2022版新教材高中数学 课时素养评价十七 均值不等式的应用 新人教B版必修1

课时素养评价十七均值不等式的应用(25分钟50分)一、选择题(每题4分，共16分，多项选择题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(多项选择题)a0，b0，a+b=2，那么对于+() A.取得最值时a=B.最大值是5C. 取得最值时b=D.最小值是【解析】选AD.因为a+b=2，所以+=+=+2+2=，当且仅当=且a+b=2，即a=，b=时，等号成立.2.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，那么()A.x=B.xC.xD.x【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，所以(1+x)2=(1+a)(1+b)，所以1+x1+，故x.3.正数x，y满足x+2y-xy=0，那么x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0【解析】选A.由x+2y-xy=0，得+=1，且x0，y0.所以x+2y=(x+2y)=+44+4=8，当且仅当x=2y时等号成立.4.假设对任意x0，a恒成立，那么a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为对任意x0，a恒成立，所以对x(0，+)，a，又因为x(0，+)，所以=，当且仅当x=1时等号成立，所以a.二、填空题(每题4分，共8分)5.一次函数y=-x+1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，假设动点P(a，b)在线段AB上，那么ab的最大值是_，取得最值时a的值为_.【解析】因为A(2，0)，B(0，1)，所以0b1，由题意得a=2-2b，ab=(2-2b)b=2(1-b)b2=.当且仅当1-b=b，即b=时等号成立，此时a=1，因此当b=，a=1时，ab的最大值为. 答案：16.某公司一年需购置某种货物200吨，平均分成假设干次进行购置，每次购置的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购置吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么每次购置该种货物的吨数是_.【解析】设每次购置该种货物x吨，那么需要购置次，那么一年的总运费为2=，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为+x2=40，当且仅当=x，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购置该种货物20吨.答案：20三、解答题(共26分)7.(12分) a0，b0，a+b=1，求证：(1)+8.(2)9.【证明】(1)因为a+b=1，a0，b0，所以+=2.所以+=+=2+2+2=4，所以+8(当且仅当a=b=时等号成立).(2)方法一：因为a0，b0，a+b=1，所以1+=1+=2+，同理1+=2+，所以=5+25+4=9.所以9(当且仅当a=b=时等号成立).方法二：=1+，由(1)知，+8，故=1+9.当且仅当a=b=时取等号 .8.(14分)如图某村方案建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保存 1 米宽的通道，沿前侧内墙保存 3 米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【解析】设矩形的一边长为 x米，那么另一边长为米，因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米，长为米.由得4x10.即两次所得黄金数大于10 g.2.(4分)正实数m，n满足m+n=1，且使+取得最小值.假设y=，x=是方程y=x的解，那么 =世纪金榜导学号()A.-1B.C.2D.3【解析】选C.+=(m+n)=1+16=17+17+2=25.当且仅当=又m+n=1，即m=，n=时，上式取等号，即+取得最小值时， m=，n=，所以y=25，x=5， 25=5.得=2.3.(4分)如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影局部)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，那么四周空白局部面积的最小值是_dm2.世纪金榜导学号【解析】设阴影局部的高为x dm，那么宽为 dm，四周空白局部的面积是y dm2.由题意，得y=(x+4)-72=8+28+22=56(dm2).当且仅当x=，即x=12 dm时等号成立.答案：564.(4分)设a+b=2，b0，那么+取最小值时a的值为_.世纪金榜导学号【解析】因为a+b=2，所以+=+=+=+2=+1，当且仅当=时等号成立.又a+b=2，b0，所以当b=-2a，a=-2时，+取得最小值.答案：-25.(14分)正数a，b，x，y满足a+b=10，+=1，x+y的最小值为18，求a，b的值.世纪金榜导学号【解析】x+y=(x+y)=a+b=10+.因为x，y0，a，b0，所以x+y10+2=18，即=4.又a+b=10，所以或1.假设a0，b0，且a+b=1，那么的最小值是世纪金榜导学号()A.9B.8C.7D.6【解析】选A.=+1=+1=+1+1=9.所以当a=b=时，原式取最小值9.2.某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件.世纪金榜导学号(1)据市场调查，假设价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应到达多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【解析】(1)设每件定价为x元，依题意得x258，整理得x2-65x+1 0000，解得25x40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.(2)依题意不等式ax258+50+(x2-600)+x有解，等价于x25时a+x+有解，因为+x2=10(当且仅当x=30时，等号成立)，所以a10.2.所以当该商品明年的销售量a至少应到达10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.- 9 -