高考数学试卷北京卷分析.doc

2008年高考数学试卷（北京卷）试题分析（第三部分） 20080616参加编写人员：关闳、李梁、刘甦、宁少华、杜君毅、陆群、曾建川、王海涛、张晓东、于伟东、姚晖、于龙、张红敏、欧阳昕、党胜军、周建军、杨宝华、白雪解答题（15）（文理相同）已知函数的最小正周期为，（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围【命题意图】本题考查三角函数中的诱导公式、降幂公式、二倍角公式、辅助角公式及三角函数（或）的图象、性质、最小正周期公式等基础知识考查利用三角公式进行恒等变形的技能和基本的运算能力【正确解法】（）解法1：的最小正周期为，且，解法2： 以下同解法1（）解法1：由（）得 即函数在区间上的取值范围为0，解法2：由（）得 即函数在区间上的取值范围为0， 解法3：由（）得 由 得 的单调增区间为 由 得 的单调减区间为 在上是增函数，在上是减函数； ， ， ， 即函数的取值范围为0，解法4：由（）得 ，令，得 ， ， ， 函数的取值范围为0，解法5：作出函数，或的图象， 由图象得所求（图象略）【理科学生的主要问题】1公式写错，如诱导公式不会用或用错，将写成了，或是，降幂公式错写成，或是等，辅助角公式中的符号出错，如，还有运用辅助角公式时，特殊角配错，如化成了，等，这些均导致第一问解析式错2思路不清，变形方向不明确，如将解析式变形为：得出的错误结果3对三角函数最小正周期的概念理解不到位，出现以下错误解答：有函数的最小正周期为，得，然后将代入原式，通过恒等变换得，再求的取值范围4函数的概念不清，将第二问中的范围，错误地理解为的范围，或是的范围了5表述中只有结论，没有推理过程，特别是第二问最值取得的理由叙述不清6用图象法解答时，作图不准确7心理紧张，不仔细审题，抄错数或”丢三落四”（如将解析式中的丢掉），计算不准确，有些学生甚至出现错上加错【文科学生的主要问题】典型错误一 （1）由，可得 （2） 因为 ， 所以 所以 因此，即的取值范围是典型错误二 （1）同正确解法一的第一问 （2）由（1）得 因为 ， 所以 所以 因此，即的取值范围是本题解答过程中考生出现的错误有1 公式记忆不清如： ，2 定义域、值域的概念不清如：由3 特殊角的三角函数值记忆不清如： 4 求值域说理不清5 运算错误如：在运算过程中【教学建议】 三角恒等变形对于学生来说是一个难点，应多加强对学生三角恒等变形的训练，重视基础知识和技能培养，不要赶进度而忽略第一轮基本知识的复习在三角函数的教学中强调数形结合的数学思想方法，借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质三角函数内容最在高考中一般大都是比较基本的题型，涉及的内容主要有考查三角函数恒等变形，考查三角函数的图象和性质，尤其是最值和周期为了提高试题的得分率，我们在平时的教学中应注意以下几点：1. 要讲清楚各公式的来龙去脉，把握公式的结构特征和相互之间的关系；2. 重视学生对知识理解的准确性和深刻性，在理解的基础上记忆公式，对公式的正用、逆用和变形使用的训练要落实到位；3. 注重错因分析，在教学中注意培养学生数形结合的思想及整体思想4. 要培养学生良好的思维习惯，解题过程的表述要追求科学、严谨、规范（16）理科：如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离文科：如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小【命题意图】知识上：主要考查直线与直线，直线与平面位置关系；二面角；点到平面的距离等基础知识能力上：考查空间想象能力和逻辑推理能力试题特点：【正确解法】（）证明：方法一：取中点，连结， ， ， 平面 平面， 方法二：，又 ， ， 平面 平面， 方法三：， ， ， 平面 平面， 方法四：，且，平面 是在平面上的射影，利用方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）证明出根据三垂线定理得 方法五：利用方法二或方法三证明出，又，且，如图以C为原点建立空间直角坐标系，Cxyz，则， （）解：方法一：若（）中已求出取中点，连结， 则 又 ， 是二面角的平面角在中，有余弦定理 方法二：利用（）中方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）正确证明出平面作于点，连结根据三垂线定理得出 以下同（）中方法一（，或） 方法三：”面积射影定理”利用（）中方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）知平面的射影为， 方法四：由（）知平面，平面平面过作垂足为，取线段中点，连结平面平面，平面平面，在等腰中，由三垂线定理知为所求的角利用（）中方法二平面， 又平面在Rt中， ，方法五：利用方法二或方法三证明出，又，且， 如图以C为原点建立空间直角坐标系，Cxyz，则设，取AP中点E，连结BE，CECEAP BEAPBEC是二面角BAPC的平面角二面角BAPC的大小为 方法六：利用方法二或方法三证明出，又，且，如图以C为原点建立空间直角坐标系，Cxyz，设向量为平面PAB的一个法向量， 向量为平面PAC的一个法向量 由易知CB平面PAC，设， 又 二面角BAPC的大小为()方法一：由（）知平面，平面平面过作垂足为，取线段中点，连结平面平面，平面平面利用（）中方法二平面， 又平面在Rt中， 方法二：根据，得出点在平面上的射影为正的外心（即正的中心） 计算出（或） 根据勾股定理正确求出 方法三：利用等体积的方法：， ， 代入公式 方法四：（向量法一）在平面内射影为正的中心，且的长为点到平面的距离 如()建立直角坐标系点坐标为 方法五：（向量法二）如()建立直角坐标系平面的法向量 点到平面的距离 方法六：（向量法三） 如()建立直角坐标系设平面的法向量，平面的法向量 点到平面的距离 【学生的主要问题】1 “三垂线定理”使用不当，利用三垂线定理证明两直线垂直时，缺乏”直线与平面垂线”这一前提条件而直接得射影；利用三垂线定理作二面角时，缺乏”直线与平面垂线”证明这一重要环节”三垂线定理”使用上，文科同学问题更多一些2利用向量法解题时，许多学生直接以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，忽视了缺少了“”这一重要条件，应该先证明，再建系3计算能力差，主要表现在解三角形、求法向量等问题上4图形语言、符号语言表述上不规范【教学建议】1依纲靠本，控制难度从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本我们在复习备考中，一定要依纲靠本，进行一题多解和多题一解的教学，吃透教材的实质，还要控制好题目的难度，不出偏题、怪题2理据充分，规范答题从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生”会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”3重视想象，识图画图立体几何是培养学生空间想象力的数学分支在具体要求上，要把握好以下三点：1、培养学生识图、想图、画图的能力（包括规范图形和非规范图形）；2、培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来；3、培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注4几类问题的注意事项：（1）线面平行与垂直问题a、 采用综合法思考问题：由已知想性质定理，由求证想判定定理，“两头夹”b、 每一个结论都要申明条件，做到“有理由据”c、 要重视“三垂线定理”，应为它是立体几何的“半壁河山”（2）空间的角与距离问题a、先证后算b、求角和距离的关键将空间的角和距离转化为平面上的角和距离，然后将所求量置于一个三角形内，通过解三角形最终得到所求c、异面直线所成角是锐角或直角当解三角形得到角的余弦值是负值时，不能直接套用反三角函数公式d、 在解答题中求二面角的平面角时，不能直接利用结论： （3）几何体的面积与体积问题a、 正确记忆公式b、 要抓住反映多面体、旋转体特征的三角形、梯形、轴截面、平行于底面的截面等c、 对于截面分几何体所成两部分的面积或体积的比值问题，除直接求解外，常用方法是先求出其中一部分的面积或体积占原有几何体的几分之几，然后再求所需比值（17）理科：甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列【命题意图】本题通过一个具有时代背景的应用题，考查学生对概率模型的识别与建立，以及用排列组合的基本公式计算等可能性事件的概率的能力；考查求离散型随机变量的分布列的基本知识和方法；考查分类讨论、化归等数学思想方法，以及学生的逻辑思维能力和数学应用的意识【正确解法】（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件法一：即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是法二：法三：法四：法五： （）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E法一：所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是法二：法三： 法四： 法五：法六：法七： 法八： （）法一：随机变量可能取的值为1，2事件“”是指有两人同时参加A岗位服务，则所以的分布列是12P法二：，法三： ，法四： ，法五：，法六：，法七：因为4个岗位中，有三个岗位有1人，有一个岗位有2个人，每个岗位有2人的概率相等，所以是等可能事件每个岗位的人数分配如下表：ABCD2111121111211112所以，【学生的主要问题】1表述不规范如：记甲参加A岗位服务为事件A，乙参加A岗位服务为事件B；引入的字母没有说明含义，也没有作答，没有指明所求的概率是什么事件的概率，只有算式；设事件为A等2对概率根本不理解，如出现等常识性错误；随机变量分布列中出现概率大于1及随机变量所有取值对应的概率之和不等于1等3计算结果没有化简或运算错误如；等4事件之间的关系分析错误如认为甲参加A岗位服务与乙参加A岗位服务是两个独立事件，得解法（）；（）记甲、乙参加同一岗位服务为事件C，5误认为事件“甲、乙两人不在同一个岗位服务”与事件”甲、乙两人同时参加A岗位服务”为对立事件6题意理解错误，忽略条件“每个岗位至少有一名志愿者”，得解法（）；（）7计算中分子、分母所涉及的基本事件混乱，不是取自同一基本事件空间如（）；等 （）；等8模型错误，不加思考的套用平时做过的题目，出现张冠李戴的现象如（），等9不理解随机变量的含义，误认为其值可取0，1，2；1，2，3，4，5；0，1，2，3，4，5等【教学建议】1注意表述规范、简洁、准确；2加强运算能力，计算要准确；3准确理解概率的统计定义及其基本性质，理解概率统计的思想和方法；4加强阅读训练，正确理解题意，提高审题能力；5结合典型题目，分析清楚事件之间的关系，准确地将所求事件用简单事件或已知概率的事件表示出来；6重视等可能性事件概率的教学，重点是抓住基本事件空间的确定要满足模型的两个条件；7同一个问题，可能有多种建模方式，要注意对模型的理解和选择，提高思维的灵活性；8教学中要给学生思考的时间，创造交流的机会，使学生在问题的解决和交流中提高理性思维能力文科：已知函数，且是奇函数（I）求，的值；（II）求函数的单调区间【命题意图】考查范围与要求层次考查范围要求层次ABC函数函数单调性奇偶性解不等式一元二次不等式导数基本导数公式两个函数的和、差、积、商的导数导数的应用函数的单调性利用函数奇偶性求函数解析式、利用导数求函数的单调区间，是高考的热点尤其是利用导数求函数的单调区间，这种解决问题的方法可以使复杂问题变得简单化，是导数应用的关键知识点本题存在三个参数，根据已知条件，由函数奇偶性，可确定其中的两个利用导数求函数的单调区间时，需要对另一个参数进行分类讨论分类讨论思想在本题中对学生进行了考查【正确解法】方法一：解：（）因为函数为奇函数， 所以，对任意的，即 又， 所以 所以 解得 （）由（）得 所以 当时，由得 当变化时，的变化情况如下表：_0 所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，所以函数在上单调递增方法二：解：（）因为函数为奇函数，且 所以函数其偶次项系数为 所以 解得（）由（）得 所以当时，恒成立，所以，当时，函数单调递增区间为 当时， 令，解得或 令，解得所以，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为 方法三：解：（）因为函数为奇函数，且 所以 即解得（）同上【学生主要问题】1审题时没有注意到“”这个条件；2概念混淆如：认为； 是奇函数，认为也是奇函数； 是奇函数，认为导函数也是奇函数；将函数单调递增区间写为；3计算化简出错如：由得； 不能通过已知条件正确推导出； 在整理得到等式“”时，符号出现错误； 解时，得到；4求解单调区间时，没有对的正负进行讨论5规范用语，规范书写问题如：将函数单调递增区间写为或；将函数单调递增区间写为；【教学建议】含参问题通常需要分类讨论，而分类的合理性，是正确解题的关键，也是学生的难点，应加强判断分类依据的训练；要加强基本运算的训练，特别是对含字母的二次方程（不等式）运算的训练；要重视单调区间的准确书写，总之，平常教学中，要注重基础知识的准确掌握，注重基本技能的准确运用，要注重通性通法的教学；要注意初高中知识的衔接；多数文科学生数学基础较差，对学习数学没有兴趣，甚至有恐惧感，因此，对于文科学生的教学要注意引发学生的兴趣，应该侧重直观、具体、规范、准确，由易到难，尽量减少因文理思维跨度过大而造成的学习上的差异（18）理科：已知函数，求导数，并确定的单调区间【命题意图】 本题主要考查导数的运算，不等式的解法以及运用导数研究函数单调性等基础知识，考查分类讨论思想的运用【正确解法】解法一：令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减解法二： 令，即当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减解法三：令， 当时，令，则令，则当时，令，无解 令，所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减当时，所以函数在上单调递减，在上单调递减【学生主要问题】1 求导出现错误：“”；“”；“”2 在写出“”后出现的错误：“当，则”；“当，则”3 单调区间的写法错误：“当时，函数在定义域上单调递减”； “当时，函数在上单调递减”；“当时，函数在上单调递减”；“当时，函数在上单调递减”等4 忽视定义域，例如“当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减”5 不知怎样讨论，例如，讨论等6 解答不完整，例如求出导数大于（或小于）0的解后，不写出相应的单调区间等【教学建议】：1 提高导数的基本运算、二次不等式和分式不等式的运算的正确性，特别是最高次项的系数为负数的不等式的运算，和含有字母系数的不等式（方程）的运算；2 注重对分类讨论问题中，寻找分类依据的训练；3 注意单调区间书写的准确性；4 平常教学中，要注重基础知识的准确掌握，注重基本技能的准确运用，要注重通性通法的教学；要注意初高中知识的衔接，高一刚开始的教学应该尽量侧重直观、具体、规范、准确，减少因跨度过大而造成的学习上的差异文科：甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名自愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率【命题意图】本题主要考查古典概率的计算，考查将复杂事件分解成简单事件的能力在求一个事件的概率时，首先要清楚这一事件的内涵，并且在求概率时，要善于将这一事件分解成互斥事件的和【正确解法】（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件，那么 方法1： 方法2：方法3：即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是（）方法1：记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是方法2：记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是方法3 ：即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是甲乙两人同时参加同一岗位的概率为所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是方法4：记甲、乙两人不在同一岗位服务为事件F，那么 【学生的主要问题】1事件和概率分不清楚，出现这样的错误“记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，则E=”2没有没有弄清概率模型，利用n次独立重复试验模型解题出现这样的错误“”3选择了正确的古典概型，在计数原理上出现问题没有注意到题目中要求每个岗位至少有一名自愿者，在对基本事件的总数计数时用来求，出现错误；在对基本事件的总数计数时用来求，这样分在同一组的两个志愿者就会出现先被选出还是后被选出的不同情况，从而出现先后顺序，这样在总数上就多出一倍，这种问题是在考生中出现最多的4 在用古典概型进行计算时，分子分母选择的基本事件不具有等可能性5在第二个问中没有用到对立事件求概率的方法，从而加大了解题的难度6用直接法解第二个问时不能正确分组，漏掉了一些情况【教学建议】1. 教学过程要重视对概率模型的正确区分，加强对各种概率模型的辨识能力的训练比如分清抽样是放回抽样还是不放回抽样，在求等可能概型的事件的概率时，一定要注意两点：等可能概型中事件的概率计算公式中的分子和分母必须在相同的模型下考虑，并且考虑的所有基本事件具有等可能性2. 在用古典概率模型时，对基本事件个数计数是否准确很重要，这就要求对排列组合的知识掌握的比较好，所以排列组合是学好概率的一个基础3. 在求一个事件的概率时，首先要清楚这一事件的内涵，并且在求概率时，要善于将这一事件分解成互斥事件的和4. 要强化学生将复杂事件分解成简单事件的能力（19）理科：已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值【命题意图】以直线、椭圆和菱形等有关知识为载体，考查学生分析及解决解析几何问题的能力，以及数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想 具体包括明确问题的情境，明确定量及变量间制约关系，设定恰当的参变量，将几何制约转化为参变量之间的数量关系，整体把握消元的方向求解，或设而不求简化运算 通过建立适当函数解决最值问题尽管多种方法角度不同，呈现形式不同，但本质一致从中可以体会数形之间的完美结合，等价转化的神奇力量，理解变量之间辩证统一的制约关系【正确解法】（）解法一分析：确定直线只需确定点，四个变量只需据题意建立四个关系式，解方程组即可对消元求解有较高要求解：设两点坐标分别为，（）由题意解得两点坐标分别为所以直线的方程为解法二分析：关注到直线斜率为，设方程为，减少变量个数；挖掘对称特征，转化为中点在直线上，利用韦达定理，设而不求简化运算解：由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以，于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以，所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得所以直线的方程为，即类似的，从不同角度展示对称特征，结合点坐标，满足及，也可得到对消元求解有一定要求具体如：（1）点到直线距离相等，得到（2）点到点（0，1）距离相等，得到（3）点（0，1）到直线的距离即点（0，1）与中点距离，解法三分析：关注到点在椭圆上，直线斜率为，中点在直线上，利用点差法简化运算解：设两点坐标分别为，因为在椭圆上，由，得，因为四边形为菱形，所以，所以直线的斜率为，即所以，设的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得则的中点坐标为所以直线的方程为，即类似的，关注到中点即与交点，有如下解法：同解法三中 设直线的方程为由，得到的中点，有，即所以直线的方程为，即或者同解法二，设直线的方程为并得到的中点坐标由，得到的中点故，即所以直线的方程为，即对比解法二及解法三：解法二用直线与椭圆方程联立的方法得到的中点坐标解法三用代点作差的方法得到关于相交弦斜率及中点的关系，容易得到中点两者都揭示了中点的坐标特征，利用设而不求简化运算，本质相同前者普遍适用于直线与曲线相交问题，而后者更适用于与相交弦中点及斜率有关的特殊问题解法四分析：注意到点关于特殊直线：对称，易求得对称点坐标，因为点在椭圆上，联立后根据曲线与方程的思想得到二元一次方程即为所求解：设点坐标为，因为关于直线：对称，所以点坐标为因为在椭圆上，由整理得到即或因为点在直线上，且直线的斜率为，所以直线的方程为 类似的，由解得或所以直线的方程为（）解：因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得所以，（）所以当时，菱形的面积取得最大值类似地由，得到，菱形的面积，()所以当时，菱形的面积取得最大值注：由中点在椭圆内，即，得到的取值范围；或根据弦长，得到，即【学生的主要问题】1审题方面（1）认为菱形的顶点在椭圆上，求得中点代入直线的方程（2）对已知“直线斜率为1”置之不理设直线的方程为，直线的方程为造成参数过多，增大运算量，导致运算错误 顾此失彼，不考虑斜率为1，斜率为的制约关系，认为当最长为椭圆长轴长4时，菱形面积最大（3）第（）问中的条件及结论被用在第（）问中，直接求直线为时菱形的面积（4）不能理解题意，求椭圆焦点、离心率及准线等无关量2分析解决问题方面（1）公式记忆不清、运算及抄写错误如或；，；菱形的面积=，对角线关系写为，如椭圆与直线方程联立消元，出现，弦长等化椭圆方程为标准方程，出现繁分式，造成运算错误（2）不能将点在椭圆上转化为直线与椭圆相交的典型问题，不能将菱形中点关于直线对称问题转化为确定斜率的弦中点问题（3）设定参数较多，如设：，建立了多参数之间的复杂关系，作茧自缚造成无从下手，或者没有消参方向，越算越复杂（4）写出点关于直线对称后，不会列关系式，或者列出的关系式较复杂，不会消解（5）根据几何草图直观推断或主观猜想，缺乏规范的推理如不加说明，直接认为当过原点时菱形的面积最大，导致失分；根据几何草图认为过原点或认为过或导致错误；对，认为直线的倾斜角为或（6）思维不严谨忽视已知条件中“在椭圆上”对直线：中的参变量的制约，不考虑的取值范围，或理解为（7）不考虑适用条件，应用均值定理解决面积最值问题【教学建议】1重视培养观察、理解问题的能力 明确条件能启发解题手段，结论能引导解题方向的作用教学中给予学生充足时间，逐字逐句反复审题，充分挖掘题目中的信息，明确条件中运动与静止，变量与定量、特殊与一般的关系，遇到困难时不断从题目中寻求支持 2重视解析几何基本思想方法的教学注重数形结合能力的培养，提高文字语言、数学语言及图形语言的转化能力；落实典型问题中的通性通法，如中点弦问题，对称问题，函数最值问题，消参的方向及方法深入理解典型方法中蕴涵的本质含义，能够建立问题情境与方法之间的联系3培养分析和解决问题的能力，从日常教学做起，以问题为载体，发挥学生主体作用，在学习过程中敢于放手，提高学生的思维参与度，师生互动，使学生在解决问题的过程中理解问题的本质涵义培养整体意识，注重问题及方法之间的区别与联系，加强总结反思，使学生能够领悟鲜活的数学思想避免将问题过分模式化，生搬硬套4加强双基的落实正确掌握基本概念及基本公式，如一元二次方程的根与系数关系，弦长公式，面积公式及二次函数最值等内容提高运算的准确性数学思想方法的展示依赖正确的概念、公式及运算，否则将成为无米之炊文科：已知ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l：y=x+2上，且ABl（）当时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程【命题意图】本题考查了平面解析几何中的基本的方法及内容，如直线的方程、两条直线的位置关系、弦长公式、平行线间距离公式、勾股定理、直线和椭圆的位置关系、用方程的判别式作为约束条件分析函数的最值等，重点突出了用代数方法研究几何问题这一解析几何的基本思想方法 【正确解法】：（）解一：因为ABl，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x设A，B两点坐标分别为（x1，y1），(x2，y2)由得所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以解二：设A点坐标（x1，y1）由得又AB边通过坐标原点O，KOA=1即，从而解得：因为A（1，1），B（-1，-1）所以 再回到上解（）设AB所在直线的方程为y=x+m 由得因为A，B在椭圆上，所以设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则所以又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即所以所以当m=-1时，AC边最长（这时）此时AB所在直线的方程为y=x-1【考生的主要问题】考生在答题过程中容易出现以下几种错误：1相当一部分不能正确画出图示，完全不能理解题目意思，不懂所给直线直线l与直线 AB，直线 AB与椭圆的位置关系，花了大篇篇幅求椭圆的基本量a，b，c等2由于题目没有给出图形，导致学生理解错误：如；一直认为C点是坐标轴上的点或是椭圆上的点再如在（）中认为A、B两点关于原点对称3计算基本功问题：如文科同学不喜欢用弦长公式但是用两点间距离公式去算的同学这样错的数不胜数根式运算不过关：代数式运算尤其薄弱：类似这类问题表现严重为第二问中求错，导致关于m的表达式错，最后得出错误的结论4不研究关键点的发生，主观臆断： 如文科答卷中出现最多的问题，大多数同学一开始将直线l方程与椭圆方程联立，误认为所得为 A、B两点坐标，而根本没有用到题目给出的平行且过原点条件；或是将（II）中的最大值错认为是椭圆的长轴，猜想出错误的直线的方程5由于对ABC=90几何性质认识不能正确联系这一度量关系，而转向用向量的内积、斜率的关系以及到角公式等等，导致解题方向混乱，变量太多，过程复杂，效果不得而知6对等差法的代数运算作用认识夸大，认为它在解几题中的作用无所不能：诚然这道题用点差法并没有占到便宜，反而将很多学生引入歧途7对平行线间距离公式掌握很不好：很多学生知道ABC的高是平行直线y=x+2与y=x之间的距离，但错误的绝大同学从卷面上看不出用了任何公式就直接得2，很遗憾面积自然错了8对数学基础较好的同学没有得到满分的情况：忽略了方程的0这一约束直线AB 截距m 的限制条件，在讨论时，直接得到最值，而不去考虑最值是否能取到9数学符号意识薄弱：区分不清，运用混乱，随意性强，但整体比理科好些【教学建议】1重视基本思想方法的渗透：从这道题解法上的单一性来看，出题者并没有从知识面的广度上为难学生，所涉及的知识点也并不复杂其实就是对同一解法，第一问用特殊值算一遍，第二问回归到一般情况再算一遍，多附加了函数变量处理最值其实纵向上看关键就是用方程组的根去研究直线和椭圆的位置关系的这一常规思路，本题的解题过程中只是用到了解析几何最基本的思想方法，学生在平时解题训练时最常用的，但也是考试时最容易被忽视的由于学生本身就惧怕解析几何，读题的时候理不清题目给的条件，将简单问题复杂化而产生的错误不在少数如果能在日常教学中不断的强化渗透基本的数学思想方法，让学生面对数学问题时能够由浅入深、逐渐递进的选择合适的工具，这对培养良好的数学思维以及提高研究问题的能力都是大有帮助的2对于解析几何的学习要加强心理教育：在阅卷过程中，最直接的感受是学生对做对此题完全没有信心，大部分学生都是凭着感觉写到哪就是哪并没有理智地去分析题目给出什么，自己会什么，如何联系起来这样，我们老师以后不免在学习或复习这一块知识时，要想办法在情感与鼓励方面多下功夫，让更多学生“会用代数方法研究几何问题”3解析几何教学方面正确画图，研究基本图形（点、线、曲线）的发生：要培养学生的阅读理解能力、数形转化能力，有一半学生是知道联立和点差这样的基本方法，一上来就错的主要原因就是到底关键点在那条曲线上就理解错了，所以也强调画对图有助于解题夯实形数的训练：主要针对数学的一般学生如本题（I）中的求直线AB的过程中，将平行关系转化为斜率的关系、将原点在直线AB上转化为直线的点斜式方程；用平行线间距离表示的高等等，用代数的形式来研究几何问题时解析几何的核心思想，必须让学生熟练掌握各种不同曲线的方程和垂直、平分这样的几何性质的代数语言，这是进一步的研究各种曲线的性质的充分条件对基础知识与基本方法的复习要多反复，这样才能使学生对所给信息进行提取和加工，得到中档分加强数形的训练：主要针对数学的较好学生如本题（II）求斜边AC的长最大的过程中，可以通过图形的特点、沿用上一问的思路，从而写出勾股定理；在利用代数手段研究界图形性质是解析几何的最重要手段，往往会简化解题过程，更能揭示问题的本质这样教学中要充分展示知识的形成过程，让学生熟悉各种曲线的几何性质，使学生在这个过程中多理解、多质疑、多反思形成分析问题、解决问题的能力做到融会贯通，并进一步的提倡用图形的方法解决其他数学问题提高运算能力，代数推理能力，尤其是懂得算理很重要(20) 理科： 对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令( I )如果数列为5，3，2，写出数列；( II )对于每项均为正整数的有穷数列，证明；(III)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，【命题意图】本题立意新颖，难度较高并且逐步上升，以数列为主干知识，但更注重考查学生分析问题、解决问题的的能力下面从三个方面说起：1知识方面：本题主要考查数列的相关知识，但并不是我们常见的等差、等比数列的概念、公式、性质，也不是一般数列的递推、通项、前项和等问题，而是涉及到新定义的数列变换、以及求和，还有整数的一些理论；2方法方面：第二小问方法较多，可以写出和的表达式，作差证明两者相等，或者直接把的表达式整理变形为，也可以对的表达式进行配方，然后利用配方后的形式直接写出并化简得到，还可以用数学归纳法证明对于任意项的数列结论都成立；3能力方面：题目首先给出了数列的两种变换、求和以及的递推关系，首先学生在理解题意时就遇到了挑战，第一小问主要考查学生接受新事物、理解新概念的能力，第二小问主要考查学生的计算、代数变形的能力，第三小问难度很高，要求学生对题目从宏观上有所把握，对两种变换后的形式和变换前后两个数列的内在联系有足够的理解，首先要意识到通过证明来证明，并结合正整数的相关理论得到最后的结论【正确解法】( I )解：5，3，2，：3，4，2，1，：4，3，2，1；：4，3，2，1，0，：4，3，2，1( II )证法一（作差法）：设每项均是正整数的有穷数列，则为，从而，又，所以，故证法二(配方法)：设每项均是正整数的有穷数列，则，又为，则，故证法三(数学归纳法)：当时，仅有一项，为，此时；假设当时，即则当时， 综上可知，对于每项均为正整数的项数列，都有(III)证法一：设每项均是非负整数的有穷数列为，(1)当存在，使得时，交换数列的第项和第项得到数列，则；(2)当存在，使得时，若记数列为，则由(1)(2)可得：所以，对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，由(II)和可得，即对于N，总有或而是大于2的正整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，证法二：设每项均是非负整数的有穷数列为： 若中有项为0，设：，显然把中各项从大到小排列得到：，显然则且设，则因为是由中各项从大到小排列所得到，所以， ，而，所以，则，从而下同证法一【学生的主要问题】本题作为高考理科数学最后一题，难度较高，很多学生对题目望而生畏，采取放弃的策略，部分学生只解答了第一小问或前两问，第三小问有极少数考生问津，而有所想法并严格证明者更是寥寥无几，从学生解答情况来看，存在着很多问题1第一小问中学生的主要问题是对题意理解不清如果把函数当作一维变量的变换，那么对数列的变换就是多维的，也可以当作一个映射，学生是熟知函数的，但对于数列的变换难于理解，很多人把结果写成一个实数除此之外，有些学生把顺序写成从小到大，或者忘记去零等等2第二小问中学生的主要问题是没有正确写出的表达式或代数变形、计算错误本来此问难度一般，解决此类问题要有足够的信心、耐心和较强的变形、计算的能力3第三小问中，很多学生只是写出经过多次、变换后数列出现的一种形式，例如，有学生是这样做的：当变换进行足够次数后，中的最大项也会在变换中被减为0，并在变换中被去掉，同时变换若干次后为，再作两个变换数列将不变，即，则结论成立这种做法是错误解法中最主要的，第一小问正是这样的例子，并不能说明对于所有的数列都会出现这样的情况，下面举一反例：3，1 ；：2，2；：2，1，1；：3，1； ，最终循环出现可见，学生对题目还是有所想法，但做法并不严谨，只是写出了可能出现的一些情况，并没有要意识到要通过证明来证明【教学建议】要想让学生做好难度较高的综合题，我们还应该做好以下几个方面：1重视基础知识的理解首先，我们还是要重视基础的教学，让学生重视基本概念、基本方法的理解，对概念进行升华、延伸，而不能仅停留在对知识方法的记忆和套用上，比如在函数和映射的教学和复习中，我们不能只举实数变换的例子，如果能举出数列变换的例子，让学生知道任何事物都是可以进行变换的，那样学生解决本题就易如反掌；2重视计算能力的培养我们应该通过日常的教学让学生认识到计算推理是数学中最重要的技能之一，要通过足够的训练培养和提高学生的计算推理能力，养成认真严谨、喜欢动手的习惯有些学生计算能力不强，就会逐渐在学习中对计算失去信心，所以我们也要让学生树立起自信心，不怕困难、迎难而上；3重视综合题解法的教学综合题一般涉及到多个知识点，多种方法解答综合题，首先要对问题要有大局观，可以大胆地猜想一些结论并严格证明，可以把问题分解成几个小问题，层层击破，也可以转化成其他问题，比如用函数的方法解决不等式、方程的问题等等我们在教学中要适当的让学生做些综合题，培养学生解决综合题的能力4重视思维能力的培养在教学中，对于基础较好的学生，我们要逐渐地加点难度，让学生敢于思考问题、善于思考问题、学会多方位地思考问题，而不是对一些问题轻言放弃文科：（20）数列满足，（），是常数（）当时，求及的值；（）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有【命题意图】1考查数列递推关系；2考查等差数列的概念和判断等差的基本方法；3考查数学的归纳猜想能力；4考查二次函数的基本性质及其应用；5考查综合运用数学知识解决问题的能力【正确解法】解：（）由于，且所以当时，得，故从而（）数列不可能为等差数列，证明如下：方法1：由，得，若存在，使为等差数列，则，即，解得于是，这与为等差数列矛盾所以，对任意，都不可能是等差数列方法2：利用n的不同取值（如n2，3）证明（）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时因此”存在，当时总有“的充分必要条件是：为偶数，记，则满足故的取值范围是（答案可以是，n是偶数）【学生主要问题】1对于问题（）能够做到最后一题的学生都能够正确利用数列的递推关系式，将，代入递推关系式求出及；2对于问题（），没有能够顺利做出的学生，思路比较清晰的学生主要是选择通过是否为常数来判断是否为等差数列，比较遗憾的是的结果还是含有，学生无法通过数学运算来说明这个数列不是等差数列；计算错误；思路不清，没有很好的用代数运算说明数列不是等差数列；3对于问题（），完成的学生很少，仅有两三名学生得到满分，少数解答这一问的学生主要问题是不能准确的分类讨论，甚至不知道怎样进行讨论【教学建议】作为高考的最后一题，对于大多数文科考生来说是相当困难的，教学上，要根据学生的情况和特点分层进行指导：1问题的第一小问是非常基础的问题，难度比第一个解答题还要低，许多学生直接放弃是比较遗憾的，应该要求学生尽量读完全部问题，尽可能的去解题；2对于问题2，很多学生只能从等差数列的基本定义即来判断等差数列，缺少灵活性，对于解法一，很重要的思想就是从特殊到一般，归纳总结另外，证明一个数学命题是正确的，从定义出发肯定是可以解决的，而要否定一个数学命题，只要列举出一个反例就可以了，并不需要从定义上进行严格证明许多学生发现数列可能不是等差数列时，并不能转化的否定这个命题的思路上来，而是在泛泛的说明，缺乏严谨的逻辑，这点应该在教学上有所重视；3对于问题（），是很好的探究性问题，对于培养学生探究性学习指导很有意义令，因为对是增函数，又因为，若，可以用归纳说明，这与题设条件不符，所以因为，要使，只有在才有可能满足，因为是开口向上的二次函数，这个要求是可以满足的，在满足上述条件后，还必须有，是否能够满足这个要求呢？我们检查的项发现，若，数列从第一项开始符号分别是正、负、正、负，显然可以找到满足条件从上述的探究过程，我们可以整理出这样一个过程：若由能推出问题即可解决，这只需要；满足后，只需要满足即可这就要求学生能够将一个综合问题分解成几个小问题，分步解决这个问题若开始没有思路，也可以从具体项小于0开始探究，找出一般规律