高中数学联赛培训讲义

高 中 数 学 联 赛 培 训 讲 义全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学 数学教学大纲 中所规定的教学要求和内容，即高 考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。第一讲集合、函数、方程例1.集合x| - 1 log 1 10- - , 1x6 N的真子集个数为。(96年全国高中联赛)12x【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为2 n - 1【解】【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。练习.已知集合 A=y2y3 , x= 一1一 十 1一，则x与A的关系是。(83年)1.1log1 -log1 -2 35 3(93 年)若 Ml= (x,y)11tgn y| 十 sin 2 n x = 0 , N=(x,y)|x2 +y 2 2,则 |M n N| =。 A. 4B. 5 C. 8 D. 9附：|A|表示A的元素个数(93年)若非空集合 A= x|2a +1x3a5, B= x|3 x1, b1 ,且 lg(a + b) = Iga + Igb ,则 lg(a 1) + lg(b 1)的值。 (98 年)A. 等于lg2 B. 等于1 C. 等于0 D.不是与a、b无关的常数设f(x)是定义在实数集 R上的函数，且满足下列关系：f(10 +x)=f(10 -x),f (20 x) =- f(20 +x),则 f(x)是。(92 年)A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C. 奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数例 3.设 x 与 y 为实数，满足(x 1) 3 + 1997(x - 1) =- 1 , (y - 1) 3 + 1997(y 1) = 1,则 x + y=o( 97年全国高中联赛)【分析】构造函数f(t) =t 3 + 1997t ,将两等式变成函数值，再利用函数性质。【解】【小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。练习已知方程|x 2n| =k Jx (n6 N)在区间(2n 1, 2n + 1)上有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 o (95 年)A. k0 B. 0k : C. k : D.以上都不正确,2n 1 2n 1，2n 1用x表示不大于实数 x的最大整数。方程lg 2x-lgx 2 = 0的实根个数是 。 (95年)设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3 +x)=f(3 x),且方程f(x) =0恰有6个不同的根，则这 6个实根的和为 o (91年)第二讲三角变换、三角不等式例1.设x6 （ 1,0）,以下三数 a=cos（sinxn）、b=sin（cosxn）、c = cos（x +1）n的大小关系是 2（96年全国高中联赛）A. cba B. acb C. cab D. bca【分析】先判别符号，再比较同符号的几个。【解】【小结】比大小，可以先与0、1比较，先后利用函数单调性、比较法等。也可特值法。练习.已知 0b1 , 0a 10g cos1 sinl 10g1 tg1 从小到大的排列sinsine0seus为 o （95年）C A例2.在 ABC中，角A、B、C的对边边长分别是 a、b、e,若e a等于AC边上的图h,则sin CA +e0sC_A的值等于。（9年全国高中联赛）2【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，通过三角变换解决问题。【解】【小结】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角变换。练习.e0s 2 10 +e0s 250 sin40 sin80 =。（91 年）.在 ABC中，角A、B、C的对边边长分别是 a、b、e,已知三内角成等差数列，且ea等于AC边上的高C Ah,则sin C-A的值等于。（91年）2.在 ABC中，角A B、C的对边边长分别是a、b、e （b *1）,且C、QinB都是方程10g -x=10g b（4xA sin Ab4）的根，则4 ABC。（92 年）A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形例3.设xyzw，且x + y+z=,求e0sxsinye0sz 的最大值和最小值。（97年）【解】【小结】积化和差；放缩法。练习.已知0 0 0都成立的充要条件是 。（94 年）A. a 与 b 同时为 0,且 e0 B.a a2 b2 = e C. Va2 b2 e一x3 sin x 2a 0.已知x、y6,a6R,且 ，则e0s（x + 2y） =。（提不：构造函4 44y sinyeosy a 0数法） （94年）第三讲数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列a n首项a1 = 1536，公比q = 1。用nn表示它的前n项之积，则nn （n6N）最大是。2A. Ti 9 B. Tt 11 C. Ti 12 D. Tt 13 （96 年全国高中联赛）【分析】先求出nn的表达式，再讨论该式的最大值问题。【解】【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。练习.设x w y,且两数列x, a1, a 2 , a3, y和b1, x, b2, b3, y, b4均为等差数列，那么b4-b3a2 a1=o （ 88 年）.设x,y,z是实数，3x、4y、5z成等比数列，且 1、二、1成等差数列，则 ）+ 3的值是。x y zz x（92 年）.设等差数列a n满足3a8 = 5a13,且a10, Sn为前n项之和。则Sn （n 6 N）中最大的是 。 A. S10 B. S 11 C. S 20 D. S 21（95 年）例2.已知数列a n满足3an 1 +an = 4 （n 1）,且a1 = 9,其前n项之和为Sn ,则满足不等式|S n -n-61V 工的最小整数n是 。（94年全国高中联赛）125【分析】先求S n【解】【小结】构造法。数列前n项和公式。练习.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为97 2,则这样的数列共有 oA. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 （97 年） .对于每个自然数 n,抛物线y= （n 2 + n）x 2 （2n + 1）x + 1与x轴交于An、Bn两点，以|A n Bn |表示该两 点间距离，则 |A 1B1| +IA2B2I + + |A 1992 B1992| =0 （92 年） .一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为O （89年）例 3.设正数列 a0,a1,a2,，an, 满足 a7a?J 6n 1an 2 =2an 1 (n2),且 a0=a1 = 1,求 a 100 / a 99 的值。【分析】将已知的代数式进行变形，构造一个新的数列使问题简化【解】【小结】构造法。练习.将正奇数集合1,3,5,由小到大按第n组有（2n 1）个奇数进行分组：第一组 1、第二组3,5,7、第 三组9,11,13,15,17、。则1991位于第组中。 （91年）.已知数列x n满足x n 1 =xn -x n 1 (n 2),确的是 o (97年)A. x 100 = a, S 100 = 2b aB. xC. x 100=- b， S100 = baB. x.已知集合 昨x,xy,lg(xy) , N=0,|x|,y,x1 =a, x2 = b，记Sn=x1+x2 +xn。则下列结论正100= b, S 100 = 2b a100=-a, S 100 = b a并且 M= N,那么(x + 工)+ (x2 + 口)+ (x3 + 3 ) + yyy+（x 2001 +福）的值等于 。（87年）y第三讲数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列a n（96年全国高中联赛）【小结】练习.例2.【小结】练习.例3.【解】 【小结】 练习.第三讲数列、数列递推、数学归纳法 年全国高中联赛）.例1.等比数列a n （96【分析】【解】【小结】练习. . .例2.【分析】【解】【小结】练习. . .例3.【解】【小结】练习. . .2001年全国高中数学联合竞赛试题第一试（2001 年 10 月 14 日 8:00 9:40）、选择题（每小题6分，满分36分）1 . 已知a为给定的实数，那么集合M = x|x23x a2+2 = 0, x6 R的子集的个数为（）2 .D.不确定3 . 命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；4 .命题2长方体中，必存在到各棱离相等的点；5 . 命题1长方体中，必存在到各面离相等的点；6 . 以上三个命题中正确的有 （）7 .个个个8 . 在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y = lg|sinx|中以n为周期、在（0 ,；）上单调递增的偶函数是（）9 .= sin|x|= cos|x|= |ctgx|= lg|sinx|10 .如果满足/ ABC =60, AC = 12, BC = k的ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）11 . =8$k12D. 0k12 或 k=8 后12 .若（1 + x + x2）1000 的展开式为 a0+ a1x + a2x2+ +a2000x2000 ,则 a0+a3+a6+a9+ +a998 的值为（）13 .14 .已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）15 .枝玫瑰花价格高枝康乃馨价格高16 . C.价格相同D.不确定、填空题(每小题9分，满分54分)117 .椭圆p =的短轴长等于2 cos318 . 右复数 Z1 , Z2 满足忆1|=2, |z2|=3, 3zi2z2=2 i,则 Zl Z2 =.19 .正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1,则直线 A1C1与BD1的距离是 20 .不等式2 3的解集为.植物，相栽种方案阿X 221 .函数y=x+ Vx2 3x 2的值域为 .22 .在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一块种种植一种邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有 三、解答题(每小题20分，满分60分)23 .设an为等差数列，bn为等比数列，且 b1=a12,b2=a22, b3= a32(a1a2),又lim (b1 + b2+bn)= 42 + 1 ,试求an的首项与公差. n224 .设曲线Ci: J y2=1(a为正常数)与C2: y2=2(x + m)在x轴上方仅有一个公共点Pa25 . (1)求实数m的取值范围(用a表示)1 一26 . (2)O为原点，若 Ci与x轴的负半轴交于点 A,当0ama3a4a5 a6)的电阻组装成一个如图的组件，组装中应该如 何选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小证明你的结论IWWW