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第第1 1讲讲 空间几何体的三视图、表面空间几何体的三视图、表面积与体积积与体积考情分析考情分析总纲目录考点一 空间几何体的三视图考点二 空间几何体的表面积与体积（高频考点）考点三 多面体与球的切、接问题考点四 数学文化与立体几何考点一 空间几何体的三视图一个物体的三视图的排列规则一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.典型例题典型例题(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2232解析解析根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD=2.故选B.2222223答案答案B方法归纳方法归纳由三视图还原直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱的位置.(3)确定几何体的直观图形状.跟踪集训跟踪集训1.(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案答案 B由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.该几何体的侧视图为选项B.故选B.2.(2016辽宁沈阳教学质量检测(一)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形,一个直角三角形),则这个几何体可能为()A.三棱台B.三棱柱C.四棱柱D.四棱锥答案答案B根据三视图的画法法则:长对正、高平齐、宽相等,可得几何体的直观图如图所示,这是一个三棱柱.考点二 空间几何体的表面积与体积(高频考点)命题点命题点1.由三视图求空间几何体的体积.2.由三视图求空间几何体的表面积.3.根据已知空间几何体求其表面积或体积.1.柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);(2)S锥侧=ch(c为底面周长,h为斜高);(3)S台侧=(c+c)h(c,c分别为上、下底面的周长,h为斜高).12122.柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台=(S+S)h(S,S分别为上、下底面面积,h为高)(不要求记忆).1313SS3.球的表面积和体积公式(1)S球表=4R2(R为球的半径);(2)V球=R3(R为球的半径).43典型例题典型例题(1)(2017课标全国,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16A.B.C.D.163329169(2)(2017郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 ()解析解析(1)由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2=12.故选B.(2)由三视图可知该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的一部分,设底面扇形的圆心角为,则cos(-)=,所以=,所以所求几何体的体积V=224=,故选D.(24)22122323213169答案答案(1)B(2)D方法归纳方法归纳求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体进行求解.跟踪集训跟踪集训1.(2016课标全国,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28283答案答案A由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为R3,即=R3,解得R=2.故其表面积为422+322=17.选A.187843283784378142.(2017湖南湘中名校高三联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.32C.D.16033233523答案答案 A由三视图可知,该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的,所以该几何体的体积V=448-444=,故选A.12131216033.(2017南昌第一次模拟)如图,直角梯形ABCD中,ADDC,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边所在直线旋转一周,则所得的几何体的表面积为.答案答案(+3)2解析解析根据题意可知,此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示.则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和,即表面积为1+212+12=(+3).22112考点三 多面体与球的切、接问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.C.D.(2)(2016课标全国,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.342492323解析解析(1)设圆柱的底面圆半径为r,由题意可得r2+=12,解得r=.圆柱的体积V=r21=,故选B.(2)易知AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8+10)r,所以r=2,因为2r=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径2R=3,则R=,此时球的体积V=R3=.故选B.21232341212324392答案答案(1)B(2)B方法归纳方法归纳多面体与球接、切问题的求解策略涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内接、外切的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.跟踪集训跟踪集训1.(2017石家庄教学质量检测(二)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是()A.6B.5C.D.9294答案答案 D过点P作PH平面ABCD于点H.由题意知,四棱锥P-ABCD是正四棱锥,内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面的一个切点.设PH=h,易知RtPMORtPHF,所以=,即=,解得h=,故选D.OMFHPOPF132213hh942.(2017太原模拟试题)已知三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,BC=CD=1,AB=,则该三棱锥外接球的体积为.2答案答案43解析解析因为BC=1,CD=1,BCCD,所以BD=,又AB=,且AB平面BCD,所以AD=2,ABCD,所以CD平面ABC,所以CDAC,所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为AD的中点,半径为1,所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为.2243考点四 数学文化与立体几何典型例题典型例题(2015课标全国,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案答案B解析解析设圆锥底面的半径为R尺,由2R=8得R=,从而米堆的体积V=R25=(立方尺),因此堆放的米约有22(斛).故选B.方法归纳方法归纳本题属于生活中谷物储存问题,源于九章算术第五章“商功”,结合立体几何中的基础知识进行设问,强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养.我国古代数学强调“经世济用”,涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密,体现出明显的问题式、综合性的特征.1416141316 20316 203 1.62跟踪集训跟踪集训我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为()A.4-B.8-C.8-D.8-2243答案答案C由祖暅原理可知,不规则几何体的体积与已知三视图所对应的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱得到的,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为(12)2=,因此不规则几何体的体积为8-,故选C.121.(2017广州综合测试(一)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的为某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是()83随堂检测随堂检测答案答案D由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所示,其高为2,其底面为正方形,面积为22=4,因为该几何体的体积为42=,满足条件,所以俯视图可以为一个直角三角形.故选D.13832.(2017兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.(9+)B.(9+2)C.(10+)D.(10+2)5555答案答案 A由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥,且圆锥的高是圆柱高的一半.故该几何体的表面积S=12+42+2=(9+).12553.(2017洛阳第一次统一考试)已知简单组合体的三视图如图所示,则此简单组合体的体积为()A.B.14C.-8D.-4103163163答案答案 D依题意知,该简单组合体是从一个圆锥(底面半径为2、高为4)中截去一个正四棱柱(底面正方形的边长为,高为2)后剩余的部分,因此该简单组合体的体积为224-()22=-4,故选D.21321634.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.12VV答案答案32解析解析设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,=.12VV23243RRR325.(2017贵阳检测)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的等边三角形,俯视图为正六边形,则该几何体的体积是.答案答案 32解析解析依题意得,题中的几何体是一个正六棱锥,其中底面是边长为1的正六边形,高为2=,因此几何体的体积等于=.3231323614332
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