资源描述
定义定义1 1 . , 21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个分分量量，个个数数称称为为该该向向量量的的维维向向量量，这这组组称称为为所所组组成成的的数数个个有有次次序序的的数数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，n例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,bann注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式),(21nTaaaa 空间空间)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一对应一一对应 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rnn1 n 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩阵矩阵构成一个构成一个组组维列向量所组成的向量维列向量所组成的向量个个nmnmm , 21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为这这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合mmb 2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmbA ,: 2121. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩阵阵，条条件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量组组向向量量bBAAbmm 定理定理1 1定义定义 . .,:,: 2121这这两两个个能能相相互互线线性性表表示示，则则称称量量组组与与向向若若向向量量组组称称线线性性表表示示，则则向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ . )(数数矩矩阵阵称称为为这这一一线线性性表表示示的的系系矩矩阵阵ijsmkK 矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组线性表示的行向量组能由的行向量组能由同时，同时，ABC,. . 的的行行向向量量组组等等价价的的行行向向量量组组与与于于是是的的行行向向量量组组线线性性表表示示，的的行行向向量量组组能能由由可可知知，由由初初等等变变换换可可逆逆性性的的行行向向量量组组线线性性表表示示组组能能由由的的行行向向量量，即即的的行行向向量量组组的的线线性性组组合合向向量量都都是是的的每每个个行行，则则经经初初等等行行变变换换变变成成设设矩矩阵阵BABAABABBA.的列向量组等价的列向量组等价列向量组与列向量组与的的，则，则经初等列变换变成经初等列变换变成类似，若矩阵类似，若矩阵BABA . 价的方程组一定同解价的方程组一定同解这两个方程组等价，等这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称能相互线性表示，就称与方程组与方程组的解；若方程组的解；若方程组的解一定是方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组线性表示，这时方程组能由方程组能由方程组称方程组称方程组的线性组合，就的线性组合，就的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组程组程组的一个线性组合；若方的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组一个方程就称为方程组所得到的所得到的的各个方程做线性运算的各个方程做线性运算对方程组对方程组BABAABABAA0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn ., 2. 线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量量共共面面向向量量相相关关的的几几何何意意义义是是三三是是两两向向量量共共线线；三三个个向向义义量量对对应应成成比比例例，几几何何意意充充要要条条件件是是两两向向量量的的分分它它线线性性相相关关的的量量组组对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕. 性独立）性独立）线线个方程）线性无关（或个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各程，就称该方程组（各方方；当方程组中没有多余；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的个方程）是线性相关的各各余的，这时称方程组（余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多合时，这个方程就是多是其余方程的线性组是其余方程的线性组若方程组中有某个方程若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶单位矩阵阶单位矩阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成neeeEnn .)(01 nERE ，知知由由.2)(向向量量组组是是线线性性无无关关的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量组组中中向向量量个个数数即即ER例例， 742520111321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 解解.2, 21321321即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（ 已知已知例例分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线线性性无无关关向向量量组组线线性性相相关关；，向向量量组组可可见见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx . ,. ,: , (1) 1121也也线线性性无无关关向向量量组组则则线线性性无无关关量量组组若若向向反反言言之之也也线线性性相相关关向向量量组组则则线线性性相相关关：向向量量组组若若ABBAmmm 定理定理3 3）设设（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .,.,.2121性相关性相关也线也线则向量组则向量组线性相关线性相关反言之，若向量组反言之，若向量组关关也线性无也线性无：则向量组则向量组线性无关线性无关：若向量组若向量组添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量即即ABbbbBAbmmjj . 3 时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个）（mnnm.,:,: (4) 121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性相关组组而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组AbbBAmm .2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 1 111线线性性相相关关知知向向量量组组根根据据定定理理因因此此，从从而而，有有则则根根据据定定理理线线性性相相关关若若向向量量组组，有有记记）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm 证明证明.:1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推广为）可推广为结论（结论（说明说明列列），只只有有因因但但从从而而有有，则则线线性性无无关关若若向向量量组组有有，）记记（mBmBRmBRmARABRARbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),(2 1)1(1 .B)(线性无关线性无关，因此向量组，因此向量组故故mBR .,12 结结论论也也成成立立个个分分量量维维）而而言言的的，若若增增加加多多即即维维数数增增加加）是是对对增增加加一一个个分分量量（结结论论（说明说明.,)(,.)(),(,3 212121线线性性相相关关个个向向量量故故则则若若，有有构构成成矩矩阵阵维维向向量量个个）（mmmnmmmARmnnARAnm .)(1)(. 1)(;)().()(),(),()4( 2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm ，即有，即有所以所以组线性相关，有组线性相关，有因因组线性无关，有组线性无关，有因因有有记记 .),( ,)()( 21一一线线性性表表示示，且且表表示示式式唯唯组组能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量知知方方程程组组由由AbbxmBRARm . 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）. , )3(0 )2( 0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量；线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量；线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是一一个个向向量量试试证证明明 kk 证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性., 0, 0, 即即可可令令则则不不妨妨设设得得使使存存在在不不全全为为零零的的数数线线性性相相关关xykxyxyxyx 必要性必要性., 0)(1, 线线性性相相关关知知由由定定义义则则有有不不妨妨设设 kk
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