2022版新教材高中数学 考点突破素养提升 第二课 等式与不等式 新人教B版必修1

考点突破素养提升素养一数学运算角度1解方程与方程组【典例1】关于x的方程x2-4x+k=0与2x2-3x+k=0有一个相同的根，求k的值.【解析】设x2-4x+k=0的两根为，2x2-3x+k=0的两根为，那么-得：-=，由得：=2当=0时，由得：k=0；当0时，由得：=2，代入得：=5；把=5代入得，=-1，代入得，k=-5，所以k=0或k=-5.【类题通】求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组.【加练固】 假设方程x2+3x+k=0的两根之差为5，求k值.【解析】设方程的两根为，+5，由根与系数的关系得：+5=-3，所以=-4，所以+5=1，所以k=(+5)=-41=-4.角度2解不等式与不等式组【典例2】在R上定义运算：=ad-bc.假设不等式1对任意实数x恒成立，那么实数a的最大值为()A.-B.-C.D.【解析】选D.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)1，即x2-x-1(a+1)(a-2)对任意x恒成立，x2-x-1=-，所以-a2-a-2，-a.【类题通】解决“恒成立的根本方法是转化法，其根本步骤有两步，即别离与求最值，此题进行了巧妙的转化后，变成解一元二次不等式问题.素养二逻辑推理角度1不等式的性质及其应用【典例3】(1)a，b满足等式x=a2+b2+20，y=4(2b-a)，那么x，y满足的大小关系是()A.xyB.xyC.xy(2)假设0，那么不等式：a+b|b|；a2中，正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个(3)假设a，b0，且P=，Q=，那么P，Q的大小关系是()A.PQB.PQC.PQD.PQ【解析】(1)选B.x-y=a2+b2+20-4(2b-a)=(a+2)2+(b-4)20，所以xy.(2)选B.由0，ba0.故a+b0|a|，因此正确，错误，错误.又+-2=0，因此正确.(3)选D.P2-Q2=-(a+b)=-0，所以P2Q2，即PQ.【类题通】不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论根底，应注意准确应用，保证每一步的推理都有根据.要熟练掌握不等式性质应用的条件，以防推理出错.【加练固】 如果a，b，c满足cba且acacB.c(b-a)0C.cb2ab2D.ac(a-c)0【解析】选C.cba，ac0，cac，A正确.对于B：c(b-a)0，B正确；对于C：cb2ab2，即C不一定成立.对于D：ac0ac(a-c)0，0，所以x+1+2.当且仅当x+1=，即x=-1时，x+取最小值2-1.【类题通】利用均值不等式求最值的策略【加练固】 x0，y0，xy=10，求+的最小值.【解析】因为x0，y0，xy=10，所以+2=2，当且仅当=，即x=2，y=5时，等号成立，故+的最小值为2.素养三直观想象角度解绝对值不等式【典例5】不等式|x+2|-|x+3|m.(1)假设不等式有解.(2)假设不等式解集为R.(3)假设不等式解集为，分别求出m的范围.【解析】方法一：因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2)，B(-3)距离的差.即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|.由图象知(|PA|-|PB|)max=1，(|PA|-|PB|)min=-1.即-1|x+2|-|x+3|1.(1)假设不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，即m1，m的范围为(-，1).(2)假设不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x+2|-|x+3|的最小值还小，即m0，所以0y6，S=xy=y=y(6-y).因为0y0.所以S=.当且仅当6-y=y，即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.【类题通】解决根本不等式的实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，解题时，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.【加练固】 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系(如下列图)，假设要使其营运的年平均利润最大，那么每辆客车需营运() A.3年B.4年C.5年D.6年【解析】选C.设二次函数为y=a(x-6)2+11.又图象过点(4，7)，代入得7=a(4-6)2+11，解得a=-1，所以y=-x2+12x-25.设年平均利润为m，那么m=-x-+122，当且仅当x=，即x=5时取等号.- 7 -