函数的极限与连续

第一章 函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念. 1-1函数一、函数的概念定义1.1 设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则，使得对于每一个，都有一个惟一的实数与之对应，则称对应法则是定义在D上的一个函数. 记作y=f(x)，其中为自变量，y为因变量，习惯上称y是的函数，D称为定义域.当自变量x 取定义域D内的某一定值时，按对应法则f所得的对应值y0， 称为函数y=f(x)在x =x0时的函数值，记作f(x0)，即 y0=f(x0). 当自变量x取遍D中的数，所有对应的函数值y构成的集合称为函数的值域，记作M，即 例1 已知，求，解 例2 求下列函数的定义域.（1） (2)解（1），所以定义域为（2），所以定义域为由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数.例如： 与,因为,即这两个函数的对应法则相同，而且定义域均为R，所以它们是相同的函数.又如与，虽然，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.二、函数的性质1、 单调性设函数在（）内有定义，若对（）内的任意两点，当时，有，则称在（）内单调增加；若当时，有，则称在（）内单调减少，区间（）称为单调区间.2、 奇偶性设函数在D上有定义，若对于任意的，都有，则称为偶函数；若有，则称为奇函数.在直角坐标系中，奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.3、 有界性若存在一个正数M，使得对任意的，恒有，则称函数y=f(x)在（）内有界.如y=sinx与y=cosx都在（）内有界.4、 周期性设函数在D上有定义，若存在一个正实数T，对于任意的，恒有，则称是以T为周期的周期函数.通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期. 如的周期是2，的周期是，的周期是. 函数,（为常数）是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.三、反函数定义1.2设函数，其定义域为D，值域为M. 如果对于每一个，有惟一的一个与之对应，并使成立，则得到一个以为自变量，为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作显然，的定义域为M，值域为D. 由于习惯上自变量用x表示，因变量用表示，所以的反函数可表示为例如的反函数是，其定义域就是的值域，值域是的定义域，如图1-1（a）所示.（a）（b）在同一直角坐标系中，函数y=f(x)和其反函数的图象关于直线对称.如图1-1（b）所示. 图11四、初等函数1、基本初等函数下列六种函数统称为基本初等函数.（1）常数函数（为常数），其图形为一条平行或重合于轴的直线.（2）幂函数（为实数）,其在第一象限内的图形如图1-2所示. 图1-2（3）指数函数（），定义域为R，值域为，图形如图1-3所示.（a）（b）图1-3（4）对数函数，定义域，值域为R，图形如图1-3（b）所示.（a）（b）（5）三角函数，. 其中正弦函数和余弦函数的定义域都为R，值域都为，正切函数的定义域为，值域为R，这三个函数的图形如图1-4所示.图1-4（6）反三角函数，其中反正弦函数与反余弦函数的定义域都为，值域分别为和反正切函数y=arcanx的定义域R，值域为，这三个函数的图形如图1-5所示.图1-52、复合函数定义1.3 设函数的定义域为，函数的值域为,若，则将称为与复合而成的复合函数，称为中间变量，为自变量.如函数，因为的值域包含在的定义域（0，+）内，所以是与复合而成的复合函数.注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如与就不能复合. 因为的值域为，而的定义域为，所以对于任意的所对应的，都使无意义；（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.例4 指出下列函数的复合过程（1） ； （2）.解 （1）是由与 复合而成的； （2）是有, 复合而成的.例5 已知f（x）的定义域为，求f（lnx）的定义域.解 由得 所以的定义域为.3、初等函数定义1.4 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.1oy图1-6有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函数称为分段函数，分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.例6 已知，求，1，并作出函数图形 解 ； ； ； 图形如图1-6所示 五、建立函数关系举例运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算. 例7 如图1-7，从边长为a的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x，周长为P，面积为A，试分别将P和A表示为x的函数.解 设矩形的另一条边长为=该矩形周长P=， 矩形面积， . 图1-7例8 电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部分按每度0.8元收费,试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系.解 当时，G=05W 当时,G= 当时,G= 所示习题1-11、 求下列函数的定义域（1） （2）（3） （4）2、已知，求，的值，并作出函数的图形.3、求下列函数的反函数（1） （2） （3）4、判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4）.5、分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程 （1） （2） （3） （4）6、把一个直径为50厘米的圆木截成横截面为长方形的方木，若此长方形截面的一条边长厘米，截面面积为A平方厘米，试将A表示成的函数，并指出其定义域.1-2极限的概念一、数列的极限先看下面两个按一定次序排列的一列数（1）1，,（2），, 我们称它们为数列，分别记作，.现在来考察无限增大时，这两个数列的变化趋势. 为清楚起见，我们把这两个数列的前项：， 分别在数轴上表示出来（如图1-8，图1-9所示）.图1-8图1-9由图1-8可以看出，当无限增大时，表示的点逐渐密集在点的右侧，且无限接近于0；由图1-9可以看出，当无限增大时，表示的点逐渐密集在点当的左侧，且无限接近于1.上述两个数列具有相同的变化特征，即当无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数.对于具有这样特征的数列，我们给出定义.定义1.5如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数A，则把常数A称为数列的极限（也称数列收敛于A）记作 或当时，因此，上述数列（1）有极限为0，记作；数列（2）有极限为1，记作.例1 观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.（1） （2）（3） （4）解 （1）的项依次为1，当无限增大时，无限接近于0， 所以 =0；（2）的项依次为2，当无限增大时，无限接近于1，所以=1；（3）的项依次为，当无限增大时，无限接近于0，所以=0； （4）为常数数列，无论取怎样的正整数，始终为4，所以.一般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即（为常数）需要指出的是，并不是所有数列都有极限，如数列，当无限增大时，也无限增大，不能无限接近于一个确定常数，所以它没有极限. 又如数列，当无限增大时，在-1和1这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没有极限.对于没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散.二、函数的极限对于函数的极限，根据自变量的不同变化过程分两种情况介绍.1、当时，函数的极限当自变量的绝对值无限增大时，记作.定义1.6 设函数在时有定义（为某个正实数），如果当自变量的绝对值无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当时，函数的极限，记作（或当时，）.需要指出的是，表示既取正值而无限增大（记作），同时又取负值而其绝对值无限增大（记作）显然，函数在时的极限与在，时的极限存在以下关系：定理1.1 的充要条件是.例2 讨论下列函数当时的极限. （1）； （2） ； （3）.解 （1）由反比例函数的图形及性质可知，当无限增大时，无限接近于0，所以=0；（2）由指数函数的图形及性质可知，所以不存在.（3）由反正切函数的图形及性质可知，所以不存在.2、 当时，函数的极限当自变量无限接近于某一定值时，记作. 定义1.7 设，我们把集合x称为点的邻域，点称为邻域的中心，称为邻域的半径. 称集合x0为的去心邻域.如图1-10（）、（）所示. 显然，的邻域即为开区间)，记为N();的去心邻域即为),记为N().图1-10定义1.8 设函数在的某去心邻域N（）内有定义，如果当无限趋近于时，无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当时函数的极限，记作或当，A图1-11图1-12如函数，从图1-11可看出，当从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线上的点M与M都无限接近于点N(1,2)，即函数的值无限接近于常数2，所以. 需要指出的是：(1)由于现在考察的是当时函数的变化趋势，所以定义中并不要求在点处有定义；(2) 表示自变量从的左、右两旁同时无限趋近于.例3 考察当时，函数的变化趋势，并求时的极限.解 从函数的图形（图1-12）可知，当从左、右两旁同时无限趋近于-1时，函数的值无限趋近于常数，所以定义1.9设函数在（）（或（）内有定义，若当自变量从的左（右）近旁无限接近于，记作（）时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为时的左（右）极限，记作或，（或）.极限与左、右极限之间有以下结论：定理1.2 的充要条件是.例4 讨论下列函数当时的极限.（1）； （2）.解 （1）因为，所以根据定理.2，不存在. 称为符号函数，见图1-13.图1-13（2）因为，所以根据定理1.2，如图1-13（）. 习题12习题1-21、观察下列数列的变化趋势，并判断极限是否存在，若存在，指出其极限值。 （1） （2）（3） （4）2、考察下列函数当时以的变化趋势，并求出其当时的极限。（1） （2） 3、 讨论下列函数当时的极限（1） （2）1-3 极限的运算一、极限的四则运算定理1.3 设，,则（1）；（2），（C为常数）；（3）；（4）(B)说明：（1）上述运算法则对于时的情形也是成立的;而且法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形.（2）由于数列可以看作定义在正整数集上并依次取值的函数，所以数列极限可以看作是一种特殊的函数极限. 因此，对于数列极限也是有类似的四则运算法则.例1 求. 解 = =1+21-3=0例2 求解 =4例3 求.解 因为当时，分母的极限为零，所以不能直接应用法则（4）.但因，在的过程中，所以例4 求.解 因为当时，与的极限都不存在，所以不能直接应用法则（1）计算，应先通分，进行适当的变形，然后用相应的法则来计算.= =-1例5 求下列函数极限. （1）； （2）.解 （1）因为时，分子分母的极限都不存在，所以不能直接应用法则（4）.可先用同除分子、分母，然后再求极限=（2）不能直接应用法则（4）.先用同除分子、分母，=0例6 设无穷等比数列的首项为，公比q满足，求数列的所有项之和S.解 设数列的前项的和为，由等比数列的前项和公式可得： 所以 = = = 因为，所以 故=由此例可知，若一无穷等比数列的公比绝对值小于1（称为无穷递缩等比数列），则其所有项和为. 其中为首项,为公比，此式称为无穷递缩等比数列的求和公式.二、无穷小与无穷大1、无穷小定义1.10 在自变量的某一变化过程中，若函数的极限为零，则称此函数为在自变量的这一变化中的无穷小量，简称为无穷小.如函数，因为，所以函数是当时的无穷小.又如函数，因为，所以函数是当时的无穷小.值得注意的是：（1）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 如是当的无穷小，而当趋向其它数值时，就不是无穷小；（2）常数中只有“0”可以看成无穷小，其他无论绝对值多么小的常数都不是无穷小.无穷小具有如下性质：（1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小；（2）有限个无穷小的代数和为无穷小；（3）有限个无穷小的乘积为无穷小.例7 求.解 因，即是当时的无穷小，是有界函数. 所以根据无穷小的性质知，仍为当时的无穷小，即2、无穷小与极限的关系定理1.4 在自变量的某一变化过程中，函数的极限为A的充要条件是可以表示成A与一个同一变化过程中的无穷小量之和. 即 3、无穷大定义1.11 在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值无限增大，而且可以任意地大，则函数称为在自变量的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为 这里采用极限记号只为方便起见，并不表明极限存在.例如当时，无限增大，所以是当时的无穷大，记作；当时，总取正值而无限增大，所以是当时的无穷大，记作；当时，取负值而绝对值无限增大，所以是当时的无穷大，记作.无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为不恒等于零的无穷小，则为无穷大.例8 求.解 因为=所以 .结合本节的例5、例6，并可以证明： 三、无穷小的比较定义1.12 设与是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，（1）若，则称是比高阶的无穷小，记作；（2）若（为非零常数），则称与是同阶无穷小，特别地，若，则称与是等价无穷小，记作.例9 下列函数是当时的无穷小，试与相比较，哪个是高阶无穷小？哪个同阶无穷小？哪个等价无穷小？（1） （2） （3）解 因为= =3 =0所以当时是与等价的无穷小， 是与同阶的无穷小，是比高阶的无穷小.习题1-31、求下列函数的极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）2、求无穷递缩等比数列， ，.的所有项之和.3、试比较下列各组无穷小阶数的高低（1）与（）（2）与 （）（3）与 （）1-4两个重要极限一、极限存在准则 我们不加证明地给出以下两个极限存在准则： 准则1 如果函数，在（或在时，）有，而且=A，则 =A 准则2 如果数列单调有界，则极限一定存在.二、两个重要极限1、这个极限的正确性可用准则1来证明. 这里，我们仅列表考察当时，的变化趋势.0.84147090.95885110.99833420.99998330.9999998 从上表可以看出，当时，的值无限趋近于1，所以例1 . 解 令则当时，所以 =此例还可以用正弦的二倍角公式来解： = 例2 求. 解 令 则当时，所以 =1例3 证明.证 =1例4 求.解 实际上，这个重要极限还可推广到一般情况：当时，若，则有 例5 求.解 =例6 求.解 =12、这个极限的正确性可用极限存在准则2来证明，在此从略，仅列表考察当时，函数的变化趋势.x1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828x-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972.731992.719642.718422.718302.71828从上表可以看出，当或时，的值都无限趋近于无理数所以若令，则当时，所以上式也可改写成：一般地，当时，若，则有 例7 求.解 =例8 求.解 =例9 求.解 = =习题1-41、求下列各极限（1） （2）（3） （4）（5） （6）2、求下列各极限（1） （2）（3） （4）1-5 函数的连续性在许多实际问题中，变量的变化往往是“连续”不断的. 例如，气温的变化、物体的运动等，其特点是时间变化很小时，这些变量的变化也很小. 变量的这种变化现象，体现在函数关系上，就是函数的连续性. 本节我们将用极限来定义函数的连续性.一、函数的连续与间断1、函数的改变量设变量从初值变到终值，则终值与初值的差称为变量的改变量，也称为增量，记作.即变量的改变量可以是正的，也可以是负的. 当为正时，变量是增加的；当为负时，变量是减少的.现设函数在内有定义，当自变量在该邻域内从变到（即在处有改变量）时，函数相应地从变到，所以函数相应的改变量为这个关系式的几何解释如图1-14所示.图1-14 例1 已知函数，当自变量有下列变化时，求相应的函数改变量.（1）从变到1；（2）从1变到0；（3）从1变到.解 （1）（2）（3）2、函数在点处的连续性由图1-14可以看出，如果函数的图形在的某一邻域内没有断开，那么当保持不变，而让时，曲线上的点，即，从而函数改变量由此有如下定义.定义1.13 设函数在内有定义，若当自变量在处的改变量趋近于零时，相应的函数改变量也趋近于零，即则称函数在点处连续，称点为函数的连续点.例2 试用定义1.13证明：函数在点处连续.证明 显然函数在点的邻域内有定义. 现设自变量在处有改变量，则由例1，当，相应的函数改变量的极限.所以，根据定义1.13，函数在点处连续.在定义1.13中，若令，则就是，就是，即就是.因此，函数在点的连续定义也可叙述如下：定义1.14 设函数在内有定义，若当时，函数的极限存在，而且极限值就等于在点处的函数值，即则称函数在点处连续.例3 试用定义1.14证明：函数在点处连续.证明 显然在的邻域内有定义，由无穷小的性质可知，即 所以根据定义1.14，函数在点处连续.3、函数在区间内的连续性若函数在开区间内的每一点处都连续，则称函数在开区间内连续若函数在有定义，且，则称函数在处.左连续.若函数在有定义，且，则称函数在处右连续.显然函数在处连续的充要条件是：函数在该点既是左连续，又是右连续.若函数在开区间内连续，且在右连续，在左连续，则称函数在闭区间上连续.4、函数的间断点由定义1.14可知，函数在点处连续必须同时满足下列条件：（1）函数在点处有定义；（2）当时，的极限存在；（3）极限等于在点处的函数值，即.上述三个条件中只要有一个不满足，函数在点处就不连续.若函数在点处不连续，则称函数在点处间断，称点为函数的间断点.定义1.15 设为的一个间断点，如果与均存在，则称为函数的第一类间断点，（特别地，当，为函数的可去间断点）否则，称为的第二类间断点.二、初等函数的连续性我们不加证明地给出如下重要事实：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.这样，求初等函数的连续区间就是求初等函数的定义区间. 关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一分段区间内的连续性外，必须讨论分界点的连续性.例4 求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型.（1） （2） 解 （1）其连续区间即为定义区间：、，是它的两个间断点.因为 ，所以是第二类间断点.因为 ，所以是第一类可去间断点.（2）显然，在分段区间内连续，现考察分界点的极限.所以是间断点，且是第一类间断点.； 所以 是连续点，故函数的连续区间是，.三、闭区间上连续函数的性质定理1.5（最大值、最小值定理） 若函数在闭区间上连续，则函数在区间上必然存在最大值与最小值.如图1-15所示，函数在闭区间上连续,则在闭区间上至少存在一点，使得是函数在区间上的最大值，即对一切，均有成立；同样，也至少有一点，使得是函数在区间上的最小值，即对一切，均有成立.图1-15图1-16 定理1.6（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且，则对于与之间的任一值，在开区间内至少存在一点，使得如图1-15所示，在上连续的曲线与直线（介于，之间）至少有一个交点，设交点横坐标为，则纵坐标为.定理1.7（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且，则在开区间内，至少存在一点，使得.如图1-16所示，当时，上的连续曲线与轴至少有一个交点.习题1-5 1、已知 证明在处连续，在处间断.2、求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型.（1） （2）3、已知函数 在内连续，试求与的值.本章内容小结本章的主要内容有：1、函数与反函数的概念；函数的有界性，奇偶性，单调性和周期性；基本初等函数的性质及复合函数与初等函数的概念.2、数列极限与函数极限的概念；极限的四则运算；无穷大与无穷小的概念；两个重要极限与及运用.3、函数的连续点与间断点的概念；函数在某点连续须满足的三个条件；初等函数的连续性；闭区间上的连续函数的性质；最大值与最小值定理、介值定理、零点定理.学习中要注意的几点：（1）, （2）极限的四则运算法则仅适用于有限个具有极限的函数的情形；（3）极限与连续的关系：若在点处连续，则极限存在；反之不一定成立.复习题一图1-171、 设为定义在对称区间上的函数，试判断函数与的奇偶性. 你能从此题的结果中得出什么结论？2、设圆锥底面直径和母线都为，在该圆锥内作内接圆柱（如图1-17），试将圆柱体积表示成圆柱底面半径的函数.3、求下列极限（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）4、设，求5、求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型.（1） （2） 6、已知，求常数、之值.7、已知 在处连续，求与.22