高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程

周期公式序号公式T理解或者公式特点例题1fx+a+fx+b=c2|a-b|自变量的和不是常数，两个自变量之差是常数，两个函数值相加为常数。2fx+a=-f(x)即fx+a+fx=0是上一个公式的特例2a两个自变量之差是常数。两个函数值相加为常数。3fx+a=kfx2a正负号，倒数，两个自变量之差是常数。4fx+a=1+fx1-fx4a类似第3个公。5fx+a=1-fx1+fx2a类似第3个公式。6fx=fx+a+fx-a例如：fx=fx-1-fx-2整理后：fx-1=fx+fx-2令x=x+1得到：fx=fx+1+fx-16a两个函数值之和等于另一个函数值，且两个作为加数的函数的自变量是xa7fx+a=fx+b|a-b|图像向左平移a个单位，和向左平移b个单位重合。原来两个点x坐标差的距离就是他们的周期。两个自变量之差是常数，两个函数值相等。8函数f(x)的图像S有两个对称轴x=a,x=b（ab）2|a-b|对称轴多和偶函数以及一个函数图像的自对称这两个知识点相关9函数f(x)的图像S有两个对称中心G1a,c和G2b,c（ab）2|a-b|对称中心多和奇函数以及一个函数图像的自对称这两个知识点相关10函数f(x)的图像S有一个对称中心G1b,c和一条对称轴x=a，（ab）4|a-b|知识点涉及奇函数、偶函数以及函数图像的自对称以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。1. 已知f(X)是R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xfx+1=x+1f(x)，则ff52=解：令x=0，f(0)=0;令x=-12，f-12=0；令x=12，f32=0；令x=32，f52=0； ff52=f0=02. 定义在R上的函数f(x)满足fx=log21-x,x0 fx-1-fx-2,x0，则f(2009)= 解：整理fx=fx-1-fx-2，得到fx-1=fx+fx-2令x=x+1得到，fx=fx+1+fx-1由公式6知道周期为6，即fx+6=f(x)，x0f(2009)=f3346+5=f(5)。由公式fx=fx-1-fx-2得f5=f4-f3=f3-f2-f3=-f2 =-f1-f0=-(f0-f-1-f0) =f-1=03. 已知函数f(x)满足f1=14，4fxfy=fx+y+fx-y,x,yR，则f(2010)= 思路：消元和赋值。令x=x,y=1，则fx=fx+1+f(x-1)，根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，f2010=f3356=f(0)。令y=0，则4fxf0=2f(x)， x不恒为零，f0=12f2010=12。下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。因为word输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。6