动的涡线方程。解：，涡线微分方程为 所以可得 或上式说明涡线是与管轴同轴的同心圆。321 若在例37流场中的一个平面内，作一圆形封闭曲线，如图所示。试求沿圆周线的速度环量，是否为有势流。解：例37流场为均匀直线流 为有势流。322 试以速度环量来判明例36中的流动，除原点（r0）外是有势流。题3-22图O解：沿图中阴影线部分周线的速度环量 为所以，所论区域是有势流动。这一结论可适用于任何不包括圆心的周线AFGCDHEBA。但是，若取绕O点（包括圆心）的闭合圆周作为周线，则为常数。所以，任何包括O点的圆周的速度环量均不等于零，而且当半径r自 到0，速度环量均等于同一常数2。由此可知，仅在O点有漩涡存在，在工程流体力学中称这点为奇点。这一结论和例36是一致的。323 已知ux 7y，uy 9x，试求绕圆x2y21的速度环量。解：因为x2y21，圆的半径r1，所以xrcoscos，yrsinsin。代入上式得 25