(修改版)华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结

1 华师大版九年级上册数学知识点总结 第 21 章 二次根式 1 二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式 2 二次根式的性质 1 a 0 2 0 a 0 3 2 a 0 2aa 3 二次根式的乘除 计算公式 0 abb 乘 法 运 算 除 法 运 算 4 概念 1 2最 简 二 次 根 式 1 2 3 同 类 二 次 根 式 5 二次根式的加减 一化 二找 三合并 1 将每个二次根式化为最简二次根式 2 找出其中的同类二次根式 3 合并同类二次根式 6 二次根式化简求值步骤 1 一分 分解因数 因式 平方数 式 2 二移 根据算术平方根的概念 把根号内的平方数或者平方式移到根号外面 3 三化 化 去被开方数中的分母 7 二次根式的混合运算 1 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号先算括号里面的 2 对于二次根式混合运算 原来学过的所有运算律 运算法则及乘法公式仍然适 用 3 在二次根式混合运算中 如能结合题目特点 灵活运用二次根式的性质 选择恰 当的解题途径 往往能事半功倍 第 22 章 一元二次方程 1 一元二次方程 1 一元二次方程 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程 2 一元二次方程的一般形式 0 2 acbxa 它的特征 等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式 等式右边是零 叫做二次项 a 叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b 叫做一次项系数 c 叫做常2x 数项 2 一元二次方程的解法 2 1 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法 直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程 根据平方根的定义可知 bax 2 是 b 的平方根 当 时 当 b0 时 一元二次方程有 2 个不相等的实数根 2 当 0 时 一元二次方程有 2 个相同的实数根 3 当 0 时 一元二次方程没有实数根 4 韦达定理 如果方程 的两个实数根是 那么 0 2 acbxa 21x abx 21 也就是说 对于任何一个有实数根的一元二次方程 两根之和等于方程的一cx 21 次项系数除以二次项系数所得的商的相反数 两根之积等于常数项除以二次项系数所得 的商 5 一元二次方程的二次函数的关系 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示 其实一元二次方程也是二次函数的一个特 殊情况 就是当 y 0 的时候就构成了一元二次方程了 那如果在平面直角坐标系中表示 出来 一元二次方程就是二次函数中 图象与 X 轴的交点 也就是该方程的解了 第 23 章 图形的相似 1 比例线段的有关概念 b d 叫后项 d 叫 在 比 例 式 中 叫 外 项 叫 内 项 叫 前 项 ac bd abcac 3 第四比例项 如果 b c 那么 b 叫做 a d 的比例中项 2 比例性质 基 本 性 质 ad 更比性质 交换比例的内项或外项 交 换 内 项交 换 外 项同 时 交 换 内 外 项同 时 交 换 比 的 前 项 和 后 项bcdaabbcda 合 比 性 质 babcd 等 比 性 质 cdmnnacmbdnab 0 3 黄金分割 在线段 AB 上 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC AC BC 如果 ACB 即 AC2 AB BC 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比 其中 0 618 AB215 4 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 l1 l 2 l 3 则 ABCDEFCAEFD 推 论 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边 或 两 边 的 延 长 线 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得 的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 5 相似三角形的判定 两角对应相等 两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 6 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 7 六种相似基本模型 4 CABDCABDEEDB AC DE BC B AED B ACDADB CDOBACOD CBA X 型 母子型 AC BD B C AD 是 Rt ABC 斜边上的高 8 射影定理 由 得 即 由 得 即 由 得 即 9 中 位 线 1 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 三角形三条边上的中线交于一点 这个点就是三角形的重心 重心与一边中点的线段的 长是对应中线长的 31 2 梯形的中位线 连结梯形两腰中点的线段 梯形的中位线平行于两底边 并且等于两底边和的一半 10 位 似 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都经过同一个点 那么这 样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 第 24 章 解直角三角形 考点一 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 C 90 A B 90 2 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 30192AD 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ADB C 5 9012ACBDABDD 为 的 中 点 4 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 即 22cba 5 摄影定理 在直角三角形中 斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项 每条直角边是 它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 290CDABAB 6 常用关系式 由三角形面积公式可得 AB CD AC BC 考点二 直角三角形的判定 1 有一个角是直角的三角形是直角三角形 2 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 3 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这个三角形是直角三角形 22cba 考点三 锐角三角函数的概念 1 如图 在 ABC 中 C 90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记为 sinA 即 asinc 的 对 边斜 边 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦 记为 cosA 即 Abcosc 的 邻 边斜 边 锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切 记为 tanA 即 atan的 对 边的 邻 边 锐角 A 的邻边与对边的比叫做 A 的余切 记为 cotA 即 bcotA 的 邻 边的 对 边 2 锐角三角函数的概念 锐角 A 的正弦 余弦 正切 余切都叫做 A 的锐角三角函数 3 各锐角三角函数之间的关系 1 互余关系 sinA cos 90 A cosA sin 90 A tanA cot 90 A cot A tan 90 A 2 平方关系 1cossin22 3 倒数关系 tanA cotA 1 4 弦切关系 tanA cot A sicsin 4 锐角三角函数的增减性 当角度在 0 90 之间变化时 6 1 正弦值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 2 余弦值随着角度的增大 或减小 而减小 或增大 3 正切值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 4 余切值随着角度的增大 或减小 而减小 或增大 5 一些特殊角的三角函数值 三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 2131 cos 1 0 tan 0 31 3不存在 cot 不存在 1 0 考点四 解直角三角形 1 解直角三角形的概念 在直角三角形中 除直角外 一共有五个元素 即三条边和两个锐角 由直角三角形中 除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形 2 解直角三角形的理论依据 在 Rt ABC 中 C 90 A B C 所对的边分别为 a b c 1 三边之间的关系 勾股定理 22cba 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sin cos tan cot bAAabBB 第 25 章 随机事件的概率 1 概率 1 表示一个事件发生的可能性大小的这个数 叫做该事件的概率 P 所关注的事件 所关注的结果 所有等可能的结果 2 概率的预测 1 要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果 2 要清楚所有机会的结果 1 2 两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率 7 方法 画树状图 列表法 事件的分类 1 确定事件 必然发生的事件 当 A 是必然发生的事件时 P A 1 不可能发生的事件 当 A 是不可能发生的事件时 P A 0 2 随机事件 当 A 是可能发生的事件时 P A 概率的意义 一般地 在大量重复试验中 如果事件 A 发生的频率 mn会稳定在某个常数 p 附近 那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率 概率的表示方法 一般地 事件用英文大写字母 A B C 表示事件 A 的概率 p 可记为 P A P 概率的求解方法 利用频率估算法 大量重复试验中 事件 A 发生的频率 mn会稳定在某个常数 p 附近 那么这个 常数 p 就叫做事件 A 的概率 有些时候用计算出 发生的所有频率的平均值作为其概率 狭义定义法 如果在一次试验中 有 n 种可能的结果 并且它们发生的可能性都相等 考察事 件 A 包含其中的 m 中结果 那么事件 A 发生的概率为 P A n 列表法 当一次试验要设计两个因素 可能出现的结果数目较多时 为不重不漏地列出所有可 能的结果 通常采用列表法 其中一个因素作为行标 另一个因素作为列标 特别注意放回去与不放回去的列表法的不同 如 一只箱子中有三张卡片 上面分别是数字 第一抽出一张后再放回去再抽第二次 两次抽到数字为数字 和 或者 和 的概率是多 少 若不放回去 两次抽到数字为数字 和 或者 和 的概率是多少 放回去 P 和 92 不放回去 P 和 62 3 3 2 3 1 3 222 1 3 1 2 1 1第 一 次 结 果 321第 二 次第 一 次 结 果 第 二 次 3 2 3 1 3 2 3 22 1 1 2 1第 一 次 结 果 321第 二 次第 一 次 结 果 第 二 次 树状图法 当一次试验要设计三个或更多的因素时 用列表法就不方便了 为了不重不漏地列 出所有可能的结果 通常采用树状图法求概率 8 注意 求概率的一个重要技巧 求某一事件的概率较难时 可先求其余事件的概率或考虑其反面的 概率再用 减 即正难则反易 概率的实际意义 对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率 一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平 就是要看各事件发生概率 另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动