三角函数应用题练习及答案

三角函数的应用题第一阶梯例1如图，ADBC，ACBC，若AD=3，DC=5，且B=30，求AB的长。解：DAC=90由勾股定理，有CD2=AD2+AC2AD=3，DC=5AC=4B=30AB=2ACAB=8例2如图，ABC中，B=90，D是BC上一点，且AD=DC，若tgDAC=,求tgBAD。探索：已知tgDAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tgDAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。又要求BAD的正切值应已知RtBAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tgDAC的条件。由于AD=DC，即C=DAC，这时也可把正切值直接移到RtABC中。解答：过D点作DEAC于E，且设DE=k，则AE=4kAD=DC,DAC=C，AE=ECAC=8k设AB=m，BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC2由勾股定理，有CD2=DE2+EC2由正切定理，有例3如图，四边形ABCD中，D=90，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。探索：已知条件提供的图形是什么形？其中D=90，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB应放在什么图形中。点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有D=90，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证ABC是Rt，因此可求sinB。解：连结ACD=90由勾股定理，有AC2=CD2+CD2AD=3，CD=4，AC=5AB=13，BC=12132=122+52ACB=90由正弦定义，有 第二阶梯例1如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30，前进20米后到D处，又测得A的仰角为45，求塔高AB。探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有ACB=30，ADB=45，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有ACB=30，ADB=45又ABCB于B。DAB=45DB=AB设AB=x由正切定义，有解得即塔高答：塔高AB为米。 第三阶梯例1已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知ABC中，AB=AC，BC=a（如图）解：过A点作：ADBC竽D点，设BAD=AB=ACBD=CD=根据正弦定义，有AB+AC+BC=a+由余切定义，有AD=注意：也可设BAC=，则BAD=。例2有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且DFC=2，ECB=，求折痕CE长。探索：根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知DC的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨：由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有EBCFEC，同时又可有AEFCDF。根据已知条件DFC=2及ECB=，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。解：根据已知条件，有EBCFECEB=EF，BC=FC，ECB=ECFCFD=2，且ECB=ECF=由余弦定义，有ADC=902由余弦定义，有例3如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30，又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取近似值）图6-5-5思路分析：易知ACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ACD直接求得，由于图形中再没有其他的直角三角形，必须构造直角三角形，作CEAD于E，只要求出CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形（BCE和DCE）中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。解作CEAD，垂足为E，设CE=x海里 CAD=CDA=90-45=45，CE=AE=DE=x。在RtBCE中，CBE=90-30=60，由DE-BE=BD得，解得。答：A、D两点间的距离为海里。第四阶梯例1有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，ABDC，斜坡AD的坡度i1=1:1.2,斜坡BC的坡度i2=1:0.8，大坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EFDC，点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图6-5-6），当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米？ 图6-5-6思路分析：本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:1.2,1:0.8,又DC=6米，EF=3.8米,要求大坝加高的高度,分别作FHDC于G,FHDC于H,利用RtDEG, RtCFH和矩形EFHG可以求出新大坝的高度.解作EGDC,FHDC,垂足分别为G,H,则四边形EFHG是矩形,GH=EF=3.8米.设大坝加高x米,则EG=FH=x米。i1=1:1.2, i2=1:0.8,由DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1答：大坝加高了1.1米。例2如图6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图6-5-7思路分析：（1）作ADBC于D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）20=160千米的范围内，比较AD与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。（2）当A点距台风中心不超过160千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7，AE=AF=160千米，当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。（3）显然当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大。解（1）如图6-5-7，由点A作ADBC，垂足为D。 AB=220，B=30，。由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110160,所以A市会受到这次台风的影响. (2)在BD及BD的延长线上分别取E,F两点,使AE=AF=160千米.由于当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响.所以当台风中心从E点移到F点时,该城市都会到这次台风的影响.在RtADE中,由勾股定理,得(千米).该台风中心以15千米/时的速度移动,这次台风影响该城市的持续时间(小时).(3)当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为四、【课后练习】 A组1如图：6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=_。2如图6-5-9，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _米（精确到0.1米） 图6-5-8图6-5-93如图6-5-10，在高离铁塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30，已知测角仪高AD=1.52米，则塔高BE=_（精确到0.1米）图6-5-10图6-5-114某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30，则坝高为_ 米。5升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为_ 米，（用含根号的式子表示）6在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45，沿水平方面再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60，那么电视塔高为_。7若太阳光线与地面成37角，一棵树的影长为10m，则树高h的取值范围是（ ）A3h5 B、5h10 C.10h158河堤的横断面如图6-5-11所示。堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米。那么斜坡AB的坡宽I是（ ）A1：3 B、1：2 6 C.1:2.4 D.1:29.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80角。房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12），那么挡光板AC的宽度至少应为（ ）图6-5-12 图6-5-13A1.8tan80m B.1.8cos80m C.m D.1.8cot80m10.如图6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45，斜坡CD的坡度I=1：2，则坝底AD的长为（ ）A42米 B、（30+24）米 C、78米 D、（30+8）米11、如图6-5-14，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）A B. C.sina D.1图6-5-1412.如图6-5-15，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为=30,=45，求大桥AB的长（精确到1米，供选的数据：1.41, 1.73）.13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中ABCD，根据图中的数据计算AC、BD和CD的长度。（结果保留根号）14如6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为6米，坝高10米，斜坡AB的坡度是1：2（AR：BR），现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方？15如图6-5-18,已知C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40方向上，又在C城市的南偏东56的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？为什么？（已知tan40=0.839,tan56=1.483）B组1、 1、 知小山的高为h,为了测得小山顶上铁塔AB的高x,在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为，A点的仰角为。（见右表中测量目标图6-5-19）（1）试用、和h的关系式表示铁塔高x;（2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中、的数值；（3）根据表中数据求出铁塔x的值。（精确到0.01m）2.如图6-5-20，某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一台拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知sin530.80,sin370.60,tan370.75） 图 6-5-20C组1、已知ABC中，BAC=90，ADBC于D，CD=9，AB=20，求sinB。2、已知水库大坝的横截面是梯形ABCD，若BCAD，坝顶BC宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡度之i=12.5，斜坡CD的坡度i=12，求坝底AD及AB、CD长。3、在RtABC中，ACB=Rt,CDAB于点D，AD4,则CD，BC。A组答案1、34m 2、5.5 3、88.1米 4.30 5.(8+1.5) 6.米 7B 8、C 9、D 10、C 11、A 12、329米 13、AC=3米，BD=6米，CD=（）米 14、5000米3 15、过点A作ADBC，垂足为D，在RtADC中，CD=；在RtABD中，BD=，依题意有+=100。所以AD=53.58，因为AD50，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越森林保护区。B组答案： 1（1）x=h;(2)=2918，=3559；（3）x30.88m2作ABOM于B，易知AOB=90-53=37，所以AB=OAsinAOB=OAsin372000.60=120(米)。因为120130，所以教室A在噪声污染范围内，依题意，在OM上取两点C、D，连结AC、AD，使AC=AD=130米。在Rt ABC中，由勾股定理可得BC=50米，所以CD=2BC=100米， =20（秒），教室A受噪声污染时间为20秒。C组答案：1、易证ABDABC，即AB2=BCBD，设BD=x，则x=16，即BD=25，AC=15，2、作BEAD于E，CFAD于F，AD=95米，AB53.9米，CD44.7米。 3、3，