三角函数学习中应注意的几种类型问题专题辅导试题

卜人入州八九几市潮王学校三角函数学习中应注意的几种类型问题王坤玉一、探究性问题新课程要求我们加大对于数学探究与创新才能的培养，对数学问题能在实验、猜想、合情推理的根底上, 进展探究和研究，并予以证实；在新的情景中，能正确地表述数量关系，并能在创造性地考虑问题的根底上， 对较简单的问题得岀一些新颖的结果。例1角a、B、 为锐角，且=_，试求tan tan tan tan2tan tan 的值。解：这类求关系式的值的问题一般的解题策略为，先特值确定所求关系式的一个值，然后 猜想所求关系的值是该值，再证明。首先分别令a、B、都为，tan tan tan tan tan tan = 1，于是猜想6tan tan tan tan tan tan 的值是1。对猜想的结论进展证明：证明： 左边=tan tan tan tan tan tan二、开放性问题例2.设函数f (x)= sin2x，假设f(x t)是偶函数，那么t的一个可能值是 解法 1：由得 f (x t)= sin2(x t)= sin(2x 2t)又因f (x t)是偶函数所以 sin(2x 2t)= sin( 2x 2t)所以2cos2tsin 2x = 0恒成立k所以t=， k Z24解法2： f (x t)是由f(x)平移得到的，f(x t)是偶函数，所以可以设f(x t)= cos2x 而 cos2x = sin(2x)= sin 2(x)= f (x )，所以 t 可以为一2444sin x，例3函数f (x) =cosx，(sinx cosx)，试写出它的一个性质。sin x cosx)分析：数学讨论的函数性质有函数的定义域，值域包括最大值和最小值，单调性，奇偶性，周期性等,sinx， ( sinx cosx)函数f(x)=是由两个非常常用的函数 y = sinx和y = cosx组成，在同一坐标系中cosx，( sinx cosx)画出这两个函数的图像即可得到函数f(x)的图像，根据图像便可以讨论该函数的性质。解：据该函数的图像图像略可以得到如下结论:1此函数的定义域是 R;2该函数的值域是-1；2，该函数是以2n为最小正周期的周期函数;当且仅当x = 2k n和x= 2kk Z)时，该函数获得最大值255当且仅当x = 2k一( k4Z)时，该函数获得最小值36 丨在2k ,2k (k4Z)上是增函数，在2k2k (k Z)是减函数，在5-2k，一 2k (k Z)上是增函数，在一 2k， 2k4224(kZ)是减函数。以上各性质只需答复其一。三、判断真假性冋题例4采用如下方法判断函数f(x)= 1 cosx sinx的奇偶性是否正确。1 cosx sin xx因为tan 是奇函数，所以2f(x)是奇函数。解：此解答是错误的。x由于简化过程中约去了分子、分母的公因式sin2xcos ，使得2y= f (x)和 y= tan x因定义域不同而不是同一个函数，故不能应用约分后的函数直接求约分前函数的奇偶2性，本例的正确解答是:xx令sin cos = 0，得一特解x = ，考察 和一的函数值。222 2 2因为f ( )= 1，而f ()无意义。2 2所以函数f(x)的定义域关于原点不对称。故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数四、模拟解答问题12251225例5阅读下面例题解法：实数X、y 满足 4x2 5xy 4y2=5,设 S= x21 1+丄的值。SmaxSminx = Scos 代入 4x2解：设y =、. S sin5xy 4y2=5，化简后得:122510解得s=10-8 5sin 2因为 1 sin 21所以 3 8 5sin 21310因为138 5si n10所以S max Smin 101310 5试用上述解法解以下问题:x2 4y2=4求 M = x2 2xy 4y2x 2y的最大值。解：因为x2 4y2=4,设x = 2cos , y= sin (22M = 4cos 2 2cos sin 4sin2cos2si n=44sin cos2( sincos )12251225.2)2设 sin cos = t,2sin cos = t 1(所以 M = 42(t21) 2t = 2(t-)22因此当t= 、2时，M有最大值62 2五、运用方程思想解题的问题sin1 例 6 sincos =5(0,)，求cot1分析：sin cos =，和同角三角比的关系式5sin2cos ，这样sin ,cos为一个一元二次方程的两个解，再求cos2=1联立形成一元二次方程求出cot1 解：因为sin cos =-5所以 sin cos =1225因为 (0,)所以 cos 0 sinsin112且sin ,cos是一元二次方程x2 x =0的两个解。525cos =-，所以 cot =5例 7sin44 cos解：sin2: 2 cos所以sin0,cos由此可得sin cos所以sin,cos为关所以sinV6=T，六、追溯条件性问题5且a为第三象限角，求 sin a与9=1，因为a为第三象限角,sin cos =3x的方程x2cos =空或sin =6COS a。62T)x,612T2=0的两个解3，cos6.63例8请你写岀一个关于a的等式并加以证明，要使得等式是你给出的等式中当a= 20和“=15时的情形。分析：注意到这两个等式中三角比之间的运算方式一样，每个等式中的两个角之间都是相差30,根据这些特征便可构建一个关于a和a+30 角所满足的等式。解：sin2cos2(30 ) sin cos( 30 )=-4t-1 1和31证明：左边=一(1 cos2 )1 cos(2 60 )( cos sin )sin2 222说明：归纳概括一系列数学等式所具有的一共同性质，从而猜想并证明具有一般意义的数学结论，使得原 有的结论成为特例，这种由特殊到一般的推广，是数学研究中常用的方法之一。七、有关数学建模问题例9如图1,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地， ABC外的地方种草， ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花。假设BC=a，Z ABC=9，设 ABC的面积为S，正方形的面积为 S。1用a，9表示S和S2;S22当a固定，0变化时，求 鱼取最小值时0的值。解：1因为 BO a，/ ABO9所以 AB= acos 0, AC= asin 0,所以 s1 = -a2sin cos = -a2sin2124又因为 PQ PQcot PQ tan = a所以PQ=a1 cot tana2所以S2=(0(1 tan cot )2蛍=!sin2 (1 )2S24sin 2所以2 =，= 4有最小值，最小值为八、在物理中的应用问题例10电流I与时间是t的关系式为:I = A sin( x )1图 2 是 | = A sin( x),0， |在一个周期内的图像，P，029001Q-8000，试根据图中数据求| = A sin( t)的解析式;2假设t在任意一段 丄秒的时间是内，电流I = A sin( t )都能获得最大值和最小值，那么3150的最小正整数值是多少。72008解: 1I =300sin(7200 t )17172因为T 丄，150300，所以min =943。