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高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军【知识汇编】参数方程：直线参数方程： 为直线上的定点， 为直线上任一点到定点的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：(a,b)为圆心，r为半径；椭圆的参数方程是；双曲线的参数方程是；抛物线的参数方程是极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为，直角坐标为，则, , , 。【题型1】参数方程和极坐标基本概念1点的直角坐标是，则点的极坐标为（ C ）A B C D 2圆的圆心坐标是（ A ）A B C D 3已知P为半圆C： （为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。1）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；2）求直线AM的参数方程。解：1）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）. 2）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为（t为参数） 4已知曲线C的参数方程为 (为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。1)求曲线c的极坐标方程2)若直线的极坐标方程为(sin+cos)=1，求直线被曲线c截得的弦长。解：(1)曲线c的参数方程为 (为参数)曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将 代入并化简得：=4cos+2sin 即曲线c的极坐标方程为=4cos+2sin (2)的直角坐标方程为x+y-1=0圆心c到直线的距离为d=弦长为2=2 . 5极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知曲线C1的极坐标方程为2sin（），曲线C2的极坐标方程为sina（a0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（2）求OAOCOBOD的值解：（1）：， ：， 因为曲线关于曲线对称，： （2）；， 【题型2】直线参数方程几何意义的应用1已知直线与直线相交于点，又点，则。2直线被圆所截得的弦长为（ C ）A B C D 3在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：交于，两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的方程得设点A，B对应的参数分别为，则，所以 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为，所以点P在直线l上，中点M对应参数为，由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离 4已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。解：（1）直线的参数方程为，即 （2）把直线代入得，则点到两点的距离之积为5设经过点的直线交曲线C：(为参数)于A、B两点（1）写出曲线C的普通方程；（2）当直线的倾斜角时，求与的值解：（1）：（2）设：（t为参数）联立得：，6以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，为半径 （1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）设直线与圆相交于两点，求解：（1）直线的参数方程为，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为. （2）把代入，得，设点对应的参数分别为， 则, 7以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，求.解：(1)由，既 曲线的直角坐标方程为.(2)的参数方程为代入，整理的，所以， 所以.【题型3】两类最值问题1已知曲线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程，直线的直角坐标方程；（2）设是曲线上任一点，求到直线的距离的最大值.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），直线的直角坐标方程为 （2）设，到直线的距离（其中为锐角，且）当时，到直线的距离的最大值 2已知曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值解：（1）曲线的普通方程是： （2）曲线的普通方程是： 设点，由点到直线的距离公式得：其中 时，此时 3在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为.（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为，试求的值.解：（1）由，展开化为， 将代入,得，所以，圆C的直角坐标方程是. （2）把直线的参数方程（t为参数）代入圆的方程并整理，可得：. 设A，B两点对应的参数分别为，则，所以. . 4已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围.解：（1）点的极坐标为 点的直角坐标为（2）设；则7
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