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名师精遍优秀教案-第8章一元一次不等式.18.1认识不等式.18.2解一元一次不等式 .31.不等式的解集.32.不等式的简单变形 .43.解一元一次不等式.68.3一元一次不等式组 .8小结.11复习题.12A组.12B组.13C组.14第 8 章一元一次不等式8.1 认识不等式问题1世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名少先 队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是 浪费”吗？那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费”呢？我们不妨一起来算一算：买27张票，要付款527=135（元）买30张票，要付款4 30=120（元）显然120135这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是浪费”了3张票，而实际上反而节省了。当然，如果去世纪公园的人数较少（例如10个人），显然不值得去买30张票，还是按 实际人数买票为好。现在的问题是：至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？ 探索我们一起来分析上面提出的问题。设有x人要进世纪公园，如果x30,显然按实际人数买票，每张票只要付4元。如果x30，那么：按实际人数买票x张，要付款5x（元）买30张票，要付款4X30=120（元）如果买30张票合算，那么应有1205x名师精编优秀教案3, 2, 1,0,1.5,2.5,3,3.5,5,7。现在的问题就是：x取哪些数值时，上式成立?前面已经算过，当x=27时，上式成立。让我们再取一些值试一试，将结果填入下表。x5x比较120与5 x的大小1205x不成立2223242526271351205x成立由上表可见，当x=_时，不等式1205x成立。也就是说，少于30人时，至少要有 _ 人进公园时，买30张票反而合算。概括像上面出现的120135,x30,1205x那样用不等号 “表示不等关系的式子， 叫做不等式(inequalityinequality )。不等式1205x中含有未知数x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解(solutionsolution ofof inequalityinequality)。如上例中，x=25,26,27,都是不等式1205x的解，而x=24,23,22,21则不 是它的解。例用不等式表示：(1)x的一半小于一1(2)y与4的和大于0.5(3)a是负数；(4)b是非负数；” 1解(1)2x0.5(3)a0或b=0,通常可表示成b0(2)y与2的差小于一1。(4)y的2与3的差是负数。(6)b不是正数；2用“号填空：(1)7+3_4+3；(3)7X3_4X3；练习1.用不等式表示：(1)x的3倍大于5;(3)x的2倍大于x;(5)a是正数；(2)7+(-1) _4+(-1)；(4)7X(-3) _4X (-3)。x+25的解？哪些不是？名师精编优秀教案3, 2, 1,0,1.5,2.5,3,3.5,5,7。3下列各数中，哪些是不等式名师精编优秀教案习题8.11.比较下列各数的大小，用“5的解。由此可以看出，不等式x+25有许多个解。进而看出，大于3的每一个数都是不等式x+25的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x+25的解。由此可见，不等式x+25的解有无限多个，它们组成一个集合，称 为不等式x+25的解集。概括一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集(solutionsolution setset)。研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式(solvingsolving inequalityinequality)。不等式x+25的解集，可以表示成x3,它也可以在数轴上直观地表示出来，所示。-10123451(1)x的2与3的差大于2;(3)a的2倍与4的差是正数;(5)a与b的差是非负数；如图8.2.1名师精编优秀教案图 13,2.1同样，如果某个不等式的解集为x2,也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.2所示。3 32 21 10 01 1 13.2,2练习1.根据当x为任何正数时，都能使不等式集是x0?为什么？x+32成立”能不能说 不等式x+32的解2.两个不等式的解集分别为x2和x2它们有什么不冋？在数轴上怎样表示它们的区别？3.两个不等式的解集分别为x1分别在数轴上将它们表示出来。2.不等式的简单变形回顾与探索在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。在研究解不等式时， 我们同样应先探究不等式的变形规律。如图8.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然ab）,如果在两边盘内分别加上等量的砝码c,那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a+cb+c）。概括不等式的性质 1 1如果 abab，那么a a+ cbcb+ c c, a a cbcb c cit b图13,2.3这就是说，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等式的方向不变。思考不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？试一试名师精编优秀教案将不等式74两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“我“填空：7X3_ 4 37X2_4X,7 X_4X,7X0_4X,7X (-1) _4X(-1),7X (-2) _4X(-2),7X (-3) _4X(-3),从中你能发现什么？概括不等式的性质 2 2如果 abab，并且 c0c0，那么 acbcacbc。不等式的性质 3 3如果 abab，并且 c0ca或xa的形式。例1解不等式：(1)x78(2)3x2x-3解(1)不等式的两边都加上7,不等式的方向不变，所以X7+78+7,得x15(2)不等式的两边都减去2x(即加上一2x),不等号的方向不变，所以3x2x2x3-2x得x3;(2)-2x(-3) X2,得x6。1(2)不等式的两边都除以一2(即乘以一1)，不等式的方向改变，所以名师精编优秀教案得x一3。这里的变形，与方程变形中的将未知数的系数化为1 ”相类似，它依据的是不等式的性质2或3，要注意不等式两边乘以(或除以)的数是正数还是负数，确定变形时不等号 的方向是否需要改变。练习解下列不等式，并在数轴上表示出来:1. X202.X+103. 2x44.3x03.解一元一次不等式前面遇到的不等式有一个共同的特点：它们都只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1。像这样的不等式叫做 一元一次不等式(linearlinear inequalityinequality withwith oneone unknownunknown)。我们再来解一些一元一次不等式。例3解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：(1)2x14x+13;(2)2(5x+3) x3(12x).解(1)2x14x+13,2x4x13+1,2x7.它在数轴上的表示如图8.2.4., 0 111-1- 1-8 7 63I 0 I图13,2.4(2)2(5x+3)3(12x),10 x+6 一3+6x,3x- 9,x6X( ),名师精编优秀教案1?x + 4 3x 1解 根据题意，得3 2 1,2(x+4)3(3x1)6,2x+89x+36,7x+116,7x5,5得x3;(2)2x1;(3)2(x+1)4 (x1)+72x -33x 22解不等式：323.一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3,在前两天一共完成了120 m3,由于整个工 程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。问以后几天内，平均每天至少要挖土多少m3?问题2在科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错 或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。育才中学25名学生通过了预选赛， 它们 分别可能答对了多少道题？实践与探索试解决这个问题(不限定方法)。你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨 论和交流一下。如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？应该如何表述？练习1.求下列不等式的正整数解：(1)4x 12;(2)3x110.2学校图书馆搬迁， 有15万册图书，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同 学帮助搬运图书，两天共搬了1.8万册。如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相 同，则在以后五天内，每天至少安排几个小组搬书？名师精编优秀教案习题8.21解不等式：(1)x52x- 61(3)2x32写出下图所表示的不等式的解集( (1 1) )_丄I I丄_1_1 1_I-1 1- 1 1-L.亠2 2 1010 1212( (2 2) )_J_ - 1 1- 1010-5-50 05 5(0(015153解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。(1)3x 3;(2)3x+30(3)2x+28x+34.a取什么值时，代数式4a+2的值:(1)大于1?(2)等于1?(3)小于1?5.解下列不等式：x(1) 2 +1x；(2)3(x+2)4(x1)+7;1 1(3) 2(x3)32x；6求不等式12x6的负整数解。7某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒。问导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？8.3兀一次不等式组问题3用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？ 分析设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30 x吨。由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有120030 x1200(4)x + 422.名师精编优秀教案和30 x 120030 X 1500分别求这两个不等式的解集，得同时满足不等式、的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。在数轴上表示这两个不等式的解集（图8.3.1）,可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40 x2x4在数轴上表示不等式、的解集，如图8.3.2，可知所求不等式组的解集是x4图 13.3.2练习1解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。5x 9-1,例1解不等式组：3x -1 2x + 1,.2 x a 8.解解不等式，得解不等式，得x - 10,2 x - 51.40405050名师精编优秀教案1 - x：0.名师精编优秀教案2x -1 a 0,(3)丿4 x a 0.2.一木工有两根长分别为40厘米和60厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角形木驾。问第三根木条的长度应在什么范围内？ 例2解不等式组:2x 1：-1,3 - x解解不等式，得x2在数轴上表示不等式、的解集，如图8.3.3-d_.1 02图1333可见，这令不等式的解集没有公共部分，这时，我们说这个不等式组无解。问题4小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一般的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端。这时，爸爸的一端仍然着地。 后来,小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端， 结果，爸爸被高高地跷起。猜 猜看，小宝的体重约多少千克（精确到1千克）？探索与讨论问题的已知条件有哪些？从跷跷板的状况可以概括出怎样的不等关系？用什么方法可 以解决这个问题？试一试，并与你的同伴讨论和交流。练习1填表:不等式组X - 2 C 0,+ 3 C 0,X - 2 C 0,A + 3 0,X - 2 A 0,A + 3 v 0,x - 2 0,M + 3 0,数轴表示解集2.结下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来:- 3 x一0,4x 70.2x x 2,x 84 x - 1;2x 40,(2)3 - 2 x 0;名师精编优秀教案1,(4)0；最后一人得到的苹果少于3个，问有几个孩子？有多少只苹果?习题 8.38.31.解下列不等式组:2求不等式组237 7x十3,(1)丿、4x + 5v3x + 6,5x 4：3(x1),(3) i x - 1 2x - 1 -.25,(5)2x+1x+2x402x5：3x5,(4)4x 50 8x 3,4x_7乞6x歸,名师精编优秀教案(1)是负数?(2)是 0?(3)是正数?4解下列不等式组：；2(x+1) 5，得 x 5;c)由 2x4，得 x 2;1/口d)由一w 3得 x-6。22解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来:(1)3x52(x2);(4)1(12x)3(21)323. X 取什么值时，代数式 5 3x 的值：名师精编优秀教案1,(4)0；3x -1x2x-203x -1：2x 26.一次智力测验，有 20 道选择题。评分标准为：对 1 题给 5 分，错 1 题扣 2 分，不答题不给分也不扣分。小明有 2 道题未答。问至少答对几道题，总分不低于 60 分?7. 判断下列不等式的变形是否正确：（1） 由 ab，得 acy，且 m = 0，得一;m m（3） 由 xy，得 xz2 yz2;（4） 由 xz2 yz2，得 xy8.三个连续自然数的和小于 15,这样的自然数组共有几组？把它们分别写出 来。9有一个两位数，如果把它的个位和十位上的数字对调，发现得到的两位数比 原来的两位数小，请问原来的两位数中，个位上的数字与十位上的数字，哪 个大一些？10.某城市的出租汽车起步价为 10 元（即行驶距离在 5 千米以内都需付 10元车费），达到或超过 5 千米后，每行驶 1 千米加 1.2 元（不足 1 千米也按 1 千米(5)5. 求不等式组2x - 54 x 6:5 - 2x,-7 x - 15 ;的自然数解。名师精编优秀教案计）。现某人乘车从甲地到乙地，支付车费17.2 元，问从甲地到乙地的路程大约是多少？11.初二年级秋游，若租用 48 座客车若干辆，则正好坐满；若租用 64 座客车，则能少租 1 辆，且有一辆车没有坐满，但超过一半。已知租用48 座客车每辆 250 元，租用 64 座客车每辆 300 元，问应租用哪种客车较合算？名师精编优秀教案12.已知关于 x 的方程 3k 5x = 9 的解是非负数，求 k 的取值范围。13.已知I5x-31=3 5x,求 x 的取值范围。14.(1) A、B、C 三人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你能判断三人 的轻重吗？(2) P、Q、R、S 四人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你该如何判 断这四人的轻重呢？(第门題)
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