高考数学中档题专练一

中档题专练(一)1.(2018江苏盐城高三(上)期中)在4ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知a=3,cos B二:且9?霹？7(1)求b的值；(2)求 sin(A-B)的值.2.(2018南京师大附中高三年级模拟 )如图,A,B,C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米 处,C在B的正东方向64千米处.警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时/ CBP=45，求PB的长；(2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发，甲的速度为3千米/小时, 乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系 ，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束 若对讲机的有效通话距离不超过 9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长 ？答案精解精析1 .解析(1)在 4ABC 中，由？? ?7,得 accos B=7,即 3cX 7=7,解得 c=3.9在 ABC43,由余弦定理，得 b2=a2+c2-2ac - cos B=9+9-18 - 7=4,b=2.9(2)因为cos B= 9,所以B为锐角，故 sin B=4v22记. 、一？+?-?夕 22+3 2-32 1 ,2V2 x 7 1 x 4=10v29 3-927-又由余弦定理,得cos A= -=22： =1，所以A为锐角，且sin A=所以 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=2 .解析 (1)易知在 ABC中,AB=6, /A=60 , / APB=75由正弦定理得?sin / ?gin?声 一,一 -则 BP*W=423=了*=3v3x(v6-v2)=9斓-3 通, V2+ V6 v6+ 224-4-故PB的长是(9v2-3v6)千米.(2)甲从C到A需要4小时，乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f9.当0w t 1时， f(t)= V(6?2 + (12 - 3t) 2-2 - 6t - (12 -3t)cos60 =3V7?16t+16 0 9,即 7t2-16t+7 W0,解得上5wt W81/,又 t C 0,1,所以匕/ t1,所以时长为年小时.当 1tW4 时,他)=V36 + (12 - 3?2-2 6(12-3t)cos60=3V7?6t+12 0 9,即 t2-6t+3 & 0,解得 3-v6t 3+v6,又 t 6 (1,4,所以1tW4,所以时长为3小时.综上总时长为3+45-1 _ 45+20(小时).答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是V15+20小时.