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第第3 3讲讲 不等式不等式考情分析考情分析年份卷别题号考查内容命题规律201714简单的线性规划问题不等式作为高考命题热点内容之一,在选择、填空题中的考查主要以简单的线性规划、不等式的性质及一元二次不等式解法为主.重点是求给定平面区域内的目标函数的最值问题,也与其他知识交汇来考查,难度较小,属中等难度题.在解答题中主要与其他知识交汇来考查,难度中等偏上.5简单的线性规划问题13简单的线性规划问题201616线性规划的实际应用问题13线性规划求最值201515直线的斜率公式、线性规划求最值14线性规划求最值总纲目录考点一 不等式的解法考点二 简单的线性规划问题（高频考点）考点三 基本不等式及其应用考点一 不等式的解法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+bx+c0(a0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法(1)0(0(0,即x2时,不等式可化为(x-2)24,所以x4;当x-20,即x2时,不等式可化为(x-2)24,所以0 x2.综上,不等式的解集是0,2)4,+).(2)由得0 x9,由得-1x0的解集为x|-1x2,则mn的值为()A.B.2C.-D.-2121212答案答案A原不等式等价于x2-2mx-2n0,依题意知-1和2是方程x2-2mx-2n=0的两根,即mn=.122 ,1 22 ,mn 1,21,mn122.若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集,则实数a的取值范围为()A.B.C.D.262,562,562,562,5答案答案 B令a2-4=0,解得a=2或a=-2,当a=2时,不等式可化为4x-10,解集不是空集,不符合题意;当a=-2时,不等式可化为-10,此式不成立,解集为空集.当a2-40时,要使不等式的解集为空集,则对于方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0,有解得-2a0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.1B.C.D.21,3,(3),xxyya x3512答案答案 C依题意可知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,由图可知,当直线y=-2x+z经过点A(1,-2a)时,z取得最小值1,即1=21-2a,解得a=,选C.123.(2016课标全国)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解析解析设生产产品Ax件,生产产品By件,利润之和为z元,则z=2100 x+900y.根据题意得即可行域为图中阴影区域的整点.1.50.5150,0.390,53600,N,xyxyxyx y3300,103900,53600,N,xyxyxyx y答案答案216000由得当直线2100 x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax=210060+900100=216000.故所求的最大值为216000元.103900,53600 xyxy60,100.xy考点三 基本不等式及其应用利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则(1)如果x0,y0,xy=p(定值),当x=y时,x+y有最小值2.(简记:积定,和有最小值)(2)如果x0,y0,x+y=s(定值),当x=y时,xy有最大值s2.(简记:和定,积有最大值)p14典型例题典型例题(1)设x0,则函数y=x+-的最小值为()A.0B.C.1D.(2)(2017海淀期末)当0m0,则的最小值为.221x 321232121m212m4441abab解析(1)y=x+-=x+-22-2=0.当且仅当x+=,即x=时等号成立.所以函数的最小值为0,故选A.(2)因为0m0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时,的最小值为4.方法归纳方法归纳在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,在其满足基本不等式中“正”(各项都是正数)、“定”(和或积为定值)、“等”(等号能取得)的条件下才能应用,否则会出现错误.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab(3)a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),跟踪集训跟踪集训1.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.xayb答案答案8解析解析由题设可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值为8.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab当且仅当即时 等号成立2.已知函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于.91x 答案答案3解析解析y=x-4+=x+1+-5,因为x-1,所以x+10,0.由基本不等式,得y=x+1+-52-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,即x+1=3,x=2时等号成立,所以a=2,b=1,a+b=3.91x 91x 91x 91x 9(1)1xx91x 1.如果ab0,那么下列不等式成立的是()A.B.abb2C.-ab-a2D.-1a1b1a1b随堂检测随堂检测答案答案 D解法一(利用不等式性质求解):A项,由ab0,ab0,故-=0,即,故A项错误;B项,由ab0,故abb2,故B项错误;C项,由ab0,即a2ab,故-ab-a2,故C项错误;D项,由ab0,得a-b0,故-=0,即-1=,ab=21=b2,-ab=-2-4=-a2,-=1=-.故A,B,C项错误,D项正确.1a1bbaab1a1b1a1babab1a1b1a121b1a121b2.已知aR,不等式1的解集为p,且-2 p,则a的取值范围为()A.(-3,+)B.(-3,2)C.(-,2)(3,+)D.(-,-3)2,+)3xxa答案答案D-2 p,1或-2+a=0,解得a2或a-3.232a 3.(2017郑州第二次质量预测)已知直线y=k(x+1)与不等式组表示的平面区域有公共点,则k的取值范围为()A.0,+)B.C.D.40,30,0,0 xyxyxy30,230,23,2答案答案C画出可行域,如图中阴影部分所示,直线y=k(x+1)过定点(-1,0),由解得过点(-1,0)与(1,3)的直线的斜率是,根据题意可知0k,故选C.40,30 xyxy1,3,xy32324.若不等式组的解集不是空集,则实数a的取值范围是()A.(-,-4B.-4,+)C.-4,20D.-40,20)22230,4(1)0 xxxxa答案答案B不等式x2-2x-30的解集为-1,3,假设的解集为空集,则不等式x2+4x-(a+1)0的解集为集合x|x3的子集,因为函数f(x)=x2+4x-(a+1)的图象的对称轴方程为x=-2,所以必有f(-1)=-4-a0a-4,则使的解集不为空集的a的取值范围是a-4.故选B.22230,4(1)0 xxxxa22230,4(1)0 xxxxa5.(2017课标全国,14,5分)设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为.21,21,0,xyxyxy 答案答案-5解析解析由约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示.平移直线3x-2y=0可知,目标函数z=3x-2y在点A处取最小值,又由解得即A(-1,1),所以zmin=3(-1)-21=-5.21,21xyxy 1,1,xy 6.已知a,b,c都为实数,且b,c同号,若a+=,则的最小值为.1b1cbca1ab1ac答案答案2解析解析由已知得a2+=bc,所以=a2+=bc+2(当且仅当bc=1时取等号),故的最小值为2.abac1ab1acabac1bc1bc1ab1ac
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