不定积分表

Yz Liu 2013 09 卷终 公式表注解四 基本不定积分表 序言 微积分创立之初 牛顿与莱布尼茨分享荣誉 虽其间发生很多在优先权上的争论 但最终依然走向了发展之正轨 在微积分公式体系上 莱布尼茨对之要求甚严 并总结其 基本微分表和基本积分表 如今随微积分之发展 公式表逐渐全面 分类亦几乎覆盖各种 不定积分 积分表的编订对于积分运算可以说是必要 亦是数学发展之必要结果 本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法 以及每个积分的简要推演方法 其 中引入了除一般之换元法 凑微分法 分部积分法之外 亦引入虚数单位 并使用虚数单 位推演某些复杂的不定积分运算 而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用 或均不在此给出推演方法 或仅以推演步骤简要之说明 本表收录公式 16 组 151 式 公式一 基本初等函数的不定积分 18 式 幂函数 1 1 ln xCxd 指数函数 2 l3 xxaed 对数函数 4 logllog5naaaxxeC 三角函数 6 sics7oi8 tanl 9 csi1sin10 el ctan l2 s so ta xdxCxxdCx 反三角函数 212 arcinarci1 3 ossxdxC 24 rtrtnl 1 15 acacoxdx 2 16 arcsearcseln 1 7xdxC 常数函数 8 RC 上述公式均为基本初等函数之不定积分 其中部分公式均可以由分部积分公式给出 特别的 对于正切函数 余切函数 正割函数与余割函数的不定积分 使用了诸多三角变 换完成 公式二 含 的积分 要指出 非零 10 式 axba21 19 120 ln dxCxbaxb 对于其中的第二式 是利用换元积分完成的 222231 l 3 ln xdabCaxaxbaxb 对于第一者 可以利用凑的方式 我们考虑分式 则得其积分1b 是显的 而第二式依然采取类11 l xbddxxCaaa 似的方式 可借由带余多项式除法算得 然后2 21 babx 利用第一个积分式即可得到结论 221 4 ln 5xbdCxaba 对于分母是二次多项式或者更高者 常常分成多个低次多项式之和 这两个积分便 是沿用了此结论所得到的 我们注意第一式中有 11 bxabxaxa 积分即得 对于第二式依然可用分离拆项的方式 然后22 b 积分即可 而一般对于拆项 常用待定系数的方法完成 2 23221 6 ln 7l 8 xdaxbCabbaxxab 公式三 含 的积分 9 式axb 3322 233 9 30 15 1 8 0dCaxbxabC 第一式的证明用凑微分的方式即可完成 而有了第一式的结论 第二式可用分部积 分完成计算 我们有 332 xxabdxaxbdabaxbd 其中 对上式右侧的 再次使用凑微分的方法 即可得解 32 53 22 233 322 4 1 3 5xxxCaaabdbbaxbC 同理利用分部积分可以将第三式拆开 并以第二式证明之 22 2 3 348 15xaxadbaxbCb 利用凑微分的方式 我们显然有不定积分 本1 2daxbC 组公式可以考虑用此公式 并使用分部积分即可证明一式 322 24 4 33xxdaxbabCabC 二式同理使用分部积分 并利用一式的结论即可证明 1ln 0 4 2arct xbdxabC 该公式是重要的不定积分之一 它可以解决一类带有 的不定积分等式 但是axb 该积分是不好计算的 首先分部积分就不容易得出结果 而另一方面我们也无法进行一个 显然的凑微分 因此对于这一类带有根号式的积分 往往是先强行换掉根号 再作观察 因此令 于是 2 tbtaxbtdxa 221 dtdttbabxa 显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论 的正负来决定之后使用的不定积分公式 如b 果 是负的 那么显然会使用反三角 如果 是正的 则可能使用三角换元 2 2secln ta 2110 sinarc sinrc aor lseri tarcsi 1irc lsxdxCbt dtbbtbdtCtbb AA211lnln btbt 然后将 带入上式得原积分 另外对于axt 2l 0axdtb 负的 有 b 2221110 arctn arctntdtt CbbtxCb 即原积分 该不定积分公式对于负数的 计算是很容易的 2t 0b b02 02 35 26 37 2dxadxCxabbaxbdxdxab 注意到微分公式 故上面公式均可以分部积分公式指出 公式四 含有 的积分 3 式2a 02212211 38 rctn 39 40 lnnndxxCdxCaaxa 一式用凑微分的方式以及微分公式 容易得出 第二式是利用分部2 rct 1dx 积分公式给出的递推式的形式 通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形 然 后带入一式即可得解 三式是有理分式的不定积分 通常是将之拆分为两个容易计算的分 式 则不难得出结果 21ln l 2dxdxaxCaa 公式五 含有 的积分 7 式2 0 axb 除开显然的 不列为公式表所用之公式外 其余均与 3xdC 有关 不过在下面公式的推理中 我们可以肯定的是推理可能是不唯一的 因此某2axb 些推理也是可能涉及了该公式的 21arctn 0 41 l xbbdxaC 是一个需要分类讨论的积分 显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关 的 不过反正切的分母是加法运算 因此如果这里 是负的 那么就不能适用反正切 这b 导致了积分需要分类讨论之 22 2 222111arctn 0sinarc1 arcsin1sinarc1loaxb bxbb badxdxCab dxddxx 1si selnl 02 CCxCx 该公式的证明中再一次的遇到了 形式的不定积分 虽然这里我采用的是换元为三2dxa 角函数的方法 而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理 但是三角换元计算 不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法 也许在这个公式中体现不出来 但是在某些 场合下 三角换元无疑是强大的 22 022 023221 4 ln 3 l 1451 6 ln 7xdaxbCabxaxbddCabxxba 02 一式是显然的 在这组公式中 除了一式之外 后者在各种场合的运用还是相对频 繁的 二式 三式都是典型的有理函数的不定积分问题 可以采取分离常数的方法来求解 其推理及其陈述如下 22 211xaxbbddxdxaba 222 221ln lnllndaxCbxCbx 类似的对于之后的不定积分 依然可以拆项 2222333232221 1 11 lnadadxabxbdxdx dxbbaC 但是对于最后一式 拆项显然是不理想的 分子也不具备变量以进行凑微分 因此从分母 考虑 2222221 111 axdaxbddbaxbxaxx 接着带入公式 45 即得所证 公式六 含有 的积分 2 式20abc 先给出最基本的积分 222 222arctn 444 48 1l xbCacdxabc b 该积分的证明需要分情形处理 一般来说 如果分母的二次式对应的二次方程是有 根的 那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和 而对于无实数解的 情形 可以考虑配方的方式 并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明 不过 在此我将使用另一种方式证明上述公式 我将在此引入虚数单位 并规定 i21i 2 11ln dxdx xRdxCabcRSaxRSaS 这里的 为 的两根 则 RS0 如果 那么 24 222444bcbcbac 则积分式即为 2 12 2214ln Consta444axbcCRSbcbacbc 否则为 则积分变为 24iacbiRS 2221LnLnConsta stln arg xaxbiCiiabiixaxbixbi 422 onsta1l Ct 1argConstaib ixi 这里值得注意的是辐角 的取值问题 我们选择 这个区间并考虑反2rbix 2 正切表示 则这时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负 但由判别式 依240bac 然无法断言 之正负 这对反正切的表示是不利的 因此考虑对辐角进一步转化 一2axb 个方便的方法是对分式上下乘以 1 个虚数单位 则 22 rgarg2arg2a 1 ctn ixbixibi 将该式与 带入不定积分式 得 2Const4cb 22222argConstact444artndxxbicbcbxb 虽然此方法比较复杂 但是可以说明的是 以复数进行实数的不定积分是可能的 22 21 49 l x dxdcabcabc 以拆项的方式来拆分为两个不定积分 这是及其显然的 222211axbxxax 公式七 含有 的积分 14 式 0 含 的不定积分 通常会考虑的变换是 特别是出现在2 a 21tnsec 分母中的根式 这样做的好处不但可以抵消根式 同时可以处理并约分掉分母中的积分变 量 以大幅度化简积分运算 不过在很多时候 我们也常常考虑双曲换元来完成 这是因 为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便 下面几个公式都是可 以通过换元得到的 2122322322 2232 50 arsinhl 1 15 4 ln 5 dxxCxaCxdaCxaxdxaaxa 第一式是典型的反双曲三角函数的微分 以及反双曲三角函数的定义式所得 事实 上 我们设 因此对于第一个22arsinhcoscosh1indxdxydyyy 不定积分式 采用凑的方式即刻得之 二式也是典型的双曲换元得到的等式 sinh2222323 1 tah tan s xayd yCa A 其中 将 回带 即得之所证 arinh2222 21i1t xxyax A 三 四均是由微分公式 直接可推论的结果 然而如果对于三式没有直接 dx 观察到亦不妨以双曲换元的得出 sinh 22cos1shxayydCaxa A 于是四式也可如法炮制 sinh23 23 2222iin1 cos cs cs shxayd dyCx y 五式 六式可以凑得之 再 2dxa 232 xxa 以分部积分得 2 222222sinh223222ln sinhco41 xay xdxdaCx ydaCxdx a A 这样就完成了五式和六式 2 222221 23 4223242 56 ln arsinh7 5 l 881 8 159 ln xaxxadxaCCxxadaaxa 一式三角换元是显然的 但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是 222arsinhl1ln 1 l 1 Constaxxxa 二式以双曲换元得到积分 以降幂进行变形 所得积分的计算是容易的 4coshd 421cosh1xxdx 在得出结果之后 再以 二 倍角公式将 和 还原为 即得二式右侧 三式凑的方式即得其之所证 四式以分部积分 并二式 即得之所证 2222 22221 60 ln 1 6 ln 3 dxxaCaxxadxaC 先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分 转化三角积分时 以正切与 正割的恒等式可得 转化双曲积时 以双曲正弦或双曲余弦的恒2sec1sctanydy 等式可得 最后以余割或双曲余割的积分得到结果 2ohhi 二式典型的转化为三角积分 这是典型的22se1secscottantandyydy 余割函数的导数公式 1 cs oixx 注意到 带入一式 又22222a xdda 注意到 带入 50 式 22 2xadxx 公式八 含 的积分 6 式 0 abc 221 64 ln 2 dxaxbxbcCabc 利用最值公式对分母配方 得 22 222222221441 lnln4 4ll dx aaccbbcaxxbCaxaxbaca 21n2n l baxaxcC 222 234 65 ln 48abbcdxabxcC 首配方 再凑微分 并公式 56 得 22 222 222 22 44144 lnacbcbaxbcdxdxdxaaacbbacbx C 232222 222322 233 4 ln8l4ln48 ln84ln 4ln8 acbaxadxbxcbaxbcacCxbacbxxaxbcac 22 23 84ln 4xbacbxxaxbcC 这里的推理虽然是相对复杂的 但是对于一些好算的数值计算 这个推理过程会得到大大 的简化 在这两个积分的基础上 下面的积分相对是容易计算的 2 22 31 6 ln 2 xbdaxcaxxbcCabc 用凑微分的方式进行变换 22221 ddaxxbcxcxc 剩下的计算是容易的 221 67 arsin4dCabc 依然是配方 与 64 不同的是 根号下的加号变成了减号 从而适用反三角的表示 22232 68 arcsin484xbxbxcaxcC 依然是配方 与 65 不同的是 根号下的加号变成了减号 从而适用反三角的表示 22 321 69 arcsin4xbxbdaxabc 用凑微分的方式进行变换 其方法同于 66 在 64 67 65 68 和 66 69 的比较中我们可以发现 对于任意非零的 实数 除了后面的对数部分外 其表示形式都是一样的 例如我们以 64 67 为例 将两个公式和在一起写 并把对数部分写成对应的反三角形式的不定积分之后 则可以写 成 2 2arsinh14 0cdxxbabcCac 其相似度可见一斑 那么我们将会询问这是为何 这里我将再度引入虚数单位 并规定i 其满足 借助欧拉公式和双曲三角函数的定义 我们考察正弦函数得到的是这样一21i 个结果 令之为 并反解之 得 的同时 也得到snsinh ixiex yarcsinxy 了另一个结果 也就是说得到一个转化等式 这个ar y h i 结果是令人感到惊奇的 如果在上述积分中我们无视 为正数之情形 并对负的 直接使a 用反双曲的结果 同时引入虚数单位 根据负数的平方根等于其绝对值开根后与虚数单i 位作乘积这一规定 即得 2 2 22 21 arsinharsinh 441 arcsinarcsi 4 dxxbxbCiCb cxb 这与直接使用反正弦的结果是一样的 这个结果表明 64 67 65 68 和 66 69 是可以统一的 公式九 含 的不定积分 14 式2 0 xa 公式组七给出了 型的不定积分 此处继公式七之讨论 以及公式七2 和公式九的推演思想 给出根号下取负号的不定积分 2122322322 2232 70 arcoshln 1 17 4 ln 75 dxxCxaCxdaCxaxdxaaxa 在 50 55 六式中 引入虚数单位 并 替换 即可证明上面六式的正确性 不过i 对于 70 式要注意取值的正负直接令双曲正弦通过双曲恒等式转化成了双曲余弦函数 在 中取 替换 得 2122arsinhl dxCxC ai2222ircosharinrcosh1inarsharcosh1axxCixi 22223 42223242 76 ln 5 l 881 8 179 ln dxaCxxaaxdxa 在 56 59 四式中 引入虚数单位 并 替换 即可证明上面四式的正确性 ai 2222221 80 arcos 1 8 arcos 3 lndxCxxdxxaaC 在 60 63 四式中 引入虚数单位 并 替换 即可证明上面四式的正确性 其中i 对于较为特殊的 80 和 83 中 我们注意以虚数单位替换之后 原本的对数表达式变 为了附带虚数单位的表达式 2222 2LnLnlnarg 0arcsiarcsiarcos xixixxaiixi 于是 222 211rosrs arcsarcos 2dxiCCxxa ai x 公式十 含 的不定积分 14 式2 0 x 232223222 232 84 arcsin5 86 17 8 arcsin9 dCxxdaaCxxxdax 84 86 87 均以凑的方式即可证明 其中 84 利用了反正弦函数的微分公式 86 87 实际上就是幂函数的复合所得 因此可以考虑凑出根式内的微分 然后以幂函 数的积分公式计算最终结果 85 以三角换元完成计算 sin 22223223 2cos1tancos in xaydydyxya A 对 88 89 各自使用分部积分即可完成演算 22222 222 22 cos1cos 1 inarin4xdaxxadxat txaxx C 将上式所得最后的第三项分式进行处理 将其中一个 乘进根式里 再与第一项合并即可 89 式在处理的思想上是与之一致的 考虑分部积分 然后利用三角换元或者之前已经 给出的不定积分式处理 232221 xxddaaax 2221 90 ln 1 dCxxa 显然使用三角换元是容易的 22sin2 2si221sin1cln scot lliixayxy yd axdyCCaxa A2322442222 9 rcsin3 5 arcsin881 4 95 arcsixadxxCxaCxxadx 92 式的证明与 56 式的推理类似 虽然我在前面指出 56 式的思路使用三角 换元是显然的 但是真正处理起是来略微不便的 2sin22 2sincos41arixayyddCayxC A 因此如果我们在已经建立了积分公式 的情形下 222arsinhx 承认并使用这个积分公式来推导 92 式会比单独在证明 92 容易得多 在上述实数积 分中引入虚数单位 并承认 则令自变量以 替换之 则可立刻得 i21i ix2 22 2 21 arsnharcsinxxxaxdadCCii 这样就完全可将 92 式与 56 式统一为同一公式 而同理的 可以在 57 58 59 中均引入虚数单位 则 93 94 95 的证明可以大幅度化简 23232244113 5 arsinh885arcsin88ix xaxdxdaxCiC 2223 xixxC 4 422 221 arsinh arcsin8888addii xxx axC 22 296 l 7 arcsinadxCx 在关于 的积分中指出 即公式 62 2xa 2222ln arsihxdCx 和公式 63 同上之所证 利用虚数及公式 62 63 可证明 96 97 22 2 22 222 lnln 11arsiharcsi axix xddxxxi CCi i 公式十一 含 的积分 4 式 xab xb 0 2 98 ln arcsi 10 2arcsi arcsin44dxbx Cxbbbxxdx Cab 由分部积分公式得 22 1 2 KbaaaxdKxxKdxbbabdxab A 其中 11 2 22ln xabdx dxababbdxdxxxadababC 带回上式得 即为 98 式之 ln2xxx 所证 98 式的给出 亦可使用还原的方式证明 考虑到不定积分本身具有根号 其干扰 运算性太强 考虑强行抹消根号 于是令 22 11xabttdtdxabb 对于上式第二项中积分 可令 则得到 然后 以三角函数处理 得 接着是计算式中的诸三角函数 可利用三角恒等式 如果限定了 为锐角 亦可借助直角k 三角形 我在此选择后者 最后把 带回 即得 xatb 同理对于 99 式换元之后 亦可解之 但鉴于计算复杂 这里不用换元的方法 我依然 采用分部积分的方式 22 1 2 KbxaxaxaxabaxdKdKdbbbx A 其中 2111 22arcsindxxadxabbxxCbb 带回则完成证明 根据反三角的计算公式 考虑到根式恒正 因此上式中的反三角亦可写作 2arcsinarcsinarcsinarcsin21 ixxxxabbbb 因此写作 亦是正确的 亦可通过公式 67 2 1arcsin xbdxCxb 来计算 得到 22i4dac 2 2 2 arcsinarcsin 4xdxxbxbCbab 通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的 2112arcsin dxbbaxxb 22 4 2 ri1 1 xababxbxabx 2 22 1rcsin 4 xabdx xabbxab 换言之 我们得到 具有三个我们可能会计算出的原函数 1 以及2arcsinxb 2 arcsinxb 2 arcsinxb 当我们得到该结论之后 对于第 100 式的证明方法就很多了 最简单的就是通过已建立 的公式 68 来完成 对于不定积分公式 100 其推理在 99 之中已经给出 由公式 68 得 222324arcsin48axbbxbxcxC 22 12212 2 arcsi4 4 rin82 acs44 xabddxxabbax xCabborxx 2 3 rin8xab 上式所给出三个不定积分的形式 均是正确的 公式十二 含三角函数的不定积分 23 式 除了基本初等三角函数之外 本组公式总结更为复杂的三角积分 其中包含了递推 关系 凑微分以及分部积分等方法来完成其推理 2221 10 sinsin243co 4 tat1056 sectn 7 oxdCxdxCx 102 103 以降幂公式变形 再以基本初等函数的积分直接积分得到 104 105 实质上就是导数公式的逆 因此我们如果要证明 只需以导数公式指出即可 22222sincsin ta sec1tanota tsecaxxxddCx 222sinco ot s 1cot ixx 22 t tcsddxC 12 12 108 insicosin9oi secscscos1iniinnnnxddxxx 先以凑微分对积分变量进行替换 紧接着以分部积分对之变形 当等式左右两侧都 出现相同的项时 通过移项的方式得到不定积分 108 的递推关系 109 与之同理 112212sini cos i cosicoini sisncsinnnnnxdxxxddxdxx 112212co sico sicoisinccooscsnnnn nxddxdxx 依然可以考虑用同样的步骤完成 110 和 111 式 这是因为正割函数 余割函数 与正切函数 余切函数都有恒等式的关系 因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算 不如使用割函数更为明了 2232222secs tan otan tecsect sec1 1 sectans nnn nndxxdxdxxdxxdx 22ecsec1nd 232222css ot inot s c1 cot cs 1 csots nnnnn nnxxxdxdxdx 22snx 对于正切函数 余切函数高次幂的不定积分 鉴于一次切函数的不定积分需要对数 表达式 二次切函数会单出一个积分变量 导致积分是困难的 不过下面等式给出了切函 数积分的一种算法 其中它们的幂都是取整数的 121 12 cosincosincosinmmmxdxx 11 121csicsi si osnnconis cosi si 1coinncmmmmmmmxxdxxxxd 22co ssi md 上面证明的分部积分是对正弦凑微分得到的 如果对余弦凑微分 则同理可得到 1 2coincoincosinm mxdxx 11 13 sincocos cos 2 2 4 5 si sin sin 16coaxbdabxabxCxxxababad 1122C 以积化和差公式是容易证明的 222 222tan rc 17 sin1t l arctnta 18 tcos12lanxbaabdxab Cbbxbdxabx 2 Cbb 典型的采用万能变换 转化为有理函数的不定积分问题 因此我们很自然的会采取 换元 于是由万能变换公式 得 于是所tan2x 22si arctn 11txddt 求的不定积分 117 即为 这是典型的二次真分式的有221tdtatbab 理函数积分的问题 通过考虑判定式是否为正来讨论对应之二次方程是否有两个实数根 以方便拆分 如果没有实数根则配方 并利用反三角表示 否则就拆为两个分式之和或者 差 以对数的形式表示 此外 借助已建立的公式 48 222 222arctn 4441l xbCacbdxabc b 亦可给出证明 且我们说过公式 48 指出判别式在为负数的情形下 借助虚数可以证明 上下两个不定积分是等价的 因此我们对于 117 之证明实际上也只需指出一个成立即可 118 同理 证明是容易的 在现行的积分公式表中 117 和 118 两式是被分成四个公式来处理的 考虑到 三角函数与对数具有统一性 故在此将之合并为两式 221 19 arctncosin0ltdxbxCab 由降幂公式得 再由万能代换得 2coscos2si xx 21tancosx 令 则 tanx 2222 2222 1cosin 111arctarctndtd dtbx bbtaCxC 2222 221cosin 11 ln taln2dtdx dtbabbtt tCattxCb 从 117 至 120 可见万能代换公式是很方便的一个公式 它将所有三角函数转 化为有理分式成为了可能 然后借助有理函数的不定积分来完成积分运算 从这一点看 万能代换公式无疑是很强大的 222231 1 sinsicoscoin 3 sicscos114ciixadxaCxxxaadC 分部积分得 1sin os coscosinxaxaxaxdaxC 同理可证 122 当然考虑万能代换也是可能的 不过要注意的是万能代换对于公式 121 和 122 来说 比较繁杂 而公式 123 和 124 的推理思路与 121 和 122 相同 依然是通过分部积分完成推理 不过注意的是 可以使用 121 和 122 已经建立的结论 公式十三 含反三角函数的积分 9 式 22232 2 15 arcsinarcsi 06rin 41 7 arcsiacs 0918or 0 9 arcsxxdCaxx adxCax 2232arcos 4130 09xxa 以上为弦函数的反函数之不定积分 其中 125 和 128 很容易就通过分部积分公 式的得到 128 式与22arcsinarcsi rcsin xddCxa 之同理 下面推导 126 和 127 对于 129 和 130 是可以类比的 222222arcsiio 1 126 nsi cs coscosin4448arcsi 1 arn1arin4xttdtdtttdttxxxxCa 2xC 对于 127 注意到使用换元 之后 积分运算下的被积函数变为正弦函csit 数的平方和余弦函数之乘积 它自身是正弦三次方的微分 因此可以考虑分部积分公式 也就是 最后对于正弦三次方232333arcsinsio in siinxdttdattatd 的不定积分 可以采用凑微分的方式 先凑出余弦函数的微分 然后对剩下的正弦二次方 以恒等式换作余弦函数 最后以幂函数的不定积分一举收官 完成推理 333232323322arcsinsico sin isin1 cocsicsarsi 99xdttdtttdt CxttCxax 另一方面 我们在建立了 125 126 127 之后 用反三角恒等式直接将反正弦化作 反余弦 不定积分的计算也是可行的 2 22 21222arcosarcsinarcsinarcos 0rsi4arcos 04xxxxddCCaxxCad 3221322 1rcsinrcsin 91arcs 9xxdxaxCxx 且如此计算比重新建立更为方便和简洁 223232 2 0 rtnarctln 0113rta arctcl 6xdCxxx 对于 130 以分部积分完成 131 与 132 令 即可得出结论 arctnx 公式十四 含指数函数的积分 9 式 以基本不定积分公式 所建立起来的不定积分组 并对 l xxxedCd 之进一步拓展 1 3 axaxed 这是显然的 21 4 ln1351 6 ll7xxxxnxnnCaedade 均以分部积分即可 但是某些时候我们所关心的并非这些积分之本身 而是关心这 样一个特殊的关于 的函数 显然可以看到当 为正整数时 函数表示的是 的 阶tlxt t xat 导函数 而如果 为负整数 则表示的是函数的 重不定积分 这样的函数是关于求导次 数的函数 我们把求导次数作连续延拓得到了一个对于一切实数 展开的新的连续函数 t 这个函数在微积分里被称作函数 的次导函数 该函数直接反应出了函数的非整数阶导数 xa21 138 sin sincos 9coaxxaebdebxC 以分部积分作推导 不难有下面两个等式 11sin cos cos cos coiniinaxaxaxaxebdebebebd 等式组可以看作是关于 的方程组 解之即得 si cs axaxeed 21 22 2 1 140 sin inicossin cocos coax x axa bbdbnxedee 对于 140 的证明 如下 移项并整理 得 将 带入 得 带入 得 所以 移项并整理 141 的证明与之类似 公式十五 含对数函数的积分 4 式 以基本不定积分 展开的积分公式组 ln llndxCxdxC 1101 142 l 3 l ln n ln 145 l lnkkkmmmxdxdxxxxd 142 凑微分 143 分部积分可直接推得 而 144 也是分部积分 但是我们依 然优先给出递推关系 然后利用递推关系进一步推得结果 由于对数函数的递推结果相对 较简单 因此可以写成和的形式 而 145 的推导比 144 相对更为简单 因此这里先 给出 145 1111 ln ln ln ln mmmmxdxdxxd 145 的积分结果是简单的 可以看到 当这个积分我们不断进行下去的时候 对数函数 的幂会逐次下降 知道为零次 积分最终将变为幂函数的积分问题 公式十六 双曲函数的积分 6 式 146 sinhcos7ixdC 根据双曲函数的定义可直接获得 8 talcs149ohn i xdx 推理同正切函数和余切函数 先将双曲切函数转为弦函数 然后以凑微分的方式一 举完成证明 21 50 sisih41cohnxxCd 以双曲之降幂公式即可