【重庆大学】理论力学复习纲要

理论力学复习指南第一部分 静力学第1章静力学基本概念和物体的受力分析1静力学基本概念力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体运动状态发生变化或使物体产生变形。前者称为力的运动效应，后者称为力的变形效应。力对物体的作用决定力的三要素：大小、方向、作用点。力是一定位矢量。刚体是在力作用下不变形的物体，它是实际物体抽象化的力学模型。等效 若两力系对物体的作用效应相同，称两力系等效。用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成。2静力学基本公理力的平行四边形法则给出了力系简化的一个基本方法，是力的合成法则,也是一个力分解成两个力的分解法则。二力平衡公理是最简单的力系平衡条件。加减平衡力系公理是研究力系等效变换的主要依据。作用与反作用定律概括了物体间相互作用的关系。刚化公理给出了变形体可看作刚体的条件。 3. 约束类型及其约束力限制非自由体位移的周围物体称为约束。工程中常见的几种约束类型及其约束力光滑接触面约束约束力作用在接触点处，方向沿接触面公法线并指向受力物体。柔索约束约束力沿柔索而背离物体。铰链约束约束力在垂直销钉轴线的平面内，并通过销钉中心。约束力的方向不能预先确定，常以两个正交分量Fx和Fy表示。滚动支座约束约束力垂直滚动平面，通过销钉中心。球铰约束约束力通过球心，但方向不 能预先确定，常用三个正交分量Fx，Fy，Fz表示。止推轴承约束约束力有三个分量Fx ，Fy ，Fz 。4. 受力分析对研究对象进行受力分析、画受力图时，应先解除约束、取分离体，并画出分离体所受的全部已知载荷及约束力。画受力图的要点（1）熟知各种常见约束的性质及其约束力的特点。（2）判断二力构件及三力构件，并根据二力平衡条件及三力平衡条件确定约束力的方向。（3）熟练、正确表出作用力与反作用力。受力分析三步曲：分离物体、画主动力、画约束力（约束个数、约束类型、用约束力代替约束）第2、3章平面力系1. 力矩力矩是度量力对物体转动效果的物理量。平面问题中力F对O点之矩记为MO(F )=F h平面问题中力矩是代数量。合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和，即2平面力偶系的合成和平衡条件（1）力偶与力偶矩 大小相等，方向相反，作用线平行的两个力F, F 组成力偶，力偶是一特殊力系。力偶对物体只有转动效应，它与一个力不等效，不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶平衡（习题213）。力偶对物体的转动效应决定于力偶矩，即力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。力偶对任意点之矩等于力偶矩，与矩心位置无关。力偶等效条件 同平面内的两个力偶，如力偶矩相等，则两力偶等效。力偶的等效性表明: 只要力偶矩不变，可任意改变力的大小和力偶臂的长短；力偶也可在作用面内任意移转。（2）平面力偶系的合成同平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和（3）平面力偶系的平衡条件 力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩等于零，即一个独立的平衡方程，可解一个未知量。3力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。4平面力系向平面内一点简化力系向任一点O（称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。力的大小、方向决定于力系的主矢量，力偶的矩决定于力系对简化中心的主矩。力系中各力的矢量和称为力系的主矢量(简称主矢)。即主矢量与简化中心位置无关。力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。即主矩与简化中心位置有关。5主矢和主矩的解析式如以简化中心为原点，建立直角坐标系Oxy则主矢与主矩的解析表达式分别为式中X i，Y i为力系中各力在坐标轴上的投影，x i，y i 为力F i作用点的坐标。6平面力系平衡的必要和充分条件力系的主矢和主矩都等于零，即： 平面力系平衡方程的三种形式基本形式二 力 矩 式三 力 矩 式A、B 连线与x 轴不垂直A、B、C 三点不共线例 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。解 研究AB梁； 受力如图； 取Axy直角坐标； 列平衡方程求解： 解得： 例 已知：分布载荷，力偶矩，不计拱自重求C处的反力。线性分布外力（例题38，习题34）例桁架结构0力杆（习题2-55）第4章空间任意力系1计算力在空间直角坐标轴上的投影有两种方法一次直接投影法二次（间接）投影法。2力对轴之矩力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量，是代数量，可按定义或解析式计算。当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。3力对点之矩力对点之矩是力使物体绕该点转动效果的度量，是定位矢量。表为力对点之矩在过该点某轴上的投影等于力对该轴之矩。 有4合力矩定理力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对该点之矩的矢量和，即 5力偶矩矢力偶矩矢是表示力偶三要素的自由矢量，它完全决定了力偶对物体的作用。若两力偶的力偶矩矢相等，则两力偶等效。6空间力系的合成空间汇交力系合成为通过汇交点的一个合力，其合力矢 空间力偶系合成为一合力偶，其合力偶矩矢空间任意力系向任一点O简化，得到作用在简化中心O的一个力和一个力偶，力的大小、方向决定于力系的主矢量，力偶矩矢决定于力系对O点的主矩，即7空间力系平衡的必要和充分条件 空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即8. 空间力系平衡方程的基本形式 空间汇交力系空间力偶系空间平行力系空间任意力系9. 物体的重心 重心是物体重力的合力作用点。均质物体的重心与几何中心形心重合。重心坐标的一般公式是 ; 对于均质物体例 边长为l、重量为的均质正方形平台，用六根不计自重的直杆支承如图所示。设平台距地面高度为l，处载荷沿边，试求各杆内力。 解： 取研究对象：平台。 分析受力，如图所示，六根支承杆均为二力杆。 列平衡方程求解： ， ： ， ： ， ： ， ： ， ： ， 【例】边长为的立方框架上，沿对角线AB作用一力，其大小为P；沿CD作用另一力，其大小为，此力系向O点简化的主矩大小为（）。第5章摩擦1.基本概念动滑动摩擦、静滑动摩擦当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力的大小F与相互接触物体之间的正压力大小与正比。2.基本计算动滑动摩擦、静滑动摩擦的计算【例】物A重100KN，物B重25KN，A物与地面的摩擦系数为0.2，滑轮处摩擦不计。则物体A与地面间的摩擦力为?第二部分 运动学第6章点的运动1矢量法点位置确定运动方程 =轨迹：矢端曲线速度 方向沿轨迹切线加速度 2直角坐标法点位置确定运动方程 轨迹运动方程消去时间参数t，即可得到 轨迹的曲线方程。速度 加速度 3. 自然法前提：点的轨迹已知弧坐标的建立：在轨迹上确定点，规定“+”，“-”点位置确定：弧坐标s运动方程 速度 加速度 切向加速度 法向加速度 【例】题5-7，5-8例 在曲柄摇杆机构中，曲柄与水平线夹角的变化规律为，设，求点的运动方程和时点的速度和加速度 解法1 自然法 点的运动方程 速度 加速度 解法2 直角坐标法（坐标建立如图）B点的运动方程：速度：加速度：时 第7章刚体的基本运动1平动刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。因此，只要求得刚体上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。2定轴转动描述定轴转动刚体的位置用角坐标j。运动方程角速度角加速度 或w 为w 在z轴上的投影；a 为a 在z轴上的投影。 定轴转动刚体上各点速度v及加速度a的计算： 速度，或，R为点到转轴的距离。加速度其中 ,或切向加速度； ,或法向加速度。第8章点的合成运动1定系和动系理论上讲，若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。2动点和牵连点动点为研究的对象，是本章的主角。牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点，弄清牵连点的概念十分重要。3三个运动的关系绝对运动动点相对于定系的运动；相对运动动点相对于动系的运动；牵连运动动系相对于定系的运动。（1）速度合成定理 （2）加速度合成定理 其中当动系平动时 ，【例】：正方形板以等角速度绕O轴转动，小球M以均速度沿板内半径为R的圆槽运动。则M的绝对加速度为4应用例 摇杆滑道机构已知h、 q 、v 、a求: OA杆的 w , a 。解： 选取动点、动系、静系：动点: 杆BC上销子D 点,动系: 固连摇杆OA ，静系: 固连地面(机架)。2. 三种运动分析：3. 三种速度分析:由速度合成定理 ： 加速度分析:因牵连运动为定轴转动，故有 作加速度矢量关系图求解：将上式投影到沿切线的x 轴上，得：第9章刚体的平面运动1刚体平面运动定义刚体作平面运动的充要条件是：刚体在运动过程中，其上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。2平面运动方程刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。运动方程：其中A为基点。如果以 A 为原点建立平动动系Axy，则平面运动分解为跟随基点（动系）的平动和相对于基点（动系）的转动。3平面运动刚体上各点的速度分析（1）基点法-应用速度合成定理：（2）速度投影定理（由基点法推论）：刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。 （3）瞬心法（由基点法推论）瞬心是瞬时速度为零的点，把瞬心作为基点求速度的方法，为瞬心法。【例】图示系统中，ABCD为一平行四连杆机构，某瞬时杆EF平行于CD，求杆EF的速度瞬心（F点）4加速度分析 只推荐用基点法分析平面运动刚体上各点的加速度。 例 曲柄肘杆压床机构 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平。求该位置时的， 及 解： 运动分析： OA,BC作定轴 转动, AB,BD均作平面运动 研究AB;速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB ：P为AB 杆速度瞬心 研究BD;速度分析，用速度瞬心法求vD 和w BD ：P2为其速度瞬心,DBDP2为等边三角形DP2=BP2=BD第三部分 动力学第10章质点运动微分方程1牛顿第二定律牛顿第二定律为质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合力，即它是解决质点动力学的基本定律。2质点运动微分方程矢量形式 直角坐标形式 自然坐标形式一般在研究自由质点的运动时，常采用直角坐标或极坐标形式的微分方程，研究非自由质点动力学问题时常采用自然坐标形式的微分方程。3质点运动微分方程的应用运用质点运动微分方程，可解决质点动力学两类问题，即（1）已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常是未知的约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。（2）已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动微分方程的积分过程，或求解过程。 对于多数非自由质点，一般同时存在以上动力学的两类问题，对于这种问题一般首先解除约束以相应的约束力代替，根据已知的主动力及运动初始条件，求解质点的运动规律；然后在运动确定的条件下再求解未知约束力，约束力一般包括静约束力和附加动约束力两部分。 利用质点运动微分方程求解质点的运动规律时，视问题的性质，可采用两种分离变量的方法对微分方程进行积分，即 或质点的运动规律还决定于初始条件，利用运动的初始条件，可确定定积分的下限或不定积分的积分常数。视问题的性质，也可以用解微分方程的方法求解。4解决质点动力学问题的步骤（1）分析质点的受力，分清主动力与约束力。对非自由质点需解除约束，以约束力代替。主动力一般为已知，约束力通常是未知的，但其方向往往可根据约束的性质确定。画出质点的受力图。（2）分析质点的运动，画出质点的运动分析图，一般包括广义坐标，加速度、速度在坐标上的分量等。 （3）列写质点运动微分方程。列方程时要注意力及运动量在坐标上投影的正负号。 （4）微分方程的求解及问题的进一步讨论。【例】已知物体的质量为m，弹簧的刚度为，原长为，静伸长为，则对于以弹簧静伸长末端为坐标原点，铅直向下的坐标OX，重物运动微分方程应为【例】习题9-18第11章动量定理1质点系动量的计算质点系的动量为质点系中各质点动量的矢量和，即在直角坐标系中可表示为质点系的动量还可用质心的速度直接表示，即2质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系，可表示为如下几种形式：质点系动量定理质心运动定理3动量定理的应用应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：（1）质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。（2）应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。（3）当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即常矢量 外力系的主矢量在某一轴（如x轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数常数第12章动量矩定理1. 转动惯量刚体对Z轴的转动惯量 2质点系动量矩质点系对任意一点的动量矩为质点系中各点的动量对同一点的矩的矢量和，即质点系对轴z 动量矩 平动刚体 定轴(z轴)转动刚体 平面运动的刚体 3质点系动量矩定理质点系的动量矩定理建立了质点系动量矩的变化率与作用于质点系上外力的主矩之间的关系。可表示为如下几种形式：（1）对固定点的动量矩定理 质点系对固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于外力系对同一点的主矩，即 用投影式表示为 （2）相对质心动量矩定理 质点系相对质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即 （3）刚体绕固定轴转动的微分方程 4刚体平面运动微分方程 5动量矩定理的应用在应用动量矩定理时，应注意以下几点：（1）正确计算质点系的动量矩；（2）质点系动量矩的变化率与外力矩有关。所以，在分析问题时要明确研究对象，分清内力与外力；（3）当对固定点的外力矩为零时，质点系对该点的动量矩守恒。即 时，常矢量或对某轴（如z 轴）的外力矩为零时，质点系对该轴的动量矩守恒。即时，常数 例 两质量各为8 kg的均质杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA 处于水平位置时, T 形杆具有角速度w=4rad/s 。求该瞬时轴承O 的反力。解： 选T 字型杆为研究对象； 受力分析如图示； 运动分析：刚体绕O 轴转动； 根据定轴转动微分方程求解：再根据质心运动定理有： 运动学补充方程： 解得： 第13章动能定理1.质点系动能的计算质点的动能 ：质点系的动能等于质点系内各质点动能的总和，即（2）刚体动能的计算平动刚体： 定轴转动刚体： 平面运动刚体：分别为刚体对固定轴，质心轴和瞬心轴的转动惯量。2. 力的功的计算作用在质点系上的力通常为变力，变力的元功为 力在有限路程上的功为 或如（1）重力在有限路程上的功为即决定于轨迹两端的高度差，而与轨迹形状无关。（2）弹性恢复力在有限路程上的功为其中为弹簧刚度系数，弹性恢复力的功仅决定于质点在轨迹两端时弹簧的变形，而与轨迹形状无关。3. 动能定理 微分形式的动能定理：积分形式的动能定理：动能定理给出了质点系在运动过程中速度与位置的关系。具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决定质点系在已知主动力作用下的运动规律。4. 机械能守恒在理想约束的情况下，若作用在系统上的主动力有势,则系统的机械能守恒，即应用机械能守恒定律可得到系统运动微分方程的初积分。常见势力的势能，（1）重力势能 式中由零势面铅垂向上为正。（2）弹性恢复力势能 式中为弹簧的变形量。以弹簧原长处为势能零点。5. 普遍定理的综合应用普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。在许多较为复杂的问题中，往往需要联合应用几个普遍定理以求得问题的解答。例如时常遇到这样一种类型的问题：已知作用于系统上的主动力，需求系统的运动及未知约束力。这时应首先根据系统中各物体的运动情况及系统所受力的特点，考虑应用哪一个普遍定理可以建立已知的主动力和运动的关系，在理想约束的情形下，应用动能定理常常可以做到这点。由反映这些关系的方程求得系统的运动后，再应用相应的普遍定理，通常是应用动量定理或动量矩定理，以求出未知的约束力。 例 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止) 解： 取系统为研究对象； 计算主动力的功； 运动分析计算动能； 根据动能定理求解： 上式求导得： 综合9：已知均质曲柄OA长为L，质量为，力偶矩M为常数；滑块A光滑，质量不计；框架质量为，质心在C点，框架与滑道间的摩擦系数为，当曲柄与水平线夹角为时，系统由静止开始运动。求：曲柄转过一周时的角速度。例13-9、综合13、综合14第14章达朗伯尔原理刚体作平动、定轴转动、平面运动时惯性力与惯性矩的施加。补充题：20