数学第3章 函数及其图象 第12讲 二次函数

第三章第三章 函数及其图象函数及其图象 第第 12 讲讲 二次函数二次函数 考点梳理考点梳理二次函数解析式的三种形式二次函数解析式的三种形式 表达式说明一般式y yax2bxc(a0)当bc0时，即可得到简单的二次函数yax2；当b0时，二次函数为yax2c；当c0时，二次函数为yax2bx顶点式ya(xh)2k(a0)当k0时，二次函数为ya(xh)2；当h0时，二次函数为yax2k，即yax2c的形式交点式ya(xx1)(xx2)(a0)(x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)交点式只限于二次函数图象与x轴有交点的情形，当x1x20时，二次函数为yax2；当x10时，二次函数为yax(xx2)；当x20时，二次函数为yax(xx1)1形如yax2(a0)的图象和性质 yax2(a0)的图象开口方向对称轴顶点最值增减性a0 向上 y轴(x0)(0，0)当x0时，y最小0(1)x0时，y随x的增大而增大a0 向下 y轴(x0) (0，0)当x0时，y最大0(1)x0时，y随x的增大而减小2.2.形如形如y ya(xa(xh)h)2 2k(a0)k(a0)的图象和性质的图象和性质 ya(xh)2k(a0)的图象开口方向对称轴顶点最值增减性a0 向上xh(h，k)当xh时，y最小k(1)xh时，y随x的增大而增大a0 向下xh (h，k)当xh时，y最大k(1)xh时，y随x的增大而减小3.3.形如形如y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)的图象和性质的图象和性质 yax2bxc(a0)的图象开口方向对称轴顶点最值增减性a0 向上x (1)x 时，y随x的增大而增大a0 向下 x (1)x 时，y随x的增大而减小ab2ab2ab2ab2ab2ab2一般式yax2bxc(a0)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a，b，c的值顶点式ya(xh)2k(a0)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式交点式ya(xx1)(xx2)已知抛物线与x轴两个交点的横坐标，一般选用交点式此时抛物线的对称轴为直线_ 221xxx抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中a相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置不同它们之间的平移关系如下表：1yax2bxc(a0)与ax2bxc0(a0)的关系b24ac 一元二次方程根的情况 一元二次函数的图象与x轴的交点情况0有两个不等实数根与x轴有两个不同的交点(x1，0)(x2，0)0有两个相等实数根 与x轴只有一个交点( ，0)0没有实数根与x轴无交点ab22.二次函数的应用二次函数的实际应用类型：增长率问题；抛物线型问题(涉及桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等)；最大利润问题等 典型例题运用典型例题运用 类型类型1 二次函数的图象与系数的关系二次函数的图象与系数的关系 【例1 1】 2016烟台中考二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：4acb；2ab0.其中正确的有(B) A B C DB B抛物线与x轴有两个交点，0.b24ac0.4acb2，故正确，x1时，y0，abc0.acb，故错误，对称轴x1，a0，2a(b)1.b2a.2ab0，故正确 变式运用 如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，其对称轴为x1，且过点(3，0)下列说法：abc0；2ab0；4a2bcy2.其中说法正确的是25二次函数的图象开口向上，a0.二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，c0.对称轴是直线x1， 1，b2a0，abc0，故正确；b2a，2ab0，故正确；抛物线的对称轴为x1，且过点(3，0)，抛物线与x轴另一交点为(1，0)当x1时，y随x的增大而增大，当x2时，y0，即4a2bc0，故错误；(5，y1)关于直线x1的对称点的坐标是(3，y1)，又当x1时，y随x的增大而增大，3 ，y1y2，故正确ab225【例2 2】 2017南雄模拟对于抛物线yx22x2下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x1；顶点坐标为(1，3)；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为(C) A1 B2 C3 D4C Cyx22x2(x1)23，a10，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线x1，故本选项错误；顶点坐标为(1，3)，正确；x1时，y随x的增大而减小，x1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的是，共3个变式运用 定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1x2时，都有y10)；y .x1当x1x2时，y1y22x12x22(x1x2)x1x2，x1x20.y1y20，y1y2.y2x是增函数；当x1x2时，y1y2x11x21(x1x2)x10.y1y20，y1y2.yx1不是增函数；当0 x1x2时，y1y2x12x22(x1x2)(x1x2)又0 x10，x1x20.y1y20，y10)是增函数；当x1x2时，y1y2 .x1x2，x1x20.但x1x2的正负无法确定，故无法确定 是大于0还是小于0，即无法确定y1y2，无法确定y 是否为增函数x11x21xxxx2121xxxx2121x1类型类型2 2 二次函数与几何图形综合二次函数与几何图形综合 【例3 3】 2017滨州模拟已知一次函数yx1与抛物线y x2bxc交于A(0，1)，B两点，B点纵坐标为10，抛物线的顶点为C.(1)求b，c的值；(2)判断ABC的形状并说明理由；(3)点D，E分别为线段AB，BC上任意一点，连接CD，取CD的中点F，连接AF，EF.当四边形ADEF为平行四边形时，求平行四边形ADEF的周长31【自主解答】 (1)把A(0，1)，代入y x2bxc，解得c1.将y10代入yx1，得x9.B点坐标为(9，10)将B(9，10)代入y x2bxc，得b2.3131(2)ABC是直角三角形，理由如下：y x22x1 (x3)22， 点C的坐标为(3，2)分别作BG垂直于y轴，CH垂直于y轴，垂足分别为G，H.BGAG9，BAG45.同理CAH45.CAB90.ABC是直角三角形3131(3)BGAG9，AB9 .CHAH3，AC3 .四边形ADEF为平行四边形，ADEF.又F为CD中点，CEBE.即EF为DBC的中位线，EFAD BD.AB9 ，EFAD3 .在RtACD中，AD3 ，AC3 ，CD6.AF3.平行四边形ADEF周长为66 .222122222变式运用 2016安徽中考如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值解：(1)二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(2)由(1)知，y x23x，如图，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CEAD，CFx轴，垂足分别为点E，点F，C(x， x23x)，则SOAD ODAD 244，SACD ADCE 4(x2)2x4(2x6)，SBCD BDCF 4( x23x)x26x(2x6)，212121212121212121则SSOADSACDSBCD4(2x4)(x26x)x28x(2x6)S关于x的函数表达式为Sx28x(2x6)将其用顶点式表示为S(x4)216，当x4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.类型类型3 3 二次函数的实际应用二次函数的实际应用【例4 4】 2017济宁中考某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：yx60(30 x60)设这种双肩包每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？解：(1)根据题意，得w(x30)y(x30)(x60)x290 x1800，w与x之间的函数关系式为wx290 x1800(30 x60)(2)根据题意，得wx290 x1800(x45)2225.148，x250不符合题意，舍去答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元变式运用 2018原创为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤为一边，用总长为a米(a为大于21的常数)的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域已知岸堤的可用长度不超过21米设AB的长为x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米(1)求y与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；(用含a的式子表示)(2)若a30，求y的最大值，并求出此时x的值；(3)若a48，请求出y的最大值解：(1)设AB的长为x米，则BC的长为(a3x)米，根据题意，得yx(a3x)3x2ax.由a3x21，得x .由a3x0，得x . x .(2)当a30时，y3x230 x3(x5)275.3x0，y随x的增大而增大，所以y3x1符合；函数y 在每一象限内y随x增大而减小，不符合题意；yx2是二次函数，在对称轴的两侧增减性不同，不符合题意x122015德州如图，平面直角坐标系中，A点坐标为(2，2)，点P(m，n)在直线yx2上运动，设APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是(B)B BP(m，n)在直线yx2上运动，当点P的坐标为(1，1)时，点P在线段OA上，此时APO不存在，m1；直线yx2垂直平分OA，OA确定，当m1时，等腰APO底边上的高随m的增大逐渐增大，S也是m的一次函数，S逐渐增大3 32013德州函数yx2bxc与yx的图象如图所示，有以下结论：b24c0；bc10；3bc60；当1x3时，x2(b1)xc0.其中正确的个数是(B) A1 B2 C3 D4B B函数yx2bxc与x轴无交点，b24c0，故错误；当x1时，y1bc1，故错误；当x3时，y93bc3，3bc60，故正确；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，x2bxcx.x2(b1)xc0，故正确4 42014德州如图，抛物线yx2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，An，.将抛物线yx2沿直线L：yx向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点M1，M2，M3，Mn，都在直线L：yx上；抛物线依次经过点A1，A2，A3，An，.则顶点M2014的坐标为(4027，4027)40274027M1(a1，a1)是抛物线y1(xa1)2a1的顶点，抛物线yx2与抛物线y1(xa1)2a1相交于点A1，得x2(xa1)2a1，2a1xa1(2)a1，即x (a11)x为整数，a11，M1(1，1)；M2(a2，a2)是抛物线y2(xa2)2a2x22a2x a2的顶点，抛物线yx2与y2相交于点A2，x2x22a2x a2，2a2x a2，即x (a21)x为整数，a23，M2(3,3)M3(a3，a3)是抛物线y3(xa3)2a3x22a3x a3的顶点，抛物线yx2与y3相交于点A3，x2x22a3x a3，2a3x a3，即x (a31)x为整数，a35，M3(5，5)，由以上规律可推出M2014的横坐标为2014214027，M2014的坐标为(4027，4027)21a22a22a2221a23a23a2321猜押预测 抛物线yax2bxc的图象如图所示，则一次函数yaxb与反比例函数yx(c)在同一平面直角坐标系内的图象大致为(B)B B由抛物线可知，a0，b0，c0，一次函数yaxb的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y 的图象在第二、四象限xc命题点命题点2 2 二次函数的实际应用二次函数的实际应用5 52017德州随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；(2)求出水柱的最大高度的多少？解：(1)如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为ya(x1)2h(0 x3)，代入(0，2)和(3，0)，抛物线的解析式为y (x1)2 (0 x3)，即y x2 x2(0 x3)32383234(2)y x2 x2(0 x3)，当x1时，y ，即水柱的最大高度为 米32343838命题点命题点3 3 二次函数的综合应用二次函数的综合应用6 62016德州已知m，n是一元二次方程x24x30的两个实数根，且|m|n|.抛物线yx2bxc的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为 个单位长度设点P的横坐标为t，PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式2解：(1)解方程x24x30，得x11，x23.m，n是一元二次方程x24x30的两个实数根，且|m|n|，m1，n3.把点A(1，0)，B(0，3)代入yx2bxc中，这个抛物线的解析式为yx22x3.(2)令y0，则x22x30，解得x11，x23.点C的坐标为(3，0)yx22x3(x1)24，顶点D(1，4)如图1，过点D作DEy轴于点E.OBOC3，BEDE1，BOC和BED都是等腰直角三角形OBCDBE45.CBD90.BCD是直角三角形(3)由点B(0，3)，点C(3，0)，得直线BC的解析式为yx3.点P的横坐标为t，PMx轴，点M的横坐标为t.又点P在直线BC上，点M在抛物线上，P(t，t3)，M(t，t22t3)过点Q作QFPM于点F，则PQF为等腰直角三角形PQ ，QF1.如图2，当点P在点M上方时，即0t3时，PMt3(t22t3)t23t.2S PMQF (t23t)1 t2 t；如图3，当点P在点M下方时，即t3时，PMt22t3(t3)t23t.S PMQF (t23t)1 t2 t.综上， 21212123212121237 72015德州已知抛物线ymx24x2m与x轴交于点A(，0)，B(，0)，且 2.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标11解：(1)由题意可得，是方程mx24x2m0的两根，由根与系数的关系可得， ，2.m4 2， ，即 ， 解得m1.112224m故抛物线的解析式为yx24x2.(2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，yx24x2(x2)26，抛物线的对称轴l为x2，顶点D的坐标为(2，6)又抛物线与y轴交点C的坐标为(0，2)，点E与点C关于l对称，点E的坐标为(4，2)作点D关于y轴的对称点D，点E关于x轴的对称点E，则D的坐标为(2，6)，E坐标为(4，2)，连接DE，交x轴于点M，交y轴于点N，此时，四边形DNME的周长最小为DEDE，如图1所示延长EE，DD交于一点F，在RtDEF中，DF6，EF8，则DE= .设对称轴l与CE交于点G，在RtDGE中，DG4，EG2， .四边形DNME的周长最小值为102 .5(3)如图2，P为抛物线上的点，过点P作PHx轴，垂足为H.若以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则PHQDGE，PHDG4.|y|4.当y4时，x24x24，解得x12 ，x22 ；当y4时，x24x24，解得x32 ，x42 .无法得出以DE为对角线的平行四边形，故点P的坐标为(2 ，4)，(2 ，4)，(2 ，4)，(2 ,4)2210102210108 82014德州如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4，0)，并且OAOC4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标解：方法一：(1)由A(4，0)，可知OA4.OAOC4OB，OAOC4，OB1.C(0，4)，B(1，0)设抛物线的解析式是yax2bxc，则抛物线的解析式是yx23x4.(2)存在第一种情况，如图1，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1AC，交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线，垂足是M.ACP190，MCP1ACO90.ACOOAC90，MCP1OAC.OAOC，MCP1OAC45.MCP1MP1C.MCMP1.设P(m，m23m4)，则mm23m44，解得m10(舍去)，m22.m23m46，即P(2，6)第二种情况，如图1，当点A为直角顶点时，过点A作AP2，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F.P2Nx轴由CAO45，OAP245.FP2N45，AOOF.P2NNF.设P2(n，n23n4)，则n(n23n4)4，解得n12，n24(舍去)，n23n46，则点P2的坐标是(2，6)综上所述，点P的坐标是(2，6)或(2，6)(3)如图2，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则ODEF.根据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短由(1)可知，在RtAOC中，OCOA4，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点又DFOC，DF OC2.点P的纵坐标是2.则x23x42，解得x .当EF最短时，点P的坐标是( ，2)或( ，2)212173 2173 2173