小学数学总复习 (2)

目录1 数和数的运算： 整数 自然数 2计数单位 数位 多位数的读法和写法3数的整除 因数与倍数 能被2，3，4，5，8，9，125整除的数的特点4奇数与偶数 质数（素数）与合数5公因数和最大公因数 公倍数和最小公倍数7小数的意义 小数的性质 小数的分类8 小数点位置移动引起的小数变化：小数化成分数9分数 分数的意义 分数的分类 分数乘除法法则：10约分和通分 分数的加减法则 分数大小的比较 倒数 分数化成小数11百分数 比和比例 比的意义和性质 比值和化简比 12 比例的意义和性质 比例的意义 比例的性质 解比例 正比例和反比例 13比和比例的区别 求比值和化简比的区别14比 分数和除法三者的关系 正比例与反比例 15求比例的习题16 方法 数的读法和写法 17 数的改写18数的互化 数的整除 约分和通分19性质和规律 商不变的规律 小数的性质 小数点移动引起小数的变化20分数的基本性质 分数与除法 比的关系 整数的四则运算（加减乘除）22小数的四则运算23分数的四则运算 运算定律（交换律，结合律，分配律）24运算法则25运算顺序 和差积商的变化规律27应用题-简单应用题29应用题-复杂应用题 平均数问题 相遇问题30应用题-复杂应用题 归一问题 归总问题31应用题-复杂应用题 和差问题 和倍问题 差倍问题 行程问题32应用题-复杂应用题 流水问题33应用题-复杂应用题 还原问题 植树问题34应用题-复杂应用题 盈亏问题 年龄问题35应用题-复杂应用题 鸡兔问题 分数与百分数的应用（加减乘除）36分数百分数常用公式 工程问题 37 纳税 利润与折扣 本金与利息及利息税38 度量衡 长度 面积 体积和容积 它们的定义 常用单位 单位之间的换算39度量衡 质量 时间 货币 它们的定义 常用单位 单位之间的换算40代数初步知识 用字母表示数的意义和作用 常见的数量关系 运算定律和性质41 代数初步知识 用字母表示几何体的公式 简易方程44几何的初步知识 线和角 45几何的初步知识 平面图形 长方形 正方形 三角形 平行四边形 梯形46几何的初步知识 圆 扇形 环形 47几何的初步知识 长方体48几何的初步知识 正方体 圆柱体 圆锥 49几何的初步知识 球51简单的统计 统计表的制作52简单的统计 统计图（条形统计图 折线统计图 扇形统计图）53图形与变换 第一章 数和数的运算一 概念 （一）整数 1 整数的意义 像。-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，。这样的数称为整数。整数分为正整数，0，负整数。正整数，0又称为自然数,而且是最小的自然数。整数的个数是无限的，既没有最大的整数，也没有最小的整数。2 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数，而且是最小的自然数，没有最大的自然数。自然数既可以表示事物的多少（即基数），也可以表示事物的次序（即序数）正数与负数：表示两种相反意义的量。0既不是正数，也不是负数。不管是什么数（整数，分数，小数，百分数）都有正数与负数之分。正数0负数3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 数位是指各个计数单位所占的位置；每个数位上的数都有相应的计数单位；位数是指一个自然数中含有数位的个数。亿 级万 级个 级 数 级。千 百 十亿 亿 亿 位 位 位千 百 十万 万 万位 位 位千 百 十 个位 位 位 数 位。千 百 十 亿 亿 亿 千 百 十 万 万 万 千 百 十计数单位多位数的读法和写法：1）多位数的读法：从高位到低位一级一级地读，每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0，都只读一个零；2）多位数的写法：从高位到低位一级一级地写，哪一位上一个单位也没有，就在哪一位上写0.*大于0的整数的大小比较 比较两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大；左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数，左起第二位上的数大的那个数就大，以此类推。*改写和省略尾数根据需要，有时需将一个较大的数改成用万或亿做单位的数，改写时只要在万位或者亿位右下方点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再写上万“或者“亿”字，改写的数是原数的准确的数，用“=”连接。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿（关键是要分级：个级，万级，亿级）有时根据实际需要把一个数某一位后面的尾数省略，求他的近似数。在小学阶段通常用“四舍五入”法求一个数的近似数。用“四舍五入”法求一个数的近似数，要看所省略的尾数的最高位，如果尾数最高位上的数不满5时，就直接把尾数都舍去；如果尾数最高位上的数大于或等于5时，把尾数舍去后，向他的前一位进一（注：在用“四舍五入”法求一个数的近似数时，也会用到“进一法”和“去尾法”，主要用于解决实际问题）。近似数与原数用“”连接。例如：省略 3459000 万后面的尾数，先分级，345，9000分为个级和万级，将万位数字5后面的数字全部去掉（采用“四舍五入”法），添加“万”，即约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿0的作用：表示占位；表示起点；表示界限例如：用三个7和三个0按要求写出六位数。（1）一个零都不读出（2）只读一个零（3）只读两个零 点悟：根据读法规则，每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0，都只读一个零；在写数上，要符合“一个零都不读出来”的条件，就要把0放在级尾，六位数中包含万级和个级两个级尾，即要把0放在万级或个级的级尾；要符合“只读一个零”的条件，那么在个级首或个级中间有一个0或连续几个0；要符合“只读两个零”，那么在个级首或个级中间同时出现0解答：（1）777000 707700 （2）770700 770070 770007 707007 707070 （3）7007075数的整除 1）因数与倍数整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数，或者说7是35的约数 2）能被2，3，5整除的数的特点 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。如：234 270 144 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 如204，能被3整除但不能被9整除 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 例如：一个分数化简后是，原来分子与分母的和为60，原来这个分数是多少？ 分析：分数化简后是，说明原来分数的分子是2的倍数，分母是13的倍数，而且原来分数的分子分母同时除以相同的数。用原来分子与分母的和60除以现在分子与分母的和（2+13），即可求出原来的分数。 答案：60（2+13）=4 原来这个分数是3 ）奇数与偶数能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。自然数中只有奇数与偶数偶数偶数=偶数 奇数奇数=偶数 奇数偶数=奇数 偶数用代数式2n,2n2表示偶数X偶数=偶数 偶数X奇数=偶数 奇数X奇数=奇数 奇数用代数式2n-1,2n+1表示 4）质数（素数）与合数按一个数约数的个数，非0自然数可分为1、质数、合数三类。一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了0和1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如把28分解质因数 28=1x2x2xx75）公因数（或叫公约数）和最大公因数（或叫最大公约数）（公因数有最大，公倍数只有最小）几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。 公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。 如1与2互质相邻的两个自然数互质。 如2与3互质两个不同的质数互质。 如3与7互质当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 如8与3互质两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如24与35互质如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 如2，3，5，7任意两个互质如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 如4与24，则4是（4 24）的最大公约数如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。 如9与25的最大公约数为16）公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。 7）求最大公约数与最小公倍数一般采用短除法。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；如8与24 则24是他们的最小公倍数如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数，而1就是这两个数的最大公因数。 如8与9则8*9=27是他们的最小公倍数几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 例如：求27与63的最大公因数与最小公倍数。用短除法其中用短除法左边上的所有数的乘积（3x3=9）作为它们的最大公因数，而用短除法左边上和底边上所有的数的乘积（3x3x3x7=189）作为他们的最小公倍数8）分解质因数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数；把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。24分解质因数，用短除法即24等于短除法左边上所有数字与最低边上数字的总乘，即24=2*2*2*3利用求最大公约数与最小公倍数解应用题例如：大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小名每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两个脚印有重合，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长 分析：要求花圃的周长，必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数。而两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，这个路程是两个人步长（54，72）的最小公倍数216.在216厘米里，两人留下的脚印数为：21654=4（个），21672=3（个） 由于两人有脚印是重合的，所以每216厘米就有脚印：4+3-1=6（个），606=10，即走完全程共重合10次，因此花圃的周长就是216x10=2160厘米解答：54和72的最小公倍数是21621654=4（个） 21672=3（个） 4+3-1=6（个） 606=10 216x10=2160厘米例如：暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人，7月13日他们去了，并约好，他们一起去敬老院的时候有几次？分析：首先求出从7月13日到8月31日有多少天。7月份是大月，有31天。所以从7月13日到7月31日有：31-13+1=19天 8月份有31天。这样求出从7月13日到8月31日一共有19+31=50天；其次，明明每2天去一次，亮亮每3天去一次，则他们每6天一起，即为2和3的最小公倍数；最后看50里面含有多少个6，即50里面含有8个6，也就是说第一天不算，他们有8次是一起去敬老院的，加上第一天，一共是9次共同去的解答： 31-13+1=19天 19+31=50天 8+1=9（天）（二）小数 1 小数的意义 意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 计数单位：一位小数表示十分之几，计数单位就是十分之一；两位小数表示百分之几，计数单位就是百分之一；三位小数表示千分之几，计数单位就是千分之一 构成：一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。 读法：读小数时，整数部分仍然按整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分的数按数位顺序依次读出每个数位上的数字，小数点后面的“0”有几个读几个。写法：在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。写小数时，仍然按整数的写法写，整数部分是零的要写“0”，小数点要写在个位右下角，然后依次写出小数部分每一个数位上的数字。整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。2小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变3小数的分类 纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例4.33 .1415926 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：3.14159765799878826528393717. 循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 0.5656 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 0.03333 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 简写作, 0.5302302 简写作 。 4 小数点位置移动引起的小数变化：小数点向右移动一位、二位、三位原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍，反之小数点向左移动一位、二位、三位原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍即原来的数就缩小到它的十分之一，百分之一，千分之一。（注意：位数不够时，必须添加“0”补足位数）如3.57小数点右移3位，变为3570，原来的数3.57就扩大1000倍；反之，小数点向左移动3位，变为0.00357，原来的数3.57就缩小1000倍5小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。整数部分仍作带分数的整数部分，如：；6循环小数化为分数 纯循环小数化为分数：把第一个循环节的数字组成的数作为分子，分母由数字9组成，9的个数等于循环节的个数。如混循环小数化为分数：其分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位的数字所组成的数减去不循环数字所组成的差，分母黝数字9和0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。如例如：把化为小数，小数后面第100个数字是几？100个数字的和是多少？分析 把化为小数是，循环节是“285714”1006=16。4，小数点后面第100个数字是第17个循环周期的第四个数字“7”，小数点后面100个数字就包含16个循环节和一个循环节的前4个数字。解答： =，1006=16。4 16x(2+8+5+7+1+4)+2+8+5+7=454答案：小数后面第100个数字是7，100个数字的和是454 （ 三）分数 1 分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 =ab=a:b在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。如假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。如带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。如，读作三又5分之二假分数与带分数互化：，假分数化带分数，分母（7）不变，用分子（57）除以分母（7）所得的商8作为带分数的整数部分，余数（1）作为带分数的分子；带分数化假分数是分母（7）不变，用带分数的整数部分（8）乘以分母（7）所得的积加上分子（1）所得的和作分子。3分数乘除法法则：1）分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分数乘整数与整数乘以整数都表示求几个相同数的和的简便运算如3*8表示8个3相加；*8表示8个相加2）分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。分数乘分数与整数乘分数都表示求这个数的几分之几如* 表示求 的是多少；8*表示求8的是多少3）分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。如4）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。如（m不为0）4约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 如把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。如： 5分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。6分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小;若分子相同，分母大的反而小;异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。如7倒数 乘积是1的两个数互为倒数，1的倒数是1，0没有倒数 如2与互为倒数。切记：倒数是两个数互为倒数8分数化成小数：用分母去除分子，即用分子除以分母。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。注意：一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。（四）百分数1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。 2百分数的单位：因为百分数的分母是100，所以百分数的分数单位是1%3成数与折扣： 成数：工农业生产中经常用到“成数”来表示生产的增长情况，几成就是十分子几，也就是百分之几十； 折扣：商店有时降价出售商品，叫做折扣销售，通称“打折”。几折就是十分子几，也就是百分之几十4百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 5. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 （五）比和比例1比的意义和性质 （1） 比的意义 - 两个数相除又叫做两个数的比。 - “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 - 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 - 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 - 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。 （2）比的性质 -1比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。2 比例的前项之积=比例的后项之积 如a:b=c:d则有ad=bc （3） 求比值和化简比 - 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 - 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 比例尺 ：一副图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺 - 图上距离：实际距离=比例尺 - 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。 - 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 -比例尺分为两类“数值比例尺”和“线段比例尺”例如：篮球场长28米，宽18米，把它画在比例尺是1：300的图纸上，宽应该画多少米？ 分析:因为比例尺是1：300，根据图上距离：实际距离=比例尺=1：300 列方程解答解：设图上距离宽应该画X厘米 15米=1500厘米 方法一： 根据图上距离：实际距离=比例尺=1：300 列方程X:1500=1:300 比例的性质：内项的乘积=外项的乘积 得 300x=1500 解得 x=5方法二： 根据图上距离：实际距离=比例尺=1：300 列方程 交叉相乘 300x=1500 解得 x=5答：在图上宽应该画5厘米2 比例的意义和性质 （1） 比例的意义 - 表示两个比相等的式子叫做比例。 - 组成比例的四个数，叫做比例的项。 - 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 （2）比例的性质 - 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 （3）解比例 - 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 3 正比例和反比例 （1） 成正比例的量 - 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 - 用字母表示=k(一定） （2）成反比例的量 - 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 - 用字母表示xy=k(一定) 4.按比例分配 - 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 - 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 1比和比例的区别 比 比 例意义两个数的比表示两个数相除（有两项）表示两个比相等的式子（有四项）各部分名称a : b = （b0）前项 比号 后项 比值a : b = c : d 内项 外项组成比有两个数组成，后项不能为0.一般包含两种情况：1表示两个同类量的关系2两个不同类量的比产生新的量比例由四个数组成，四个数都不能为基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变在比例里，两个外项的积等于两个内项的积 2求比值和化简比的区别 意 义 一般方法 结 果求比值比的前项除以后项所得的商用比的前项除以后项一个整数或小数或分数化简比把两个数的比化成最简单的整数比把比的前项和后项同时乘以或除以相同的（不为0的）数一个最简单的整数比3比 分数和除法三者的关系 对应部分名称结果区 别 相互关系 比前项比号（：）后项（0）比值表示两个数的关系比 分数 百分数和除法可以互相转化，它们四者的性质内涵相同分 数 分子分数线（）分母（0）分数值是一个数除 法被除数除号（）除数（0）商是一种运算4正比例与反比例 意 义 不同点相同点正比例由两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个量（X,Y）的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系相对应的两个量的比值（商）一定=k(一定）由两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化反比例由两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个量（X,Y）的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系相对应的两个量的积一定xy=k(一定)求比例的习题解比例方程 1（x-8):6=5:4 2 分析：1 （x-8）与4是外项，6与5是内项，根据比例的性质，内项之积等于外项之积，列出式子：；2 将分数方程改写成比例形式（要记得除法就是分数就是比例，即），再根据比例的性质，内项之积等于外项之积，列出式子：。最后解出方程解： 1 （x-8):6=5:4 2 4-32=30 2x0.75=1.5(3-10) 4=32+30=62 1.5=4.5-15 =15.5 3=15 =5最后一步：要将求出的未知数代入原方程验算例如3 甲乙速度比是3：5，乙丙速度比是4：7，求甲：乙：丙分析：知道甲乙之比和乙丙之比，因为只有乙是中间方，故只能以乙作为标准，将乙的两个数字5和4 ，求出它们的最小公倍数20.再将甲乙速度比3：5化成乙为20的比例，即将3：5的前后项同时乘以4得到12：20；同样将4：7的前后项同时乘以5得到20:35；这样就得到甲：乙：丙=12：20：35解答：3：5=3x4:5x4=12:20 4:7=4x5:7x5=20:35甲：乙：丙=12：20：35 二 方法 （一）数的读法和写法 1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而是把分数化成小数，乘以100后，再在其后面加上百分号“%”来表示。 （二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。3四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 4亿。 4. 大小比较 1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。 2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大 3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。 例子：在（）里面填上一个合适的数字，使不等式成立 1)45.214().21 2)0.0()吨3.5千克 3）-54(4).21 2）因为不等式两边单位不一致，所以先化单位。左边是要求的，故只能将右边的千克化为吨。小单位化为大单位，要除以进率1000，（1吨=1000千克），3.5千克=0.0035吨。原式改为0.0()吨0.0035吨。不等式左右两边整数部分均为0，相同的数字；接着看十分位，均为0；再看百分位，左边是要求的，右边为0，要使左边大于右边，只要左边百分位大于右边百分位的数字0即可，故最佳答案应填1 。0.0(1)吨3.5千克 3）画出数轴，由数轴可知右边的数总比左边的数大。可知比-5稍大的是-4，故刮号中填入4。-5-(4) （三）数的互化 1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 （四）数的整除1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。 （五）约分和通分1.约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 2.通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 常记的分数化为小数：例如：一个3位数，个位与百位上的数字之和是4，积是3，3个数字之和是6，多少？分析：由个位与百位上的数字之和是4，则个位与百位上的数字只能是1与3，或2与2；由个位与百位上的数字之积是3，则个位与百位上的数字只能是1与3，综合上述分析，从而确定个位与百位上的数字只能是1与3。由3个数字之和是6，确定十位上的数字只能是2，从而判断这个三位数可能是123或者321.那么这个数扩大到原来的1000倍是12300或者32100三 性质和规律 （一）商不变的规律 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。 如： （m不等于0） （二）小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 小数中间的0不能去掉，去掉小数中间的0 会改变小数的大小如：3.567=3.56700 3.87000=3.87（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍 如3.786，变为37.86，小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍 如3.786，小数点向左移动两位，变为0.03786,原来的数就缩小100倍注意：小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0补足位。（四）分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。如（m不等于0）（五）分数与除法的关系 1.被除数除数= 被除数/除数 即 2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母。 四 运算的意义 （一）整数四则运算 1整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+加数=和 a+b=c 一个加数=和另一个加数 c-a=b2整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。 加法和减法互为逆运算。 被减数减数差 a-b=c 被减数差减数 a-c=b 差减数被减数c+b=a3整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。 一个因数 一个因数 =积 一个因数=积另一个因数 因数因数积 ab=c 积一个因数另一个因数 ca=b4 整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 被除数除数=商 除数=被除数商 被除数=商除数 被除数除数商。余数 被除数商除数 商除数+余数被除数 ab=c.d ac=b bc+d=a加减法法则 同单位加减，单位不变，单位的个数相加减 整 数 小 数 分 数1.相同数位对其2.从个位算起3.加法中满几十就向前一位进几；减法中不够减时，就从前一位退一当101.小数点对齐2.按整数加减法进行计算3.得数中的小数点和相加减的数里的小数点对齐1.同分母分数相加减，分母不变，分子相加减2.异分母分数相加减，先通分，再计算3.结果能约分的要化成最简分数乘法 整 数 小 数 分 数1.从个位乘起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数2.用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和哪一位对齐3.最后把几次乘得的数加起来1.按整数乘法的法则求出积2.看因数中共有几位小数，就从积的最右边数出几位，然后点上 小数点，位数不够时用0补上1.分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母2.有整数的把整数看作是分母为1的假分数3结果能约分的要化成最简单分数 除 法 整 数 小 数 分 数1.从被除数的高位起，除数是几位数，就看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位。除到哪一位就要把商写在那一位的上面除数是整数的小数除法：先按整数除法法则进行计算，再把商的小数点和被除数的小数点对齐；除数是小数的小数除法：先转化成除数是整数的小数除法，在按照除数是整数的小数除法计算甲数除以乙数（不为0），等于甲数乘以乙数的倒数总法则：1.无刮号时优先级高的先算（大于+-）2.同级运算从左至右依次运算3.有刮号的先算刮号里面的（二）小数四则运算 1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2. 小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3. 小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算5乘方 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 3 = ，3x3x3=（三）分数四则运算 1分数加法：分数加法同整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算。 2. 分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 5. 分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （四）运算定律 运算定律适用于所有的整数，小数，分数，百分数运算1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即ab=ba。 4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(ab)c=a(bc) 5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(ab)c=acbc 。 6. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。 （五）运算法则 1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 （六） 运算顺序 1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 和差积商的变化规律：*和的变化规律1）如果一个数增加或减少一个数，另一个加数不变，那么他们的和也增加或减少同一个数用字母表示是：如果a+b=c ，则(a+d)+b=c+d; (a-d)+b=c-d2）如果一个数增加一个数，另一个加数减