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第第2 2讲讲 平面向量、复数平面向量、复数考情分析考情分析总纲目录考点一 复数考点二 平面向量的概念及线性运算考点三 平面向量的数量积（高频考点）考点一 复数1.复数的除法复数的除法一般是将分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数,再进一步化简.2.复数运算中常见的结论(1)(1i)2=2i,=i,=-i;(2)-b+ai=i(a+bi)(a,bR);(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*);(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).1i1i1i1i典型例题典型例题(1)(2017课标全国,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2(2)(2017天津,9,5分)已知aR,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.答案答案(1)C(2)-212222i2ia解析解析(1)(1+i)z=2i,z=1+i.|z|=.(2)因为=为实数,所以-=0,解得a=-2.2i1i2i(1 i)(1 i)(1 i)2(1 i)222112i2ia(i)(2i)(2i)(2i)a 21 (2)i5aa 25a 方法归纳方法归纳复数的概念及运算问题的解题技巧(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题,可设为mi(mR且m0),利用复数相等求解.(2)与复数模、共轭复数、复数相等有关的问题,可设z=a+bi(a,bR),利用待定系数法求解.跟踪集训跟踪集训1.(2017石家庄第一次模拟)若z是复数,z=,则z=()A.B.C.1D.12i1iz1025252答案答案 D因为z=-i,所以=-+i,所以z=,故选D.12i1i(1 2i)(1 i)(1 i)(1 i)1232z1232z13i2213i22522.(2017福建普通高中质量检查)已知复数z=,则|z|=.13i2i答案答案2解析解析因为z=1+i,所以|z|=|1+i|=.13i2i(1 3i)(2i)(2i)(2i)55i52考点二 平面向量的概念及线性运算1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化.2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点.典型例题典型例题(1)(2017广东五校协作体第一次诊断考试)设D是ABC所在平面内一点,=2,则()A.=-B.=-C.=-D.=-(2)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+kc)(2b-a),则k=.ABDCBDAC32ABBD32ACABBD12ACABBDAC12AB解析解析(1)=+=-=-=-,选A.(2)因为(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,所以k=-.方法归纳方法归纳平面向量的线性运算应注意三点平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运算条件.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(3)=+(,为实数),若A、B、C三点共线,则+=1.BDBCCDBCDCACAB12ABAC32AB1613OAOBOC答案答案(1)A(2)-1613跟踪集训跟踪集训1.已知a、b是不共线的向量,=a+b,=a+b(,R),当A、B、C三点共线时,的取值不可能为()A.1B.0C.-1D.2ABAC答案答案B因为=a+b,=a+b(,R)及A、B、C三点共线,所以存在实数t,使=t,所以a+b=t(a+b)=ta+tb,即所以=1,故0.ABACABAC,1,tt2.设P是ABC所在平面内的一点,且=2,则PAB与PBC的面积的比值是()A.B.C.D.CPPA13122334答案答案 B=2,=且A,P,C三点共线,PAB在边PA上的高与PBC在边PC上的高相等,=.CPPA|CPPA21PABPBCSS|PACP12考点三 平面向量的数量积(高频考点)命题点命题点1.平面向量数量积的运算.2.求向量的夹角及模.3.由条件求参数的值或范围.平面向量的三个性质(1)若a=(x,y),则|a|=.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角,则cos=.a a22xyAB222121()()xxyy|a ba b121222221122x xy yxyxy典型例题典型例题(1)(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1(2)(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.答案答案(1)B(2)PAPBPC3243333解析解析(1)以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,),3设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1-x,-y)=2=2.13,22PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B.(2)由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根据向量的夹角公式得cos60=,所以-=,解得=.1434PAPBPC3432332( 3, 1) (1, )2 1232 11232133方法归纳方法归纳求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值.(2)建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值.跟踪集训跟踪集训1.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于()A.-B.-C.D.72123252答案答案Da+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,m=-,所以ab=-1+21=.1212522.(2017东北四市高考模拟)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m0,n0),若m+n=1,则|的最小值为()A.B.C.D.OAOBOCOAOBOC52102510答案答案C由=(3,1),=(-1,3),得=m-n=(3m+n,m-3n),因为m+n=1(m0,n0),所以n=1-m且0m1,所以=(1+2m,4m-3),则|=(0m1),所以当m=时,|最小,|min=.OAOBOCOAOBOCOC22(12 )(43)mm2202010mm212052m12OCOC53.(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为.BDDCAEACABADAE答案答案311解析解析如图,由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE831133111.(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)随堂检测随堂检测答案答案B复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,a-1.故选B.10,10,aa 2.已知平面向量a,b的夹角为,且a(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于()A.B.2C.3D.42333答案答案 D因为a(a-b)=8,所以aa-ab=8,即|a|2-|a|b|cos=8,所以4+2|b|=8,解得|b|=4.故选D.123.(2017云南第一次统一检测)设复数z满足z(2+i)=5i,则|z-1|=()A.1B.2C.D.53答案答案B由题意得z=1+2i,所以|z-1|=|2i|=2,故选B.5i2i5i(2i)(2i)(2i)224.(2017石家庄教学质量检测(一)已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)c,则实数m=()A.-B.-C.D.310110110310答案答案D因为2a-5b=2(2,1)-5(1,m)=(-1,2-5m),又(2a-5b)c,所以(2a-5b)c=0,即(-1,2-5m)(2,4)=-2+4(2-5m)=0,解得m=,故选D.3105.A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若=+(R,R),则+的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,D.(-1,0)OCOAOB2答案答案 B由题意可得=k=k+k(0k1,即+的取值范围是(1,+),故选B.ODOCOAOB1k6.如图,在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别为边AB,AC上的动点,且满足=m,=n,其中m,n(0,1),m+n=1,M,N分别是EF,BC的中点,则|的最小值为()A.B.C.D.AEABAFACMN24333453答案答案 C连接MB,MC,因为N是BC的中点,M是EF的中点,所以=(+)=(+)=(+).因为=m,=n,所以=(1-m),=(1-n),即=(1-m)+(1-n)=(1-m)+m=(+m),设Q为BC上的一点,且满足=m,则=,易知当m=时,|最小,此时|也最小,且最小值为.MN12MBMC12MEEBMFFC12EBFCAEABAFACEBABFCACMN12ABAC12ABAC12ABBCBQBCMN12AQ12AQMN34
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