福建师范大学22春《复变函数》补考试题库答案参考15

福建师范大学22春复变函数补考试题库答案参考1. 通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。x-6y+4z=02. 在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?设S=1，2，500，以A1，A2分别表示S中可被15和7整除的整数集合，则问题归结为求|A1-A2|。=33-4=293. 求(U，V)的相关系数求(U，V)的相关系数正确答案：4. 讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.因为函数在f(x)=2x+1在点x=1的任一邻域内有定义，且，所以函数f(x)=2x+1在点x=1处连续.5. 已知向量a=2，1，1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；已知向量a=2，1，-1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；6. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证，从而 =(fxcos+fysin)2+(-sinfx+cosfy)2 =fx2cos2+fy2sin2+2sincosfxfx +fx2sin2+fy2cos2-2sincosfxfy 7. 求由抛物线y2=8x与直线xy6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积求由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积8. 在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( )A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数参考答案：AB9. 证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根在(-2，-1)与(-1，0)上运用零点定理10. 设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(AB)=_；P(B|A)=_设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(AB)=_；P(B|A)=_0.52$0.711. 求下列函数的边际函数与弹性函数： (3) xae-b(x+c)求下列函数的边际函数与弹性函数：(3) xae-b(x+c)(3)y=xae-b(x+c)，y=(axa-1-bxa)e-b(x+c) 12. 设X，Y为拓扑空间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集设X，Y为拓扑空间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集证明记X，Y上的拓扑分别为X，Y 充分性 设BY，则令A=Bc，A是闭集，有T-1(A)是闭集于是T-1(B)=T-1(Ac)=T-1(A)cX，这表明T连续 必要性 设T连续，A是闭集，则AcY，从而T-1(A)c=T-1(Ac)X这表明T-1(A)是X的闭集 13. 设随机变量X的分布律为 X 0 p 0.4 r 0.1设随机变量X的分布律为X0p0.4r0.1且E(X)=0，D(X)=2，试求待定系数，r，其中由离散型随机变量分布律的性质得1=0.4+r+0.1r=0.5 又由数学期望与方差的定义得 E(X)=0=0.4+00.5+0.10.4+0.1=0=-4， D(X)=2=0.4(-0)2+0.5(0-0)2+0.1(-0)20.42+0.12=2，解得=1，=4 又，故=-1，=4，r=0.5小结随机变量的分布律(或概率密度)的性质、数学期望和方差的定义在确定待定系数的题目中经常用到，要灵活掌握三者之间的相互转化关系 14. 在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中 x=1，2，3， y=2，3， 证明：(T)由满足|1的一切点组成，在lp(1P)中定义算子如下：y=Tx，其中x=1，2，3，y=2，3，证明：(T)由满足|1的一切点组成，T的特征值由满足|1的一切点组成，对于|=1，I-T是单映射。(1)T=1显然，所以|1时，(T) (2)|1时， 它有非零解 x=11，2，)lp(10)， 故|1时，|p(T)(特征值)。从而 (T)=1，(T)=|1 (3)|=1时，由(I-T)x=0可知x必具有形式 11，2， 故当且仅当1=0时有xlp所以在lp中(I-T)x=0只有零解，即|=1时，(I-T)是单映射。 15. 设随机变量X的概率密度，则Y=( )N(0，1) A B C D设随机变量X的概率密度，则Y=()N(0，1)ABCDB16. (1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续 (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续(2)讨论函数在定义域内是否连续(1)由题意有 因此fg(x)处处连续，自然fg(x)也在x=0点处连续 (2)当0xe时，有 当xe时，有 于是有 又由于 可知f(x)在x-=e点连续，从而f(x)的定义域x0上连续 17. 15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单位：kg/cm2)：甲：88，87，92，90，91乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高(=0.05)?15甲的抗拉强度比乙的高18. 下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是( ) A By=(x+1)(x-1) C D下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是()ABy=(x+1)(x-1)CDB19. 下列函数中( )的导数等于sin2x Acos2x： Bcos2x： C-cos2x； Dsin2x下列函数中()的导数等于sin2xAcos2x：Bcos2x：C-cos2x； Dsin2xD(cos2x)=-2sin2x，(cos2x)=-2cosxsinx=-sin2x， (-cos2x)=2sin2x，(sin2x)=2sinxcosx=sin2x，故选D 20. 证明：若三角级数 中的系数an，bn满足关系 M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数。证明：若三角级数中的系数an，bn满足关系M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数。由所给条件：可知 即 而，有 及级数收敛，可知三角级数 为绝对一致收敛 其中a0为某一实数 又设 则 由于 及收敛，所以级数一致收敛，由定理13.12可知此级数的和函数连续，由定理13.14可知 即级数的和函数具有连续的导函数 21. 证明方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根证明方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根证明令f(x)=e3-x-2，f(x)在0，1上连续，且f(0)=-10，f(1)=e3-30，由零点存在定理知，至少存在一点(0，1)，使f()=0，即方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根22. 设函数z1=x+y,，则( ) Az1与z2是相同的函数 Bz1与z2是相同的函数 Cz2与z3是相同的函数 D其中任何设函数z1=x+y,，则()Az1与z2是相同的函数Bz1与z2是相同的函数Cz2与z3是相同的函数D其中任何两个都不是相同的函数D因为z1与z2的定义域不相同，z1与z3的值域不一样，z2与z3的定义域不相同，从而任何两个都不是相同的函数23. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法 24. 某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数=4的指数分布若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数=4的指数分布若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换一台设备，厂家亏损300元，否则厂家赢利100元，求厂家售出一台设备赢利的数学期望E(Y)=-300(1-e-1/4)+100e-1/4=400e-1/4-30011.5225. 判断下列各式哪个成立哪个不成立，说明为什么(AB)一B=A；(AB)一B=A；正确答案：当AB互不相容时等式成立当A,B互不相容时,等式成立26. 设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵 试判断R是否是传递关系。设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵试判断R是否是传递关系。R是传递关系27. 一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式S=-12(2x2+3)dx28. 从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。感性认识29. 证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根记f(x)=x3-3x+5，用反证法假设f(x)=0在0，1内有两个不同的实根x1，x2，那么f(x1)=f(x2)=0，又因为f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，所以由罗尔中值定理知，存在一点(x1，x2)(0，1)，使得f()=0 但f(x)=3(x2-1)只有两个实根x=1，因此不可能存在(x1，x2)(0，1)，使得f()=0，于是推出矛盾 30. 若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则( )A.m(A)m(B)B.m(A)=m(B)C.m(BA)=m(A)D.m(B)=m(A)+m(BA)参考答案：BD31. 若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有( ) Ady=f&39;(esinx)desinx Bdy=f&39;(esinx)esinxcosxdx Cdy=f若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有()Ady=f(esinx)desinxBdy=f(esinx)esinxcosxdxCdy=f(esinx)dxDdy=f(esinx)desinxAB令u=esinx，则y=f(u) dy=f(u)du=f(esinx)desinx，故(A)符合，(C)排除 又desinx=esinx(sinx)dx=esinxcosxdx dy=f(esinx)desinx=f(esinx)esinxcosxdx，所以(B)符合 (D)中dy=f(esinx)desinx=f(esinx)esinxdesinx，所以(D)也排除 32. 如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。设(l)=l：ax+by+c=0,其中l:ax+by+c=0，即+c=0，=(a，b)，所以 = 即 且 再由 (ax+by+c=0)=l:ax+by+c=0 得不动直线为20x-5y-8=0和2x-2y-5=0。 33. 设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为( )的概率最大；其概率为( )设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为()的概率最大；其概率为()0和1$0.8434. 我国关于对圆周率 的计算，贡献最大的人物是：A、杨辉B、张衡C、刘徽D、祖冲之我国关于对圆周率 的计算，贡献最大的人物是：A、杨辉B、张衡C、刘徽D、祖冲之正确答案： D35. 设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=( )时，成功次数的标准差的值最大，其最大值max=( )设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=()时，成功次数的标准差的值最大，其最大值max=()36. 一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?成立我们可严格地表述为：设P(A)=0或1，则A与任一事件B独立不妨设P(A)=0(P(A)=1同样可证)，P(A)且P(AB)=0，导致P(AB)P(A)=0，于是P(AB)=0，所以 P(AB)=0=P(A)P(B)，此即A，B独立 37. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_38. 已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：如果这两点是两曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(即PQ为C1，C2的公共法线)设P，Q分别为曲线C1，C2上的两点，且PQ为两曲线上相距最短距离，由(1)可知PQ位于曲线C1的法线上，也位于曲线C2的法线上，因此必定位于曲线C1与C2的公共法线上，由(1)可知曲线c1在点P(，)处的法线向量的斜率为,曲线C2在点Q(，)处法线向量的斜率为，又线段PQ的斜率为，可知有 从而有 由于上述方法是(1)中求极小值而得，相仿，如果PQ为曲线C1与曲线C2的最远距离，利用相仿方法求极大值，也可得出相同结论 39. 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是()。40. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示， 定点在(0，0，a)处 则 dF的三个分量为 ， 所求力F=Fx，Fy，Fz 则由对称性知 Fx=Fy=0 而 球面参数方程为 x=Rcossin，y=Rsinsin z=Rcos 所以 dS=R2sindd， 故 注意引力是一个向量向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加 令a2+R2-2aRcos=t2 则 所以 此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力 注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力不妨只就aR的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体当r0时，认为球壳r2x2+y2+z2(r+r)2为均匀球面，半径为r则只考虑ra这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)于是这一层对定点的引力为 所以 (aR) 所得结果与题完全一致读者不难仿此得到当aR的情况 41. 设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则 F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)F(xy，uv)=ln(xy)ln(uv)(lnx+lny)(lnu+lnv) lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv =F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v) 42. 设随机变量X的分布函数求其概率密度，且求P(X1)设随机变量X的分布函数求其概率密度，且求P(X1) 43. 设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：由题意可知，若a*b=b*a，则必有a=b 因为(a*a)*a=a*(a*a)，所以a*a=a$因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a，所以a*b*c=a$因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c) =a*(b*c)=(a*b)*(c*a*c) =(a*b*c)*(a*c)，所以a*b*c=a*c 44. 求下面微分方程的通解或特解。y=1+(y&39;)2求下面微分方程的通解或特解。y=1+(y)2设y=p(x)，则y=p(x)，将y=p(x)、y=p(x)代入原方程中，有 p=1+p2 分离变量，得 两边积分，得 arctanp=x+c1 p=tan(x+c1) y=p=tan(x+c1) 45. 试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集根据题意A是有限集，则AN(N是自然数集)是可列集，可知(AN)B是可列集，而AB(AN)B，而AB是无限集，由于可列集的任何无限子集是可列的，故AB为可列集46. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10 320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)正确答案：设日产量为x吨rn由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320rn解得比例系数k=004rn故C(x)=004x3+10 000x0100rn于是平均成本函数令rn解得唯一驻点x=50因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值rn故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000因为,当x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320解得比例系数k=004,故C(x)=004x3+10000,x0,100于是,平均成本函数令解得唯一驻点x=50因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本47. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则( )A.f可测B.|f|可积C.f2可积D.|f|.a.e.参考答案：ABC48. 为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9对数据如下：0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 17.40.10 0.20 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89假定两种工艺方法生产的产品的性能指标之差服从正态分布根据这些数据能否判定不同工艺对产品的该性能指标影响有显著差异?(=0.05)49. 求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率正确答案：解法1计算得rn因此rn解法2rnrn这表明rn因此用Frenet公式求g较容易rn若用x表示对弧长的求导则rn所以rn解法1计算得因此解法2这表明因此用Frenet公式求g,较容易若用x表示对弧长的求导,则所以50. 设f(x)在(-1，1)内连续，在x=0处可导，且f(0)=0，f&39;(0)=1，求极限设f(x)在(-1，1)内连续，在x=0处可导，且f(0)=0，f(0)=1，求极限4