第5章时域离散系统的基本网络结构

第五章 时域离散系统的基本网络结构5.1 引言一个时域离散系统或网络的表示方法有三种：1 差分方程 (6.1.1)2 系统函数 (6.1.2)3 单位脉冲响应上述三种表示方法实际上是一致的，在实际中，我们经常采用一种信号流图来表示一个系统，这种流图直观地反映了在实现该系统时具体的算法，如延迟单元，加法和乘法等一些基本运算单元，构成了系统转移函数实现的功能，我们称这种流图为网络结构。网络结构实际表示的是一种运算结构。5.2 用信号流图表示网络结构一基本运算单元的流图表示数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算用流图表示如图6.1.1所示。图6.1.1 三种基本运算的流图表示说明：1与系数作为支路增益写在支路箭头旁边，如果箭头旁边没有标明增益符号，则认为支路增益是1。2箭头表示信号流动方向。3两个变量相加，用一个圆点表示，称为网络节点。4每个节点处的信号称节点变量，节点变量等于所有输入支路之和。二基本信号流图不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图与之相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。（1）信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是；（2）流图环路中必须存在延迟支路；(3)节点和支路的数目是有限的。例1：根据下图的网络结构，写出该系统的传输函数。 （6.1.3） 对(6.1.3)式进行Z变换，得到： 经过联立求解得到：图6.1.2(a)是基本信号流图，图中有两个环路，环路增益分别为和，且环路中都有延时支路，而图6.1.2(b)不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。例2：对于同一个系统函数，可以有很多信号流图与之对应。可以证明以上，但它们具有不同的算法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等。三网络结构的分类一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR(Finite Impulse Response)网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR(Infinite Impulse Response)网络。1FIR网络FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述： (6.1.4)其单位脉冲响应是有限长的，按照(6.1.4)式，表示为2IIR网络IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。 5.3 IIR基本网络结构IIR网络的特点是信号流图中含有反馈支路，即含有环路，其单位脉冲响应是无限长的。基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。1 直接型将N阶差分方程重写如下：设M=N=2,其系统函数如下：按照差分方程可以直接画出网络结构如图6.2.1(a)所示。图中第一部分系统函数用表示，第二部分用表示，那么，当然也可以写成，按照该式，相当于将图6.2.1(a)中两部分流图交换位置，如图6.2.1(b)所示。该图中节点变量，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图6.2.1(c)所示的网络结构流图，我们将图6.2.1(c) 所示的的这类流图称为IIR直接型网络结构。 例6.2.1 设IIR数字滤波器的系统函数为 画出该滤波器的直接型结构。解 由写出差分方程如下： 按照差分方程画出如图6.2.2所示直接型网络结构。上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照表达式，直接画出直接型网络结构。2 级联型在(6.1.2)式表示的系统函数中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到： (6.2.1)式中A是常数，和分别表示零点和极点。由于多项式的系数是实数，和是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络。如下式： (6.2.2)式中，和均为实数。这样就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： (6.2.3)式中表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图6.2.3所示。 例6.2.2 设系统函数如下式：试画出其级联型型网络结构。解 将的分子、分母进行因式分解，得到： 为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出结构图如图6.2.4所示。级联型结构特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。在(6.2.2)式中，调整三个系数可以改变一对零点的位置，调整可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，调整方便是优点。此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。3 并联型如果将级联形式的展成部分分式形式，则得到IIR并联型结构。 (6.2.4)式中，通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为 式中，和都是实数。如果，则构成一阶网络。由(6.2.4)式，其输出表示为 上式表明将送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出。 例6.2.3 画例题6.2.2中的并联型结构。解 将例6.2.2中展成部分分式形成： 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图6.2.5所示。并联型特点： 在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不象直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。 5.4 FIR基本网络结构FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应长度为N,其系统函数和差分方程分别为 1 直接型按照或者差分方程直接画出结构图如图6.3.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。2 级联型将进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例6.3.1 设FIR网络系统函数如下式： 画出的直接型结构和级联型结构。解 将进行因式分解，得到： 其级联型结构和直接型结构如图6.3.2所示。级联型结构每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭零点，因此调整零点位置比直接型方便，但中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。在例5.3.1中直接型需要四个乘法器，而级联型则需要五个乘法器，如果分解的因子愈多，需要的乘法器也愈多。另外，当的阶次高时，也不易分解。因此，普遍应用的是直接型。3 频率采样结构我们已经知道，频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M,则不会引起信号失真，此时原序列的Z变换与频域采样值满足下面关系式： (6.3.1)设FIR滤波器单位脉冲响应长度为M，系统函数，则(6.3.1)式中用下式表示：， k=0,1,2,N-1要求频率域采样点数。(6.3.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请读者分析IIR滤波网络为什么不适合采用频率采样结构。将(6.3.1)式写成下式： (6.3.2)式中 这样，是由梳状滤波器和N个一阶网络的并联结构进行级联而成的，其网络结构如图6.3.3所示。我们看到该网络结构中有反馈支路，它是由产生的，其极点为，即单位圆上有等间隔分布的N个极点，但是一个梳状滤波网络，其零点为 ， 刚好和极点一样，等间隔地分布在单位圆上。理论上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性，使频率域采样结构仍属FIR网络结构。频率域采样结构有两个突出优点：(1) 只要调整（即一阶网络中乘法器的系数），就可以有效地调整频响特性，使实践中调整方便。(2) 只要长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益不同。这样，相同部分便于标准化、模快化。然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1) 系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。实际上，寄存器字长度都是有限的，这样有限字长效应可能使零极点不能完全对消，从而影响系统稳定性。(2) 结构中，和一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为的圆上，取且。此时为 (6.3.3)式中，是在圆上对的N点等间隔采样之值。由于，所以可以近似取。这样一来，零极点均为，k=0,1,2,N-1。如果由于某种原因，零极点不能抵消时，极点位置仍在单位圆内，保持系统稳定。