资源描述
第三章第三章 函数函数第五节第五节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 重难点突破二次函数综合题（二次函数综合题（难点难点）例 1( (2016铜仁节选铜仁节选) )如图，抛物线如图，抛物线yax2bx1(a0)经过经过A(1，0)，B(2，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C. 类型一类型一 与线段、周长有关的问题与线段、周长有关的问题例例1 1题图题图【思维教练【思维教练】已知点已知点A、B的坐标且在抛物线上，的坐标且在抛物线上，将其代入抛物线解析式，求解即可，然后将其解析将其代入抛物线解析式，求解即可，然后将其解析式化为顶点式即可求得顶点坐标式化为顶点式即可求得顶点坐标(1)(1)求抛物线的解析式及顶点求抛物线的解析式及顶点D的坐标；的坐标；解：把解：把A、B两点坐标代入两点坐标代入yax2bx1得：得： ，解得，解得 ， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为 ，即即 ， .104210abab 1212ab 211122yx2119()228yx19( ,)28D(2)(2)点点P在抛物线的对称轴上，当在抛物线的对称轴上，当ACP的周长最的周长最小时，求出点小时，求出点P的坐标的坐标【思维教练思维教练】要使要使ACP的周长最小，因的周长最小，因AC长固长固定，只需定，只需APCP长最小即可因为点长最小即可因为点A与点与点B关于关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴对称，即APBP，则只需，则只需BPCP长最小即可，所以连接长最小即可，所以连接BC，BC与对称轴的交点即与对称轴的交点即为周长最小时的点为周长最小时的点P.由抛物线的解析式可以求得由抛物线的解析式可以求得C点的坐标，再由点的坐标，再由B、C点的坐标即可求得点的坐标即可求得BC直线的直线的解析式，进而可求得解析式，进而可求得P点的坐标点的坐标解：如解图，解：如解图， A、B两点关于抛两点关于抛物线的对称轴对称，物线的对称轴对称，当当ACP的周长最小时，点的周长最小时，点P应应为直线为直线BC与抛物线对称轴交点，与抛物线对称轴交点，由由(1)知点知点C的坐标为的坐标为(0，1)，抛，抛物线的对称轴为物线的对称轴为x ；设直线；设直线BC的解析式为的解析式为ykxb(k0)，代入，代入B、C两点坐标得两点坐标得：例例1 1题解图题解图12 ，解得，解得 ，直线直线BC解析式为解析式为 ，在直线在直线BC上，当上，当 时，时， ， 120bkb 121kb 112yx12x 1131224y 13( ,)24P例 2如图，已知抛物线如图，已知抛物线yx2bxc与与x轴交轴交于于A(1，0)，B(3，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，抛物，抛物线的对称轴与抛物线交于点线的对称轴与抛物线交于点P，与直线，与直线BC交于点交于点M，连接连接PB.类型二与面积有关的问题类型二与面积有关的问题例例2 2题图题图(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；【思维教练】【思维教练】已知抛物线与已知抛物线与x轴交于轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，利用两点式即可求解两点，利用两点式即可求解解：由题意可知点解：由题意可知点A(1，0)，点，点B(3，0)是抛物线与是抛物线与x轴的两个交点，轴的两个交点，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3.(2)(2)求求PBC的面积；的面积；【思维教练】【思维教练】已知已知PBC三边均不在坐标轴上，要求三边均不在坐标轴上，要求PBC的面积，只需求的面积，只需求PMC与与PMB的面积和，转的面积和，转化为求线段化为求线段PM的长，结合直线的长，结合直线BC的解析式求得点的解析式求得点M的的坐标即可坐标即可解：解：抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标顶点坐标为为P(1，4)，点，点C的坐标为的坐标为(0，3)，设直线设直线BCBC的解析式为的解析式为ykxd(k0)，则，则 ，解得，解得 ，直线直线BC的解析式为的解析式为yx3，= 33 += 0dkd= 3= -1dk当当x1时，时，y2，点点M的坐标为的坐标为(1，2)，PM422，SPBC PM(xBxC) 233，即即PBC的面积为的面积为3. .1212(3)(3)在第一象限内的抛物线上是否存在点在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使，使得得BCD的面积最大？若存在，求出点的面积最大？若存在，求出点D的坐标的坐标及及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由面积的最大值；若不存在，请说明理由. .【思维教练思维教练】设出点设出点D的坐标，同的坐标，同(2)(2)问表示出问表示出BCD的面积，利用二次函数的最值即可求解的面积，利用二次函数的最值即可求解解：存在设解：存在设D(t，t22t3)，如解图，作如解图，作DHx轴交轴交BC于点于点H, ,则则H(t，t3)，例例2 2题解图题解图2221()21(233) 3239223327()228BCDHxxtttttt BCDS ，当当 时，即时，即D的坐标为的坐标为时，时，SBCD有最大值，且最大面积为有最大值，且最大面积为 . .30232t 3 15( ,)24278例 3 (2016(2016黄冈黄冈) )如图，抛物线如图，抛物线 与与 x 轴交于点轴交于点 A ，点，点 B ，与，与 y 轴交于点轴交于点C ，点，点D 与点与点C关于关于 x 轴对称，点轴对称，点 P 是是 x 轴上的一个动点，轴上的一个动点，设点设点P 的坐标为（的坐标为（m,0,0），过点），过点 P 作作 x 轴的垂线轴的垂线 l 交抛物线于点交抛物线于点 Q .213222yx 例例3 3题图题图(1)求点求点A，点，点B，点，点C的坐标；的坐标；【思维教练思维教练】要想求要想求A、B、C点坐标，可以发现点坐标，可以发现它们均在抛物线上，且在它们均在抛物线上，且在x轴、轴、y轴上分别令轴上分别令y0，x0，可依次求出点，可依次求出点A、B、C的坐标的坐标解：当解：当y0时，时， ，解得解得x14, x21，则则A(1，0)、B(4，0)，当当x0时，时，y2，则，则C(0，2)2132022xx(2)(2)求直线求直线BD的解析式；的解析式；【思维教练思维教练】要想求直线的解析式，只要知道要想求直线的解析式，只要知道直线上两点的坐标即可求解可以发现点直线上两点的坐标即可求解可以发现点B、D均在直线上，且点均在直线上，且点B坐标已知，点坐标已知，点D的坐标可利的坐标可利用对称点的坐标规律求出用对称点的坐标规律求出解：解：点点 D 与点与点 C 关于关于 x 轴对称，轴对称，点点D为为(0，2)，设直线，设直线BD的解析式为的解析式为ykxb，将将D(0，2)和和B (4，0)分别代入，得分别代入，得 ，解得，解得 ，直线直线BD的解析式为的解析式为 . .= -24 += 0bkb1=2= -2kb1=-22yx【思维教练】【思维教练】在四边形在四边形CQMD中，已知中，已知CDQM，若要使四边形，若要使四边形CQMD为平行四边形，为平行四边形，则需满足则需满足CDQM且且CQDM即可由于即可由于CD4，可考虑证可考虑证CDQM，则需用含，则需用含m的式子表示出线的式子表示出线段段QM的长，根据的长，根据CDQM列方程即可求列方程即可求m值值（3 3）当点）当点P在线段在线段OB上运动时，直线上运动时，直线 l 交交 BD 于点于点M，试探究，试探究m为何值时，四边形为何值时，四边形CQMD是平行是平行四边形；四边形；解：易知解：易知CDQM，若，若CDQM，则四边形，则四边形CQMD为为平行四边形平行四边形P(m，0)， ，点点P在线段在线段OB上运动，上运动， ，CD4，解得解得m2或或m0( (舍去舍去) )，故当故当m2时，四边形时，四边形CQMD为平行四边形为平行四边形21312,2222QMymmym 2131(2)(2)222QMmmm 2131(2)(2)4222mmm (4)(4)在点在点P的运动过程中，是否存在点的运动过程中，是否存在点Q，使，使BDQ是以是以BD为直角边的直角三角形？若存在，为直角边的直角三角形？若存在，求出点求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【思维教练】【思维教练】要求点要求点Q的坐标，它需满足的坐标，它需满足BDQ是是以以BD为直角边的直角三角形，只要是直角三角形都为直角边的直角三角形，只要是直角三角形都满足勾股定理，所以用满足勾股定理，所以用m将点将点Q的坐标表示出来，得的坐标表示出来，得到到QB2 2、DQ2 2、BD2 2，然后分情况讨论，然后分情况讨论，点点B为直为直角顶点时；角顶点时；点点D为直角顶点时为直角顶点时解：存在点解：存在点Q，使，使BDQ是以是以BD为直角边为直角边的直角三角形的直角三角形设点设点Q的坐标为的坐标为 则则13( ,2),22mmm222222222213(4)(2)2213(22)224220BQmmmDQmmmBD 当以点当以点B为直角顶点时，则为直角顶点时，则BQ2BD2DQ2， 解得解得m13，m24( (舍去舍去) )，点点Q的坐标为的坐标为(3，2)；2222213(4)(2)202213(22) ,22mmmmmm 当以点当以点D为直角顶点时，则为直角顶点时，则DQ2 2BD2 2BQ2 2， 解得解得m11，m28，Q点的坐标为点的坐标为(1，0)，(8，18)综上所述，所求点综上所述，所求点Q的坐标为的坐标为(3，2)，(1，0)，(8，18) 2222213(22)202213(4)(2)22mmmmmm
展开阅读全文