半导体物理：1.3倒易点阵

1.3 1.3 倒易点阵倒易点阵平移操作平移操作一、倒易矢量的引入一、倒易矢量的引入p p是正整数；是正整数；CpCp、SpSp是实常数，称为展开式的傅立叶系数是实常数，称为展开式的傅立叶系数幅角中的幅角中的2 2 / /a a保证保证n n(x)(x)具有周期具有周期a a，即，即n n( (x+ax+a)=n(x)=n(x) 2 2 p/ap/a被称为晶体的倒易点阵中或傅立叶空间中的一个点被称为晶体的倒易点阵中或傅立叶空间中的一个点00( )cos(2/ )sin(2/ )pppn xnCpx aSpx a00( )cos(2/ )sin(2/ )pppnxnCpx aSpx a 2/p( )=ipx apn xn e rKiKhhhKre)(GKh推广到三维情况下推广到三维情况下， 在在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质 相同相同。 rRrl lR是正格矢。是正格矢。332211alalalRl寻找一组展开寻找一组展开变量变量上式两边分别按傅里叶级数展开：上式两边分别按傅里叶级数展开： rKihhhKr e)( lhRrKihhlKRr e2lhRK332211alalalRl332211hbhbhbhK因此，设 rRrl 1. ijjiba 2)ji( 2 ji 03 ，2 ，1，ji倒格基矢定义为：倒格基矢定义为： 213132321222aabaabaab 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，321,aaa 321aaa 是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积hkRl)(332211alalal)(332211bhbhbh)h(2332211hllhl 2 132122daab 222db 332db 倒格基矢的方向和长度如何呢倒格基矢的方向和长度如何呢？3b1b2b 213132321222aabaabaab 1a2a3a)为整数,(321hhh1.1. 所所联系的各点的列阵即联系的各点的列阵即为倒易点阵。描述空间为倒空为倒易点阵。描述空间为倒空间（长度的倒数）间（长度的倒数）332211hbhbhbhK 321bbb* 21133232aaaaaa CBABCACBA 2113aaaa 1a 21131213aaaaaaaa 3.答：答：是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍倍。 13232aaa * 23 *32 (其中其中 和和 *分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积)332211bhbhbhKh 4. 一一个倒格基矢个倒格基矢 表示什么？表示什么？ ABC在基矢在基矢 上的上的 截距截距分为分为 。321,aaa332211,hahaha由图可知：由图可知：3311hahaOCOACA 3322hahaOCOBCB CAKh 2211332211)(hahabhbhbh0 CBKh 3322332211)(hahabhbhbh0 所以所以332211bhbhbhKh 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。BCO2a3a1aAhK 设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，证明证明332211bhbhbhKh 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。3212hhhd(2)证明证明 的的长度等于长度等于 。332211hbhbhbhK dnX 由平面方程：由平面方程： 得：得：hhhhhKKhad 11321hKbhbhbhha33221111 hK2 )为整数,(321hhh332211hbhbhbhK 为为晶面晶面族族(h1h2h3)法向方向，长度与晶面间距大小反比。法向方向，长度与晶面间距大小反比。1.1.1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1 正格正格 倒格倒格晶体结构晶体结构332211hbhbhbhK 332211alalalRl二、(其中其中 和和 *分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积)2. 证明证明： *32 1.1.写出写出倒格基矢倒格基矢 和正格基矢和正格基矢 的关系？的关系？ 321,aaa332211bhbhbhKh 3.一个倒格基矢一个倒格基矢 表示什么？表示什么？和正格子的关系是什么？试证明并说明之。和正格子的关系是什么？试证明并说明之。 CBABCACBA 三、布里渊区程开甲程开甲，中国科学院院士，“两弹一星”功勋奖章获得者，是中国核武器研究的开创者之一，在核武器的研制和试验中作出突出贡献（保密工作）曾通过平移，证明三维各布里渊区体积相等。面心立方点阵面心立方点阵-正格子正格子三维复杂，通常情况下，只需要第一布里渊区体心立方点阵体心立方点阵-正格子正格子布里布里渊边界面问题渊边界面问题？结论结论：波：波失终结在布里渊边界满足强衍射失终结在布里渊边界满足强衍射垂直正格子一簇晶面垂直正格子一簇晶面四、